第6章习题答案
6-1 在1=r μ、4=r ε、0=σ的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是
)3
sin(),(π
ω+
-=kz t E t z E m
若已知MHz 150=f ，波在任意点的平均功率流密度为2μw/m 265.0，试求：
（1）该电磁波的波数?=k 相速?=p v 波长?=λ波阻抗?=η （2）0=t ，0=z 的电场?)0,0(=E
（3）时间经过μs 1.0之后电场)0,0(E 值在什么地方？
（4）时间在0=t 时刻之前μs 1.0，电场)0,0(E 值在什么地方？ 解：（1）)rad/m (22πεπμεω==
=r c
f
k
)m/s (105.1/8?==r p c v ε
)m (12==
k
π
λ )Ω(60120πεμπη=r
r
＝ （2）∵ 62002
10265.02
121-?===
m r
m av E E S εεμη
∴ (V/m)1000.12-?=m E
)V/m (1066.83
sin
)0,0(3-?==π
m E E
（3） 往右移m 15=?=?t v z p
（4） 在O 点左边m 15处
6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是
米伏/1010)
202
(
j 4
20j 4
y
x e e E z z
e
e
πππ----+=
试求： （1）电磁波的传播方向？
（2）电磁波的相速?=p v 波长?=λ频率?=f （3）磁场强度?=H
（4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？
解：（1） 电磁波沿z 方向传播。
（2）自由空间电磁波的相速m/s 1038
?==c v p )m (1.02022===
π
π
πλk ∵ πω
20==
c
k
∴ c πω20=
∴ Hz 1031029?===c f π
ω
（3）)A/m )((106521
20j )
2
20(j 7
y z x z z e e
.e e E e H ππ
πη
-+--+?=?=
（4）)W/m (106522)Re(21211*z z av .e e H E S *
-?=?=?=η
E E
6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。 证 ∵ 0j j 0≠-=??-kz e kE Ε，即不满足Maxwell 方程
∴ 不可能存在z e E kz e E j 0-=的均匀平面电磁波。
6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该
电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？（根据美国国家标准，人暴露在微波下的限制量为10－
2W/m 2不
超过6分钟，我国的暂行标准规定每8小时连续照射，不超过3.8×10－
2W/m 2。）
解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为
230
2
W/m 1065.2377
1
-?==
=
ηe av E S 可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。
6-5 在自由空间中，有一波长为12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为8cm ，且此时m /V 41.31=E ，m /A 125.0=H 。求平面波的频率以及无损耗媒质的r ε和r μ。 解：因为r r εμλλ/
0=，所以4/9)8/12(2==r r εμ
又因为r r H E εμπ120=，所以4443.01202
=??
?
??=H E r r πεμ 1=r μ，25.2=r ε
6-6 若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v 运动，同时一个均匀平面波也沿v 的方向传播。试求该电荷所受的磁场力与电场力的比值。
解：设v 沿z 轴方向，均匀平面波电场为E ，则磁场为 E e H ?=
z 0
1
η
电荷受到的电场力为
E F q e =
其中q 为点电荷电量，受到的磁场力为
E E H e B v
F 000
00εμημμqv v
q v q q z m -=-
=?=?＝
E c
qv -
= 故电荷所受磁场力与电场力比值为
c
v F F e m =
6-7 一个频率为GHz 3=f ，y e 方向极化的均匀平面波在5.2=r ε，损耗角正切值为10－
2的非磁性媒质中，沿正x e 方向传播。
（1）求波的振幅衰减一半时，传播的距离； （2）求媒质的波阻抗，波的相速和波长；
（3）设在0=x 处的y t e E ??
?
?
?+
?=3106sin 509
ππ，写出),(t x H 的表示式。
解：（1）210tan -==
ωε
σ
ψ，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为
497.010
35
.2210321021028
922=????==≈--πμεωεμσ
α 因为2/1=-i
e
α，所以m 40.12
ln ==
α
l
（2）对低损耗媒质，Ω4.2385.2/120/==≈πεμη 相速m/s 1090.15
.21031
88?=?==μεv
波长(cm)32.6(m)0632.0/===f v λ
（3）3.991035.21068
9=???=≈πμεωβ
(A/m)
)3
3.99106sin(21.0)3
106sin(50),(95.095.0z
x z
x x t e x t e t x e e H π
ππ
βπη+
-?=+-?=--
6-8微波炉利用磁控管输出的 2.45GHz 频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数)j 3.01(40~-=r
ε。求： （1）微波传入牛排的穿透深度δ，在牛排内8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？
（2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数=r
ε~ )103.0j 1(03.14-?-。说明为何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。 解：（1）20.8mm m 0208.01121
1
2
1
2==??
