浙江高二下数学试卷及答案
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．已知全集，集合，
，
则集合( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．函数
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1m <()21i m +-U =R
4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中
，若
，就称甲乙“心有灵犀”．现
任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点到渐近线的距离等于2，
则C 的渐近线方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 7．在中，内角的对边分别为，已知
，
，，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．或
8．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的
秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的
，输出的
，则判断框“
”中应填入的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面 都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
a b 2=a 1=b -=a b 11
25
1225
1325
1425
1
2
y x =±2
3
y x =±3
2
y x =±2y x =±ABC △π3
A =
3π4
π6
π4π4
3π
4
A ．
B ．
C D ．
10．把函数的图像向左平移
个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知椭圆C 的方程为，焦距为
，直线与 椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）
A B ．
C ．
D ．
12．已知函数
为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，
，则函数
在区间上的（ ）
A ．最小值为
B ．最小值为
C ．最大值为0
D ．最大值为
2349
26
827
()y f x =2π
3
()g x ()g x ()f x ()2sin π6f x x ?
?=+ ???()sin 4π6f x x ?
?=+ ???()sin 4π6f x x ?
?=- ??
?()2sin 4π6f x x ?
?=- ??
?()22
2210x y a b a b
+=>>2
:4
l y x =
3
34
12
14
R ()112x
f x ??
=- ???
3
4-7
8
-7
8
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设曲线
在点
处的切线方程为
，则
____．
14．若，满足约束条件，则的最小值为_______．
15．已知，_______．
16．圆锥的底面半径为，母线长为．正四棱柱
的上底面的顶点
均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的
最大值为_____．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）记公差不为零的等差数列的前n 项和为，已知
，
是
与的等比中项．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列的前n 项和．
x y 220
100
x y x y y --≤-+≥≤??
???
15y z x -=+tan 24πα?
?+=- ??
?2sin2cos αα+=则1n S ??
????
18．（12分）某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：
家庭编号 1 2 3 4 5 6 月收入x （千元） 20 30 35 40 48 55 月支出y （千元）
4
5
6
8
8
11
参考公式：回归直线的方程是：
，其中，，
．
（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这个家庭中随机抽取个，记月支出超过千家庭个数为，求的分布列与数学期望．
()()()
1
1
2
2
2
1
1
?n
n
i
i
i i i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑
19．（12分）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．
GF
∥
（1）求证：平面；
（1）求平面与平面所成角的余弦值．
20．（12分）已知抛物线
经过点，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外
的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B ． （1）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；
（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．
()1,2P
21．（12分）设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数a 的取值范围．
()()
2e 1x f x x ax =--1
2
a =
()f x 0x >()0f x ≥
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系
中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为
，
，，点是曲线与的交点，点
是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值．
2cos 22sin x y ?
?==+???
?ρ∈R
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式
的解集为实数集，求实数的取值范围．
()2
221f x x x a =+-+R
答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】∵，∴，
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】由
，可得
或
，故
，
由
，解得
，∴
，∴
，故选A ．
3．【答案】C 【解析】当
时，
，故排除选项B ；，故排除D ；
，令，得
或，
则当变化时，的变化情况如下表：
x
0 (0，+∞)
f ′(x) ? 0 + 0 + f(x) 单调递减
极小值
单调递增
单调递增
又因为，故
在
的切线为轴，故排除选项A ，所以选C ．
4．【答案】A 【解析】A ．
5．【答案】C
【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种，“心
1m <10m -<()21i m +-()2,1m -()1e 1f =>()()
323e x f x x x =+'3x =-(),3-∞-3-()3,0-()3f -()2
22242cos6013-=--?+-??+a b a b a a b b a b
有灵犀”的情况包括：
，
，，，，，，，
，
，
，
，
共13种，
故他们“心有灵犀”概率为，故选． 6．【答案】D
【解析】设双曲线的方程为，其渐近线方程为，
依题意可知，解得，
∴双曲线C 的渐近线方程为，故选D ．
7．【答案】C
【解析】，，， 由余弦定理可得：
，
由正弦定理可得：，
为锐角，．故选C ． 8．【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程如下， 输入，
，
， ， 此时不满足循环条件，输出， 则判断框中应填入的是．故选C ．
9．【答案】B
13
25
22
221x y a b
-=b y x a =±2222
5
52a b b
a b ?+==+?
