授课主题数列求和
教学目标
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问
题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
教学内容
1．基本数列求和公式法
(1)等差数列求和公式：
S n＝
n(a1＋a n)
2＝na1＋
n(n－1)
2d.
(2)等比数列求和公式：
S n＝
??
?
??na1，q＝1，
a1－a n q
1－q
＝
a1(1－q n)
1－q
，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．
常见的裂项公式：
①
1
n(n＋k)
＝
1
k?
?
?
?
1
n－
1
n＋k；
②
1
(2n－1)(2n＋1)
＝
1
2?
?
?
?
1
2n－1
－
1
2n＋1；
③
1
n(n＋1)(n＋2)
＝
1
2?
?
?
?
1
n(n＋1)
－
1
(n＋1)(n＋2)；
④
1
n＋n＋k
＝
1
k(n＋k－n)．
3．常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
n(n＋1)
2；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)
6；
(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝??
??n (n ＋1)22.
题型一 错位相减法求和
例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋
1
(b n ＋2)n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
方法点拨：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)、方程思想、错位相减法． 解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .
由????? a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即?????
11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，
可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋
1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，
得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋
1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，
两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×
????
??4＋4(1－2n
)1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋
2，所以T n ＝3n ·2n ＋
2.
方法技巧
利用错位相减法的一般类型及思路
1．适用的数列类型：{a n b n }，其中数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q ≠1的等比数列． 2．思路：设S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，(*) 则qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －1b n ＋a n b n ＋1，(**)
(*)－(**)得：(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1，就转化为根据公式可求的和．如典例． 提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．
(2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列????
??1b n b n ＋2的前n 项和为T n ，求证：T n <3
4.
解 (1)∵S n ＝1
2a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，
∴当n ＝1时，－2＝1
2a 2＋2，解得a 2＝－8，
当n ≥2时，S n －1＝1
2
a n ＋n ，
两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2， 即a n ＋1－1＝3(a n －1)，
n ＝1时，a 2－1＝3(a 1－1)＝－9，
所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n －1＝(－3)·3n －
1＝－3n . 故a n ＝－3n ＋1.
(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n ＝n ，得1b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12?
???1n －1n ＋2，
T n ＝12????1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12????1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)<3
4.
题型三 分组转化法求和
例3、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝?????
a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，
求数列{c n }的前n 项和P n .
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意，得????? a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得?????
a 1＝4，d ＝4，
∴a n ＝4n .
∵T n －2b n ＋3＝0，①
∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，② ①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， 则数列{b n }为等比数列， ∴b n ＝3·2n －
1.
(2)c n ＝?
????
4n ，n 为奇数，
3·2n －1，n 为偶数.
当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝(4＋4n －4)·
n
2
2
＋
＝2n ＋
1＋n 2－2.
当n 为奇数时，
n ＝1时，P 1＝c 1＝a 1＝4，
解法一：n －1为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n
－1)＋1
＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，
解法二：P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝(4＋4n )·
n ＋1
2
2
＋
＝2n ＋n 2＋2n －1.
∴P n ＝?
????
2n ＋
1＋n 2－2，n 为偶数，
2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.
方法技巧
分组转化法求和的常见类型
1．若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
2．通项公式为a n ＝????
?
b n ，n 为奇数，
c n
，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和．如典例．
【冲关针对训练】已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2
a 3
，S 6＝63.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公比为q .
由已知，有1a 1－1a 1q ＝2
a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.
又由S 6＝a 1(1－q 6)
1－q ＝63，知q ≠－1，
所以a 1(1－26)1－2＝63，得a 1＝1.
所以a n ＝2n －
1.
(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －
1＋log 22n )＝n －12，
即{b n }的首项为1
2，公差为1的等差数列．
设数列{}(－1)n b 2n 的前n 项和为T n ，则
T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n
＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 题型四 倒序相加法
例4、设f (x )＝4x 4x ＋2
，若S ＝f ????12017＋f ????22017＋…＋f ????20162017，则S ＝________. 方法点拨：利用函数性质f (x )＋f (1－x )＝1倒序相加求和． 答案 1008
解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－
x 41－x ＋2＝2
2＋4x .
∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋2
2＋4x ＝1.
S ＝f ????12017＋f ????22017＋…＋f ????20162017，① S ＝f ????20162017＋f ????20152017＋…＋f ???
?12017，② ①＋②，得2S ＝????f ????12017＋f ????20162017＋????f ????22017＋f ????20152017＋…＋???
?f ????20162017＋f ????12017＝2016. ∴S ＝20162＝1008.
方法技巧
如果一个数列{a n }，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．
【冲关针对训练】已知定义在R 上的函数f (x )的图象的对称中心为(1008,2)．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝f (n )，n ∈N *.求S 2015.
解 由条件得f (2×1008－x )＋f (x )＝2×2，即f (2016－x )＋f (x )＝4. 于是有a 2016－n ＋a n ＝4(n ∈N *)． 又S 2015＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014＋a 2015， S 2015＝a 2015＋a 2014＋…＋a 2＋a 1.两式相加得
2S 2015＝(a 1＋a 2015)＋(a 2＋a 2014)＋…＋(a 2014＋a 2)＋(a 2015＋a 1)＝2015(a 1＋a 2015)＝2015×4. 故S 2015＝2015×2＝4030.