?
?????-??? ??+=
=
-ωεσμεω
α
δ
%688.20/8/0
===--e e E E z δ
（2）发泡聚苯乙烯的穿透深度
(m)1028.103
.1103.01045.2210321
22
1
3
4
98?=???????=??
? ??==
=
-πμε
ωεσωμεσ
α
δ
可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
6-9 已知海水的1,81S /m 4===r r μεσ，，在其中分别传播MHz 100=f 或kHz 10=f 的平面电磁波时，试求：????====λβαp v 解：当MHz 1001=f 时，
888.=ωεσ
当kHz 102=f 时，41088?=.ωε
σ
故kHz 102=f 时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式
ωμσβα2
1
≈
≈ 而MHz 1001=f 时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。 （1） 当MHz 1001=f 时 (Nep/m)5.371)(12
2
21=-+=ωε
σμε
ωα (rad/m)0.421)(
12
2
21=++=ωε
σμε
ωβ (m/s)101490811?==
.βω
υp (m)149021
1.==βπ
λ
（2） 当kHz 102=f 时 39702
1
22.=≈
≈ωμσβα ∴ (Nep/m)39702.≈α
(rad/m)39702.≈β
(m/s)1058.1522?==
βω
υp (m)81522
2.==βπ
λ
6-10 证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减54.54dB 。 证：在良导体中，βα≈，故α
π
β
π
λ22=
=
因为 l l
e
E e
E E λ
α2π00--==
所以经过一个波长衰减 54.57(dB))lg(20lg
2020
=-=--πe E E
6-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即
πδ2=d
式中δ是穿透深度。试计算
（1）收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。 （2）电源变压器铁屏蔽罩的厚度。
（3）若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？ （铝：S /m 1072.37?=σ，1=r ε，1=r μ；铁：S/m 107=σ，1=r ε，410=r μ，f ＝465kHz 。） 解： ωμσ
π
πδ2
22==d
（1）铝屏蔽罩厚度为
0.76(mm)
(m)10607107231041046522
247
73=?=??????=--.. πππ
d （2）铁屏蔽罩厚度为
(mm)41.1(m)1041.110
10104502223
7
47=?=?????=-- πππ
d （3） m)(741(m)1047110101041046522
257
473μπππ
..=?=??????=-- 铁d
(mm)73(m)1033710
7231045022
227
7=?=?????=--.. πππ
铝d 用铝屏蔽50Hz 的电源变压器需屏蔽层厚73mm ，太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚m 714μ.，故可以选用作屏蔽材料。
6-12 在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的N 股纱包线的高频电阻只有单股线的
N
1。
证：设N 股纱包中每小股线的半径为r ，
单股线的半径为R ，则22r N R ππ=，即r N R =
单股线的高频电阻为 δ
πσR R 21
1?=
其中σ为电导率，δ为趋肤深度。 N 股纱包线的高频电阻为 δ
πσrN R N 21
?=
∴
N
rN r N rN R R R N 1
1=
==
6-13 已知群速与相速的关系是
ββ
d dv v v p p g +=
式中β是相移常数，证明下式也成立
λ
λ
d dv v v p p g -=
证：由λ
π
β2=
得λλπ
λπβd d d 2
2)1(2-
==
∴ λλλ
λ
πλ
π
d dv
v d dv v v p p p p g -=-?