???31c Q 2b =π
3
A =
∴∴3
2sin 22sin 6
b A
B a
?=
==π
4
B ∴=
114
111333x k y ===?+=，，4113
21339k y ==?+=，131********k y ==?+=，4011214127381
k y ==
?+=，121
81
y =
【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以，， ，所以球与圆锥的表面积之比为，故选B ． 10．【答案】B
【解析】∵，即， ∴或,（舍去），则， 又
，，，当，， 即，
把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
再把纵坐标缩短到原来的，得到，
再把所得曲线向右平移
个单位长度得到函数的图象， 即，
故选B ． 11．【答案】A
【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为
，则，
3r =2
2
234π4π4π3S r R ?=?=???=?
球的表面积22π2π3πS R R R R =?+=圆锥表面积
2
2
4π4393πR
R
=()02sin 1g ?==1
sin 2
?=5π2π6k ?=
+2ππ6k ?=+k ∈Z ()5π2sin 6g x x ω??=+ ??
?7π5π2π126k ω+=k ∈Z 512267k ω?
?∴=-? ??
?1k =2ω=()5π2sin 26g x x ?
?=+ ??
?()g x 125π2sin 46y x ?
?=+ ???125πsin 46y x ?
?=+ ??
?2π
3
()f x ()2π5π8π5π11ππsin 4sin 4sin 4sin 4363666f x x x x x ?????????
?=-+=-+=-=+ ? ? ???????????????
2
4
y =
由，可知
，解得， 所以，
把点代入椭圆方程得到， 整理得，即
，
因
，所以可得，故选A 项． 12．【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点
对称，所以．
又函数为奇函数，所以
，所以函数
是周期为6的周期函数，
又函数
的定义域为，且为奇函数，故
，，
依次类推，．作出函数的大致图象，如图所示，
根据周期性可知，函数在区间上的图象与在区间上的图象完全一
样， 可知函数在上单调递减，且，
所以函数在区间
上的最小值为．选A ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】因为曲线
，所以，
2
224x x c ??+ ? ???
22
x =221,3A c ?
????
2
222
22131c a b ????? ?
????+=3
e =
R ()()330f f -==()30f -=3
4
-1-()11
a
f x x =-
+'
因为曲线在点
处的切线方程为，
所以，． 14．【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数其几何意义表示点与可行域内的点连线的斜率， 据此可知目标函数在点A 处取得最小值，
联立直线方程，可得点的坐标为，
据此可知目标函数的最小值为，故答案为． 15．【答案】
【解析】， 所以． 16．【答案
【解析
】
设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ，
()01121
a
f a =-
=-='1a =-4-()5,1P -22010
x y x y --=-+=???()4,3A --min 31
445
z --==--+4-7
10
tan tan
2144tan tan 344121tan tan 44ππππππαααα?
?+- ???--????=+-=
== ???-??????++ ??
?22
222
22sin cos cos 2tan 12317
sin2cos =10sin cos tan 131
ααααααααα++?++===+++643
根据相似性可得：，解得（其中． ∴此正四棱柱体积为，，
令，解得， 易得：在上递增，在上递减， ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由已知，得
，
又
，解得
，
．
（2）由（1）得，，
， ． 18．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1），，
， ，
所以月支出关于月收入的线性回归方程是：． （2）的可能取值为，
，， 2232223h -=436x h -=022x <<2
2
436x V x h x -==2
8336x x V -'=0V '=42
x =2436x
V x -=42? ??42,22?643
1
n n
T n =
+()()12
212
n n n S n n n -?=+
=+()111111
n S n n n n ∴
==-++1111
1111223111n n T n n n n ??????∴=-+-++-=-
= ? ? ?+++??????
