小学数学《等差数列》练习题（含答案）
许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
你还记得吗
【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？呵呵！快快举手，多多赢得小印章！
分析：以下答案仅供参考！
（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：
定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.
譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；
末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d 来表示；
和 ：一个数列的某些项的和，常用S n 来表示 .
（3） 三个重要的公式：
① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差
1(1)n a a n d =+-?
回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入
手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-?
② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）
由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n
a a 若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a 若）.
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是 3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.
③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2
1()2n n s a a n =+?÷
对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：
（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×50=5050
（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：
即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050
（4）中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33
项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .
如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中. 譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .
等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.
【复习2】（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？
（2）已知等差数列2、5、8、11、14 …，问47是其中第几项？
（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.
第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；
（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，
那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第8项，必须知道首项和公差.
第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差= 6 ；
第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；
第8项=首项+7×公差=45 ；
【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：这个剧一共有多少个座位？
分析：首项：70-(25-1)×2=22 ，座位总数：(22+70)×25÷2=1150．
【复习4】小明从1月1日开始写大字。第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?
分析：数列末项为：589×2÷31－4=34，所以公差为(34－4)÷30=1，小明每天比前一天多写1个大字．
例题精讲
【例1】巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996
分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)
=7777770-(9+8+7+6+5+4)
=7777731
【巩固】计算72+793+7994+79995+799996= .
分析:原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)
=888880-(8+7+6+5+4)
=888850
【例2】计算：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9＋0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99
分析：仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.
第一部分：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9=4.5；
第二部分：0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99=（0.1＋0.99）×90÷2=49.05；
因此总和等于：49.05＋4.5=53.55 .
【例3】（04陈省身杯数学邀请赛）
计算：（10-4
55
×1）+（9-
4
55
×2）+（8-
4
55
×3）+…+（2-
4
55
×9）+（1-
4
55
×10）= .
分析：原式=(10+9+8+…+1)- 4
55
×(1+2+3+ (10)
=55-4
55
×55=51
【例4】用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层
有多少个立方体？
分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8， (1)
所以最底层立方体数目为：(10+1)×10÷2=55．要学会正确的读图．
【例5】（05我爱数学夏令营）小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少？
分析：能被3整除的数和为：3+6+9+…+999= (3+999)×333÷2=166 833，
即能被3整除，又能被5整除的数的和：15+30+45+…+990= (15+990)×66÷2=33 165，
小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和：166 833-33 165=133 668．
【前铺】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了．
【巩固】在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少? 分析：先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.
(4+8+12+…+200)+(11+22+33+…+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18
÷2-(44+176)×4÷2=6541．
【例6】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：
（1）15是这样的数列中的第几个到第几个数？
（2）这个数列中第100个数是几？
（3）这个数列前100个数的和是多少？
分析：分析可得下表：
数：1 2 3 4 5 6 7 …14 15 16……
个数：2 4 6 8 10 12 14 … 28 30 32……
（1）2＋4＋6＋…＋28=210，所以15是第211个到240个
（2）在这个数列中前9组的个数是：2＋4＋6＋…＋18=90个
这个数列前10组的个数是：2＋4＋6＋…＋20=110
而90〈100〈110，所以第100个数是第10组中数，是10
（3）这个数列中前100个数的和是：1×2＋2×4＋3×6＋…＋9×18＋10×10=670
【例7】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?
分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…
偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…
先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，
第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .
【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。
分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ，
100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项；
111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项；
同样，120是原数列的第80项和第119项 .
【例8】右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，
那么最上层有多少只铅笔？
分析：每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为 1 ；设最上面一层的
铅笔数为x，那么共有铅笔x (x+1)÷2=210，x (x+1)=420，比较求解可得x=20.
【例9】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？
分析: 我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，第一个选手要比x-1场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同剩下的x-2个选手比赛x- 2场，依此类推，总比赛场数就是数列1，2，3，…，x- 1的和．设有x个选手，列出方程：（1+x-1)×(x-1)÷2=78，x(x-1)=156，比较求解得x=13．
【例10】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？
分析：用X 表示小明少加的那个数,1997＋X=（1＋n）×n÷2，（1＋n）×n=3994+2x,两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为（1＋n）×n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数3600=60×60,而后试算两个相邻自然数的乘积61×62=3782,62×63=3906,63×64=4032,所以n=63,正确的和是2016,少加的数为: 2016-1997=19.