+=)(22
6-14 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式 （1）y x e e E kz
kz
e E e jE j 1j 1j += （2）z kx y kx e H e H e e H j 2j 1--+= （021≠≠H H ）
（3）y x e e E kz kz
e E e E j 0j 0j ---=
（4）)(j 00j y x e e E ?e AE E e
kz
+=- （A 为常数，π?±≠,0）
（5）)j
(
j j z x e e H ky m
ky m
e E e E --+=η
η
（6）y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()sin(),(-+-=ωω
（7）y m x m kz t E kz t E t z e e E )4
cos()4sin(),(π
ωπ
ω--++
-= 解：（1）—z 方向，直线极化。
（2）＋x 方向，直线极化。 （3）＋z 方向，右旋圆极化。 （4）＋z 方向，椭圆极化。 （5）＋y 方向，右旋圆极化。 （6）＋z 方向，左旋圆极化。 （7）＋z 方向，直线极化。
6-15 证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。 证：设沿z 方向传播的直线极化波的电场矢量方向与x e 方向夹角为θ，
则E ＝z y x e E βθθj 1)sin (cos -+e e
＝z y x e e e e e E βθ
θθθj j j j j 1)j 22(----++e e
＝z y x z
y x e e e E e
e e E βθθβθθj j j 1j j j 1)j (2
)j (2----++-e e e e ＝左圆右圆＋E E
6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿z 方向传播的圆极化波为
y m x m kz t E kz t E t z e e E )cos()2
cos(),(?ωπ
?ω+-+±
+-=
则坡印廷矢量瞬时值
E e E e E
E E
e E H E S η
η
η
z
z z ?-
?=
??
=?=
()
z
m
z
m m E kz t E kz t E e e η
η
?ωπ?ω2
22
22cos 2cos =
+-+??? ??±+-=
6-17 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：
（1）如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？
（2）如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？
（3）如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解：（1）设
kz y x e e E j j 011
)j (-±=?e e E
kz y x e e E j j 022
)j (-±=?e e E
则 21E E E += kz y x e e e
E j j j 0))(j (21
-+±=??e e 故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。 （2）设 kz y x e e
E j j 011
)j (-+=?e e E kz y x e e
E j j 021
)j (--=?e e E
则 21E E E += kz x e e
E j j 01
2-=?e
故合成波是线极化波。 （3）设 kz y x e e
E j j 1011
)j (-±=?e e E kz y x e e
j j j 2021
)(-±=?e e E E
则 kz y x e e E E j j 2010211
)j )((-±+=+=?e e E E E
故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。
6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场
)j (j 0y x kz e E e e E +=-
垂直入射到0=z 处的理想导体平面。试求：
（1）反射波电场、磁场表达式； （2）合成波电场、磁场表达式；
（3）合成波沿z 方向传播的平均功率流密度。 解：（1） 根据边界条件 0|)(0z =+=r i E E 故反射电场为
z y x r e E βj 0)j (e e E +-=
r z E -e H r ?=
)(1
η)j (j 0
y x z e E e e --
=βη
（2） r i E E E +=())j (sin j 20y x z E e e +-=β
r z i z E -e E e H ?+?=)(1
1ηη)j (cos 20y x z E e e +-=βη
（3） )Re(2
1
*?=H E S av )](j cos 2)j )(sin(j 2Re[21
00y x y x z E z E e e e e +?+-=η
ββ
0=
6-19 当均匀平面波由空气向理想介质（1=r μ，0=σ）垂直入射时，有84％的入射功率输入此介质，试求介质的相对介电常数r ε。 解：因为r
r
R εεηηηη+-=+-=
111212
所以1
1
+-=
r r R εε 2
11???
?
??-+=R R r ε
又因为16.0%8412
=-=R ，故4.0=R
44.54.014.012
=??
? ??-+=r ε
6-20 当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时，若媒质波阻抗>2η 1η，证明分界面处为电场波腹点；若12ηη<，则分界面处为电场波节点。
证：在分界面处的总电场为)1(000R E E E E i r i +=+=，00/i r E E R =，R 的幅角即为分界面处入射电场与反射电场的相位差，若相位差为零，则形成电场波腹点，若相位差180o ，则形成电场波节点。
1
21
2ηηηη+-=
R ，对于理想介质，R 为[-1,1]之间的实数。
若>2η1η，则0>R ，R 的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点；