1．(2018·重庆调研)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
答案 A
解析 设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n －
1)＋(1＋2＋…＋2t )＝2m (其中m ，n ，t ∈N,0≤t ≤n )，则有N ＝n (n ＋1)2＋t
＋1，因为N >100，所以n ≥13.
由等比数列的前n 项和公式可得2n ＋
1－n －2＋2t ＋
1－1＝2m . 因为n ≥13，所以2n >n ＋2，
所以2n ＋
1>2n ＋n ＋2，即2n ＋
1－n －2>2n ，
由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .
(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －
1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ， 故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，
4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋
1， 上述两式相减，得－3T n
＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋
1＝
12×(1－4n )1－4
－4－(3n －1)×4n ＋
1＝－(3n －
2)×4n ＋
1－8，得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83
.
所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋8
3
.
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )
A ．8n ＋6
B ．4n ＋1
C ．8n ＋3
D ．4n ＋3
答案 A
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得
???
2a 1＋2(2－1)
2
d ＝10，5a 1
＋5(5－1)
2d ＝55，
得?
????
a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n ＋1＝8n ＋6.故选A. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2
＝1，则数列{a n }的公差是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
答案 B
解析 由S 33－S 2
2＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.
3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5
b 5
＝( )
?1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1?a n ＝n n ＋1?a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－
12＋12－13＋…＋1100－1101＝100
101.故选C. 二、填空题
11．S n ＝1＋11＋111＋…＋
＝________.
答案 10n ＋
1－9n －1081
解析 ∵a n ＝1
9(10n －1)，
＝1
9
[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)] ＝19[(10＋102
＋…＋10n )－n ]＝19???
?10(10n －1)9－n ＝10n ＋
1－9n －1081. 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n
(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.
答案 201723＋1
3×42018
解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ?n ＋1a n ＋1
－1＝14????n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列??????n a n －1是以－14为首项，以1
4为公比的等比数列，所以n a n ＝1－1
4
n ，
所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －14??
??1－14n 1－14＝n －13＋13·1
4
n ，
则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018
. 13．设f (x )＝1
2x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋
f (6)的值为________．
答案 3 2
解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项． 由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列． 又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝2
2，
∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×2
2
＝3 2.
(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1
S n
若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋ 1. (2)b n ＝log 42n ＋ 1＝n ＋12， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3) 4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43??? ?1n －1n ＋3， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝43????11－14＋12－15＋13－1 6＋…＋1n －1n ＋3＝43????1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3 ＝43×116－43×????1 n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＝229－43×????1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3. 当n ＝1时，1S 1＝1<2<22 9 ； 当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝229－43????1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3<22 9<3. 故存在k ＝3时，对任意的n ∈N *都有1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1 S n <3. 1． (2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B 解析 利用等比数列的性质和通项公式求解． ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数， ∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25， ∴log 2a 10＝5.故选B. 2． 等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于 ( ) A ．(－2)n － 1 B ．－(－2)n － 1 C ．(－2)n D ．－(－2)n 答案 A 解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0. 而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n － 1＝(－2)n － 1. 3． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－1 3 C.19 D ．－19 答案 C 解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝1 9 . 4． 一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 ( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 B 解析 设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ， 则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9， (a 1·a n )3＝3×9＝33， ∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ， T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1， ∴T 2n ＝(a 1· a n )n ，即7292＝3n ，∴n ＝12. 5． 数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2 n 等于 ( ) A ．(3n －1)2 B.1 2(9n －1) C ．9n －1 D.1 4 (3n －1) 答案 B 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N ＋， n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n － 1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n － 1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n － 1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此 a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝ 4 1－9n 1－9 ＝1 2(9n －1)． 6．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列???? ?? 1a n 的前4项和为 ( ) A.15 8或4 B.4027或4 C.4027 D.158 答案 C 解析 设数列{a n }的公比为q . 当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84. 而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得 281－q 31－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n － 1. 所以数列???? ??1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝40 27. 7．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 答案 3 解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4 a 3 ＝3. 8．(2012·江西)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0， 则S 5＝________. 答案 11 解析 利用“特殊值”法，确定公比． 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， 则S 5＝a 11－q 51－q ＝ 1－－2 5 3＝11. 9． 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 答案 －2 解析 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2 a n ＋1 ＝－2. 10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式； (2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得? ???? a 1＋d ＝2 a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3. ∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2. ∴{b n }的前n 项和T n ＝ b 1 1－q n 1－q ＝1×1－2n 1－2 ＝2n －1. 11．(2013·天津)已知首项为3 2 的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1 S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝1 4 . 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－1 2 . 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×????－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－??? ?－1 2n ＝? ?? 1＋1 2n ，n 为奇数， 1－1 2 n ，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1 6. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7 12. 综上，对于n ∈N ＋，总有－ 712≤S n －1S n ≤5 6 . 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－7 12 . 12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；
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