【例11】求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。
分析:设前n个自然数的和等于111a，其中a是不大于9的自然数，则有
当a＝6时，上式化为n（n＋1）＝36×37，比较知n＝36.
附加题目
【附1】计算：2000×l999-l999×l998+1998×l997-1997×l996+…+4×3-3×2+2×1．
分析：原式=1999×(2000-1998)+1997×(1998-1996)+…+3×(4-2)+2×l
=1999×2+1997×2+……+3×2+2×1
=2×(1999+1997+…+3+1)
=2000000．
【附2】计算：1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；
分析：可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：（1+70）×24÷2+（3+69）×23÷2=1680；
【巩固】2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100；
分析：拆分为2+8+14+20+…+92+98和4+10+16+22+…+94+100：(2+98)×17÷2+(4+100)×17÷2=1734 .
【附3】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）
【附4】李明玩投放石子游戏，从A 点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子；再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B 处共放下石子35枚，从A 点到B 点的路程是多少米？
分析: N=(35-1)÷2＋1=18，末项=1＋3×（18-1）=52，和=（1＋52）×18÷2=477（米）.
【附5】观察下面的数阵，容易看出，第n 行最右边的数是2
n ，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？
分析:第20行最左边的数等于219＋1=362，该行共有（220－219）个数
（362＋400）×39÷2=14559
【附6】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多少种取法？
分析: 要使和为3位数，假设一个数为n，则另一个数必须大于100-n，同时为了防止取重复(比如已经取了50，51又取51，50)，我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一个数列．
10有90～99 , 10种取法 ; 11有89～99 , 11种取法 ;……; 49有51～99 , 49种取法 ;50有51～99 , 49种取法 ;51有52～99 , 48种取法 ;……;98有99,1种取法.
(10+11+12+…+49)+(49+48+47+…+2+1)=(10+49)×40÷2+(1+49)×49÷2=2405，对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法．
【附7】有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少?
分析：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，……，依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：
第1个数：1=1，
第2个数：2=1+1，
第3个数：4=2+2=1+1+2，
第4个数：7=3+4=1+1+2+3，
第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4，
第6个数：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5，
……
第n个数：1+1+2+3+4+5+…+（n-1)．
第1001个数为：1+1+2+3+4+5+…+（1001-1）=1+1+2+3+4+5+…+l000=l+500 500=5005001
【附8】（04走进美妙数学花园）黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是.
分析：1，3，5，7，…，(2n- 1)，这n个奇数之和等于n2，452= 2025，擦去的奇数是2025-2008=17．【附9】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.
序号等式
1 1 ＋
2 ＋ 3= 6
3 3 ＋ 5 ＋ 7= 15
5 5 ＋ 8 ＋ 11= 24
7 7 ＋ 11 ＋ 15= 33
∶∶∶∶∶
（）（）＋（）＋7983=（）
分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）
（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.
第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）×2=3991 ；
第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或3991+5987+7983=17961.
练习六
1．计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+…+0.97+0.99．
分析：原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+…+O.97+0.99）
=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×45÷2
=2.5+24.75
=27.25．
2．100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
分析:考虑能被3整除的各数之和102＋１05＋…＋198 ;
然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.
3．将自然数按下面的形式排列
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？
分析:第10行最左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和（82＋100）×19÷2=1729.
4．某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手。参加宴会的一共有多少人？
分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.
5．木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字.问：木木重复计算了哪个数字？
分析: 用X 表示小明多加的那个数,888－X=（1＋n）×n÷2，（1＋n）×n=1776-2x ,
两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=40×40=1600,试算:
40×41=1640,41×42=1722,42×43=1806,所以n=41,所以X=（1776－41×42）÷2=27 .
等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的
A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首 项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的 第_____ .