若12ηη<，则0 6-21 均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布如图所示，求：（1）介质墙的r ε；（2）电磁波频率f 。 解：（1）r r R εεηηηη+-=+-= 111212 5 .05 .111= =-+=r R R ερ， 9=r ε （2）因为两相邻波节点距离为半波长， 所以m 422=?=λ (MHz)754 1038=?=f 6-22 若在4=r ε的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为μm 75.0，试求：（1）该介质膜的介电常数及厚度；（2）当波长为μm 42.0的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。 解：（1）312ηηη= 2312==r r r εεε， μm 13.02 475 .042=?== r d ελ （2）d d ef 2322232tan j tan j βηηβηηηη++= j 99.0312tan j 211tan j 2214 3 33 231131311--= ??? ? ??++-= ++-=+-=λπλεεεβηηηηηηηηηηr r r ef ef d R 1.02 =R ，即反 射功率与入射功率之比为0.1。 6-23 证明在无源区中向k 方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为下列方程 E H k ωε-=? H E k ωμ=? 0=?E k 0=?H k 证：在无源区中向k 方向传播的均匀平面波可表示为 r k E E ?-=j 0e r k H H ?-=j 0e 因为 题6-21图 () ()H k H k H r k H H H r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第1方程：E H ωεj =?? 可得 E H k ωε-=? 同理可得 H E k ωμ=? 又因为 ()()E k E k E r k E E E r k r k r k r k ?-=?-=???-=??=??=???-?-?-?-j j j 0j 0j 0 j j 0e e e e 代入无源区麦克斯韦第4方程：0=??E 可得 0=?E k 同理可得 0=?H k 6-24 已知平面波的电场强度 []V /m 34)32()4.28.1(j z y z y x e j -+++=e e e E 试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？ 解：（1）z y e e k 4.28.1+-= 传播方向位于yz 平面内，与y 轴夹角 009.1268 .14 .2arctan 180=-=θ （2）由于电场分量存在相位差2 3 arctan =?，故为右旋椭圆极化。 （3）因为E ?k =0，所以是横电磁波。 6-25 证明两种介质（021μμμ==）的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成 ) sin() sin(t i t i R θθθθ+--⊥＝ ，)(t i i t sin cos T θθθθ+⊥sin 2＝ ) tan() tan(t i t i R θθθθ+-＝ ∥，)cos()sin(cos t i t i i t T θθθθθθ-+sin 2＝∥ 式中i θ是入射角，t θ是折射角。 证：（1）因为 t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-⊥＝ t i v v θθεεηηsin sin 211221=== 所以 t i i t t i i t R θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-⊥＝ ) sin() sin(-t i t i θθθθ+-＝ （2） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝∥ t t i i t t i i θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin +-＝ t i t i θθθθsin2sin2sin2sin2+-＝ ))cos(sin() )cos(sin(t i t i t i t i θθθθθθθθ-++-＝ ) (tan )tan(t i t i θθθθ+-＝ （3）因为 ⊥⊥+=R T 1 所以 =⊥T ) sin() sin(1t i t i θθθθ+--+ ) sin(cos sin 2t i i t θθθθ+= （4） )1(1 2 ////R T +=ηη ]))cos(sin())cos(sin(1[s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-++-+＝ ) )cos(sin()]()sin[(s sin t i t i t i t i i t in θθθθθθθθθθ-+++-? ＝ ))cos(sin(sin2s sin t i t i i i t in θθθθθθθ-+? ＝ ) )cos(sin(cos 2sin t i t i i t θθθθθθ-+＝ 6-26 当平面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为2/π。 证：布儒斯特角2 2211 arccos 1arcsin arctan n n n n B +=+==θ 折射角B i t n n B i θθθθθcos 11 sin sin 2 =+== = 所以布儒斯特角与折射角互余，即2 π θθ= +t B 6-27 当频率GHz 3.0=f 的均匀平面波由媒质14==r r με，斜入射到与自由空间的交界面时，试求 （1）临界角?=c θ （2）当垂直极化波以o 60=i θ入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何？相速?=p v （3）当圆极化波以o 60=i θ入射时，反射波是什么极化的？ 