L 0.2.6?0y x =-203035404855386x +++++=
=4568811
76
y +++++==()2222222
204305356408488551163870.2203035404855638?b
?+?+?+?+?+?-??=≈+++++-?0.2.6?0y
x =-()30
33
36
C C 1020C P ξ?==
=()2
133
36
C C 9120C P ξ?===
，，
故的分布列为：
ξ0123
P
数学期望．
19．【答案】（1）见证明；（2）．
【解析】（1）如图，取的中点连接，，
又是的中点，所以，且，
又是中点，所以，
由四边形是矩形得，，，
所以且．
从而四边形是平行四边形，所以，
∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（2）如图，在平面内，过点作，
()12
33
3
6
C C9
2
20
C
Pξ
?
===()
03
33
3
6
C C1
3
20
P
C
ξ
?
===
1
20
9
20
9
20
1
20 ()1991
0123 1.5
20202020
Eξ=?+?+?+?=
2
3
HG AB
∥
1
2
HG AB
=
1
2
DF CD
=
AB CD
∥
GH DF
∥
GF DH
∥
BQ EC
∥
因为，所以． 又
平面
，所以
，
．
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，．
因为
平面
，所以
为平面的法向量，
设为平面
的法向量．
又
，， ，即，取， ， 所以平面与平面
所成角的余弦值为．
20．【答案】（1）抛物线C 的方程为，焦点F 点坐标为；（2）见解析． 【解析】（1）因为抛物线经过点，
所以
．
所以抛物线C 的方程为
，焦点F 点坐标为．
（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等， 所以，所以B 为AM 的中点． 设（），则．
BE u u u r BQ u u u r BA u u u r
()0,0,4BA =u u u r
(),,x y z =n ()4,0,4AE =-u u u r ()4,4,2AF =-u u u r 0
n AE n AF ?????=?=?u u u r
u u u
r 4404420x z x y z -=+-=???()2,1,2=-n 242cos 43,3
BA BA BA ???∴?===?u u u r
u u u r u u u r
n n n 2
3
()1,0()1,2P ()1,0BM AB =()00,M x y 000x y ≠()00,A x -
所以直线l 的方程为， 与抛物线
联立得， ，
所以直线l 是抛物线C 的切线．
21．【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）． 【解析】（1）时，，
， 当时，； 当时，； 当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减． （2）．
令，则，
若，则当时，，为增函数，而，
从而当
时，，即．
若，则当时，，为减函数，而， 从而当时，，即． 综上可得a 的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）的普通方程为
，的直角坐标方程为
；
()0
00
2y y x x x =
+20
00
840x y y x y -
+=22
000020
06464161604x x Δx x x y =
-=-=()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-(],1-∞12
a =
()()
21
12e x f x x x =--()()
()111e e e x x x f x x x x '=-+-=-+(),1x ∈-∞-()0f x '>()1,0x ∈-()0f x '<()0,x ∈+∞()0f x '>()f x (),1-∞-()0,+∞()1,0-()()()
2e 11e x x f x x ax x ax =--=--()e 1x g x ax =--()e x
g x a '=-()0,x ∈+∞()0g x '>()g x ()00g =()0g x ≥()0f x ≥1a >()0,ln x a ∈()0g x '<()g x ()00g =()0,ln x a ∈()0g x <()0f x <(],1-∞
（2）
． 【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数得曲线的普通方程为，
因为曲线的极坐标方程为，所以，
所以的直角坐标方程为，整理得
．
（2）：
化为极坐标方程
，
所以，
所以，所以，即， 又因为，所以． 23．【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）当时，
，
当时，由
得
，得
，或
，
所以． 当时，由，得，
解得或，所以； 当时，由得，
解得或，所以， 综上：当时，
的解集为．
（2）的解集为实数集，
3π4
2cos 22sin x y ?
?==+???
?=4sin cos =422πn 4A B AB ρρααα?
?-=--= ??
?sin 14πα?
?-=± ??
?()π42ππk k α-=+∈Z ()3ππ4k k α=+∈Z 3π
4
α=
1171x x x ?-+?<->?????
或1,2??
-+∞????1
02
x <≤317x -<317
x +>x ∈?1
2
x >
117x --<
117x -+>117
x -+>1171x x x ?-+?<->?????
或()0f x ≥2
221R a x x ?≥---