等差数列习题 一、选择题（共14小题；共70分） 1. 在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( ) A. a1+a101>0 B. a2+a100<0 C. a3+a99=0 D. a51=51 3. 已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( ) A. 15 B. 30 C. 31 D. 64 4. 等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( ) A. 32 B. 64 C. 108 D. 128 5. 下列数列不是等差数列的是( ) A. 6，6，6，?，6，? B. ?2，?1，0，?，n?3，? C. 5，8，11，?，3n+2，? D. 0，1，3，?，n2?n 2 ，? 6. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a3=6，则S4的值为( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 若首项为?24的等差数列从第10项起为正数，则公差的取值范围是( ) A. (8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 8. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=10，S3=3，则首项a1与公差d为( ) A. a1=?2，d=3 B. a1=2，d=?3 C. a1=?3，d=2 D. a1=3，d=?2 9. 若等差数列的首项是?24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是( ) A. [8 3,+∞) B. (?∞,3) C. [8 3 ,3) D. (8 3 ,3] 10. 设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2且S5=30，则S8等于( ) A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 11. 在等差数列{a n}中，a4+a5=15，a7=15，则a2=( ) A. ?3 B. 0 C. 1 D. 2 12. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 13. 等差数列{a n}中，a1=84，a2=80，则使a k≥0，且a k+1<0的正整数k=( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 14. 在等差数列{a n}中，a9=1 2 a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=( ) A. 24 B. 48 C. 66 D. 132
等差数列专题 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p . 3．等差中项 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和 y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2 . 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N * )． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2 ； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n 2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ， 则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最 小值． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n a 1＋a n 2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；
2．2 等差数列 第1课时等差数列的概念与简单表示 1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点) [基础·初探] 教材整理1等差数列的含义 阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． (2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)． 2．等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．() (3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() (5)方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.() 【解析】(1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列． (2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1. (3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列． (4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． (5)√.设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1， x2的等差中项为A＝x1＋x2 2＝－3.故该说法正确． 【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 教材整理2等差数列的通项公式 阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d. 2．从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位． 1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________. 【解析】∵a1＝4，d＝－2， ∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】6－2n 2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________． 【解析】由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.
等差数列的通项公式及应用习题 一、单选题(每道小题 3分共 63分 ) 1. 已知等差数列{a n }中，a2=2，a5=8，则数列的第10项为 A．12 B．14 C．16 D．18 2. 已知等差数列前3项为-3，-1，1，则数列的第50项为 [ ] A．91 B．93 C．95 D．97 3. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 [ ] A．13项 B．14项 C．15项 D．16项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a，a为常数，则公差d= [ ] 5. 已知等差数列{a n }中，a1=1，d=3，那么当a n=298时，项数n 等于
[ ] A．98 B．99 C．100 D．101 6. 在等差数列{a n }中，若a3=-4，a5=11，则 a11等于 [ ] A．56 B．18 C．15 D．45 7. 在等差数列{a n } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的 [ ] A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项 [ ] A．45 B．48 C．52 D．55 9. 已知等差数列{a n }中，a8比a3小10，则公差d的值为 [ ] A．2 B．-2 C．5 D．-5
10. 已知等差数列{a n }中，a6比a2大10个单位，则公差d的值为 [ ] 11. 已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是 [ ] A．-5 B．0 C．5 D．10 12. 已知等差数列{a n }中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1= [ ] A．-1 B．-3 C．-5 D．-7 13. 已知等差数列{a n}中，a10=-20，a20n=20，则这个数列的首项a1为 [ ] A．-56 B．-52 C．-48 D．-44 14. 已知等差数列{a n }满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 [ ]
等差数列 一、填空题 1. 等差数列2，5，8，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知1 3 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 5. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 6. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在 7. 等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于 （ ） A 、 B 、 C 、或 1 D 、