解：（1） o 304 1 arcsin ==c θ （2）因为 c i θθ>发生全反射 所以折射波沿分界面传播，形成表面波。 888 21073.1103sin 103?=?=?==i r p M v v θε（m/s ） （3） 因为 c i θθ>发生全反射，反射系数的模1=⊥∥＝R R ，但反射系数的幅角//δδ≠⊥。将圆极化波分解成 相位差π/2的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变，但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。 6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到4=r ε、1=r μ的介质分界面，如果入射波的电场与入射面的夹角是45o 。试问： （1）当入射角?=i θ时反射波只有垂直极化波。 （2）这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？ 解：（1） 布儒斯特角o 4.63arctan arctan ===r B n εθ 故当o 463.==B i θθ平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。 （2） 6.0|11|sin cos sin cos 222 2222-=+-=-+--==⊥n i i i i n n n n R B i θθθθθθ＝ 垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的2 1 ，故 %.18602 1 2 1 22 =?= =⊥⊥R P P i r 6-29 证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（1>r μ、1>r ε、0=σ）时，其布儒斯特角应满足下列关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεεμμθ 而对于平行极化波则满足关系 1 ) (tan 2--= r r r r r B μεμεεθ 证：（1） t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 1212+-=⊥ 当B i θθ=时，0=⊥R ∴ t B θηθηcos cos 12= （1） 由折射定律 t B k k θθsin sin 21= （2） 可求出 222)sin 1 (1sin 1cos B r r t t θεμθθ-=-= 代入方程（1）得 B r r B r r in θεμθεμ22s 11cos -= B r r B r r in in θεμθεμ22s 11)s (1-=- ∴ 1)(11s 22--=- -=r r r r r r r r r r B in μεμμεμεμεμθ 1 1 cos 2 2 --= r r r B μεμθ ∴ 1 )(tan 2--= r r r r r B μεεμμθ （2） ∵ t i t i R θηθηθηθηcos cos cos cos 2121+-＝ ∥ ∴ t B θηθηcos cos 21= （3） （2）（3）式联立?? ? ??==t r r B t r r B θεμθθεμθcos cos sin sin 与垂直极化相比较，r μ与r ε互换 ∴ 1 ) (tan 2 --= r r r r r B μεμεεθ 6-30 设0 ( ))3(36j z y x z x e e e e E -+=+- 试求：（1）平面波的频率； （2）反射角和折射角； （3）反射波和折射波。 解：（1）入射面为xz 面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即 y z x i e e E ) 3( 6j +-⊥= )3() 3( 6j z x z x i e e e E -=+-|| 已知() z x z x k i i +=+36)cos sin (1θθ得 121=k MHz 28721 11== εμπk f （2） 2 3 sin = i θ r i θθ==o 60 由 2 3 sin sin 12==k k t i θθ可得 18,3.353 1 sin 2o ==?= k t t θθ （3） 420.0sin /cos sin /cos 2 12212-=-+--= ⊥i i i i R θεεθθεεθ 580.0sin /cos cos 22 12=-+= ⊥i i i T θεεθθ 0425.0sin /cos )/(sin /cos )/(2 121221212=-+--= i i i i R θεεθεεθεεθεε|| 638.0sin /cos )/(cos /22 121212=-+= i i i T θεεθεεθεε|| 因此，反射波的电场强度为||r r r E E E +=⊥，其中 y z x r e e E ) 3( 6j 420.0--⊥-= )3(0425.0) 3( 6j z x z x r e e e E --=--|| 折射波的电场强度为||t t t E E E +=⊥，其中 y z x t e e E )3 23 ( 18j 580.0+ -⊥= ) 32 3 (18j )3 23(18j 3132276.1312322638.0z x z x z x z x t e e +-+-???? ? ?-=???? ??-=e e e e E || 6-31 当一个MHz 300=f 的均匀平面波在电子密度1410=N 3/1米并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉的等离子体内传播，试求 （1）该等离子体的张量介电常数?][=r ε （2）如果这个均匀平面波是往z 方向传播的右旋圆极化波，其相速?=p v （3）如果这个波是往z 方向传播的左旋圆极化波，其相速?=p v 解：（1） ???? ??????=31 2 2 1 0j 0j ][εεεεεε－r 1712 3114 219022 10177.310 854.8101.910)106.1(?=?????==---εωm Ne p 8 331 1901079.810510 1.9106.1?=????