1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 2．已知等差数列{a n}的前n项和S n，若a2+a3+a10=9，则S9=（） A．27 B．18 C．9 D．3 3．若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（） A．1 B．0或C．D．log23 4．在等差数列{a n}中，若a1+a3+a5+a7+a9=150，则a5的值为（） A．75 B．50 C．40 D．30 5．等差数列a n中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（） A．B．12 C．D．6 6．已知等差数列{a n}满足a3+a5=14，a2a6=33，则a1a7=（） A．33 B．16 C．13 D．12 7．已知等差数列{a n}中，a2=﹣1，前5项和S5=﹣15，则数列{a n}的公差为（）A．﹣3 B．C．﹣2 D．﹣1 8．已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若S4=20，a4=8，则S8=（）A．52 B．72 C．56 D．64 9．已知{a n}是公差为2的等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S5=15，则a5=（） A．3 B．5 C．7 D．9 10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=（）A．B．145 C．D．175 11．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a2+a8﹣a4=6，则S11=（）A．132 B．108 C．66 D．不能确定 12．在等差数列{a n}中，若a3+a11=18，S3=﹣3，那么a5等于（） A．4 B．5 C．9 D．18 13．已知等差数列{a n}的公差为d，且a8+a9+a10=24，则a1?d的最大值为（）A．B．C．2 D．4 14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8=6+a11，则S9=（）
第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；
1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 3. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 4. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 5. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 在等差数列 {}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 4. 设n S 是数列 {}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 5. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {}n a 的有关未知数： （1）1 51,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列 {}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式
等差数列 一：等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推公式：a n －a n －1＝d (n ≥2) [点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 二：等差数列的通项公式 【例1】已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *) [点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列． 例1 在等差数列{a n }中， (1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴????? a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得????? a 1＝－5， d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d . 由已知得，????? a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得????? a 1＝1， d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17. 跟踪训练1．2 018是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项 D ．第1 009项 解析：选C ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 018＝2n ＋2，∴n ＝1 008. 2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 由已知????? a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得????? a 1＝－23， d ＝4.
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点
1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）
等差数列求和的应用 等差数列计算公式 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= n2 （5）前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n2+n 1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 5、1+3+5+7+…+99 6、2+4+6+8+…+100 7、21+23+25+27+…+99 8、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?
9、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 10、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 11、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 12、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 13、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…,问第59个数是多少？ 14、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？ 15、能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？ 16、红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？
等差数列的通项公式及应用 1.已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a，a为常数，则公差d=[] 2.已知等差数列{a n}中，a8比a3小10，则公差d的值为[] A．2B．-2C．5D．-5 3.已知数列a，-15，b，c，45是等差数列，则a+b+c的值是[] A．-5B．0C．5D．10 4.已知等差数列{a n}中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则a1=[] A．-1B．-3C．-5D．-7 5.已知等差数列{a n}中，a10=-20，a20n=20，则这个数列的首项a1为[] A．-56B．-52C．-48D．-44 6.已知等差数列{a n}满足a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是[] 7.已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=40，则a6+a7+a8等于[] A．84B．72C．60D．43 [] A．45B．48C．52D．55 9.已知数列-30，x，y，30构成等差数列，则x+y=[] A．20B．10C．0D．40 10.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0的两根，且 知d＞a，则这个数列的第30项是[] A．86B．85C．84D．83
11.已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=3，则a2+a4=[] A．3B．2C．1D．-1 12.等差数列{a n}中，已知a5+a8=a，那么a2+a5+a8+a11的值为[] A．aB．2aC．3aD．4a [] A．第21项B．第41项C．第48项D．第49项 等差数列的通项公式及应用习题1答案 一、单选题 1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.B 10.B 11.A 12.B 13.A 14.C
知识点拨、等差数列的定义 ⑴先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差 数列. 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用a i表示 末项：一个数列的最后一项，通常用a n表示，它也可表示数列的第n项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示； 和：一个数列的前n项的和，常用S n来表示. 二、等差数列的相关公式 （1）三个重要的公式 ①通项公式：递增数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 递减数列：末项首项（项数1）公差，a n a1（n 1）d 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个 有用的公式：a n a m （n m）d, （n m） ②项数公式：项数（末项首项）公差+1 由通项公式可以得到：n （a n a1）d 1 （若a n a1）；n （a1 a n） d 1 （若a1 a n）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的. 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L、40、43、46 , 分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、L、（46、47、48），注意等差是 3 ,那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48 4 1 45 项，每组3个数，所以共45 3 15组，原数列有15组.当然还可以有其他的配组方法. ③求和公式：和=（首项末项）项数吃 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： 偲路1) 1 2 3 L 98 99 100 1 41004 ( 2 4^ 4 2 3 4 98) 4 4 450 4爭)仙50 5050 等差数列的认识与公式运用
高中数学必修5等差数列基础简单测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1.2）=-1．下列命题： ①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]； ②若{a n}是等差数列，则{[a n）}也是等差数列； ③若{a n}是等比数列，则{[a n）}也是等比数列； ④若x∈（1，4），则方程[x）-x=有3个根． 正确的是（） A．②④B．③④C．①③D．①④ 2．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（） A．B．C．D． 3．设数列{a n}（n∈N*）满足a n+2=2a n+1-a n，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（） A．a n+1-a n＜0B．a7=0 C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值 4．等差数列a1，a2，a3，…，a n的公差为d，则数列ca1，ca2，ca3，…，ca n（c为常数，且c≠0）是（） A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列 C．非等差数列D．以上都不对
5．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足1＜a1＜3，a3=4．若定义，给出下列命题： （1）b1，b2，b3，b4是一个等差数列；（2）b1＜b2；（3）b2＞4；（4）b4＞32；（5）b2：b4=256．其中真命题的个数为（） A．2B．3C．4D．5 6．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（） A．公差为a的等差数列B．公差为-a的等差数列 C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列 7．已知（z-x）2=4（x-y）（y-z），则（） A．x，y，z成等差数列B．x，y，z成等比数列 C．成等差数列D．成等比数列 8．已知tanB=，则cotA、cotB、cotC（） A．成等差数列 B．成等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 9．已知lg2，，lg（1-y）顺次成等差数列，则（） A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值-1，最大值1 C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值1 10．要在如下表所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列．则填入标有※的空格的数是（）
. 2014-2015学年度襄阳二中测试卷 4.21 一、选择题 1．在等差数列3，8，13…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（ ） A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定 3． 已知数列的前几项为1， 2 2 1，231，K ，它的第n 项(+∈N n )是( ) A. ()2 11 -n B. 21n C.() 211+n D.()221+n 4．若数列 {}n a 为等差数列，且 35791120a a a a a ++++=，则 891 2 a a -= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．已知数列的一个通项公式为113 (1)2 n n n n a +-+=-，则5a =（ ） A ．12 B ．12- C ．932 D ．9 32 - 6．已知等差数列{a n }一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( ) A ．12 B ．5 C ．2 D ．1 7．设a n =－n 2 +10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 8．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 10．在等差数列{}n a 中，若134=a ，257=a ，则公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )． A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 12．若数列{}n a 是等差数列，首项01>a ，且0,02013201220132012<>+a a a a ，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A 、4023 B 、4024 C 、4025 D 、4026 二、填空题 13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1211=a ，则=21S 14．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a = . 15．如图，第n 个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来，( n = 1、2、3、… ) 则在第n 个图形中共 有___________个顶点.(用n 表示) 16．若等差数列{}n a 的首项为10-、公差为2，则它的前n 项n S 的最小值是______________。 17．已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为______ . 三、解答题 18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9. (1)求首项a 1和公差d 的值； (2)若S n ＝100，求n 的值．
等差数列及应用 一、聚焦核心： 1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________． 2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 3．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且任意的正整数i ，j ，k ，l ， 当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑2 010 i ＝1 (a i ＋b i )的值是________． 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 二、典例分析： 例1．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 满足S 5S 6＋15＝0. (1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．
例2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－????12n －1 ＋2 (n ≥2，n 为正整数)，a 1＝1 2. (1)令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围． 例3．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值； (2)记b n ＝1 2n (a n ＋t )(n ∈N *)，问是否存在一个实数t ，使数列{b n }是等差数列？若存在， 求出实数t ；若不存在，请说明理由．