==---B m e g ω 866.012 22 1=-+=ω ωωεg p 053.0) (2 222-=-= ωωωωωεg g p 91.01223=-=ω ωεp ∴ ?? ?? ? ?????-=91.0000866.0053.0j 0053.0j 866.0][r ε （2） 882 11033.3053.0866.0103?=-?=+=+εεc v p （m/s ） （3） 882 11013.3053 .0866.0103?=+?= -= -εεc v p （m/s ） 6-32 在一种对于同一频率的左、右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中，两个等幅圆极化波同时向z 方向传播，一个右旋圆极化 )j (1j 1y x e e E -=-z m e E β 另一个是左旋圆极化 )j (2j 2y x e e E +=-z m e E β 式中12ββ>，试求 （1）0=z 处合成电场的方向和极化形式。 （2）l z =处合成电成的方向和极化形式。 解：（1） x m E e E E 221＝＋＝Ε 合成场指向x e 方向，是线极化波。 （2） 21E E ＋＝Ε ])(j )[(1221j j j j y z z x z z m e e e e E e e ββββ-----++＝ ])(j )[(2 j 2 j 2 j 2 j 2 j 1 21 21 21 22 1y z z x z z z m e e e e e E e e ββββββββββ------+--++＝ ])2 sin( )2 [cos( 21 21 22 j 2 1y x z m z z e E e e ββββββ-+-+-＝ ∵ 电场两分量相位差等于零 ∴ 合成场是线极化波 ∵ z z z 2)2 cos() 2sin( tan 12121 2ββββββθ-=--= 故当l z =时合成电场与x 轴夹角为l 2 1 2ββθ-= 6-33 设在0≥z 的半空间是电子密度为1410=N 3/1米的等离子体，并有恒定磁场z e B 30105-?=特斯拉，在 0 的场量为入射波的百分之几？ 解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为()21εε+的介质，其中ε1、ε2与6-31题相同，故 %8.94053 .0866.01053.0866.021*********=-+-=+++=+= εεεεηηηT 6-34 我们知道，当线极化平面波沿恒定磁化磁场方向传播时，将产生极化面连续偏转的法拉第旋转效应。若已知1=r ε及饱和磁化铁氧体的张量磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 平面波在自由空间的相位常数是πβ20=rad/m ，其磁场强度在0=z 处是x e H 02H =。 试问（1）该铁氧体中任一点的?=H （2）在m 2.0=z 处H 与x 轴的夹角?=θ （3）该平面波在铁氧体中的传播速度?=p v 解：（1） H 可分解成正负圆极化波向前传播 z y x e H + -+-=βj 0)j (e e H z y x e H - --+=βj 0)j (e e H 式中 3.02)(2100πμμεβμεββ=+==++r r 3.12)(2100πμμεβμεββ=-==--r r ∴ ）（＋ －＋－＋ －y x z z z e H e e H H H 2 sin 2cos 22 j 0ββββββ-+-=+=+--+ [ ] y x z z z e H e e )86.1sin()86.1cos(23.5j 0+=- （2） o 21.3rad)(372.02.02 ) 3.03.1(22 ==?-= -= πββθl ＋ － （3） c c c v p 18.13.03.122 2 0=+=+=+== ＋ －＋－βββββωβω 6-35 一个频率GHz 3=f 、磁场强度是)j (j 0y x e e H +=-z e H β的平面电磁波，在沿波的传播方向磁化的无界无源均匀铁氧体中传播，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10002.13.0j 03.0j 2.1][r μ 相对介电常数16=r ε。试求 （1）电磁波在该铁氧体中的相速?=p v 波长?=λ （2）波阻抗?=η电场强度?=E 解：（1）因为H 是一个左旋圆极化波 ∴ ） （＝＝－－m/s 1012.63 .02.1167 0?=+?=c v r p εμβωβω )cm (04.2)m (1004.22=?== -f v p λ （2） )Ω(4.11516 3 .02.100=+==-ηεμηηr H E ??= ωε j 1 ) j (4.115308j 0y x z z e H e e e H -=?=-η 其中)m /rad (30810 04.2222 =?= = -π λ π β 6-36 无界均匀铁氧体由恒定磁场z e B 00B =饱和磁化，磁导率是 ?? ?? ? ?????-=10008.05.0j 05.0j 8.0][r μ 相对介电常数16=r ε。试问 （1）磁场是z e H y e H βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v （2）电场是z e E y e E βj 0-=的平面波在其中传播的相速?=p v 解：传播方向垂直磁化方向，是横向波 （1） 因为H 沿y 方向传播，只有z e 分量 所以是寻常波，故相速为 (m/s)1075.0/ 8?==r p c v ε （2） 因为平面波向y 方向传播，且0≠z E ，所以是非寻常波，故相速为 (m/s)1007.18 .05.08.01682 21 2 221?=-? = -= c c v r p μμμε 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第一章 真空中的静电场 一、选择题 ； ；；；；；；； ； 二、填空题 1. 3 0281R qb επ；由圆心指向缺口。 2. 0εq ；21Φ<Φ。 3. 均匀带电薄球壳。 4. 1 22 10 h h E E --ε；312C/m 1021.2-?。 5. N/C 100；2 -9 C/m 10.858?。 6. V 135-；V 45。 7. R Q q U q E 0006πε= ；00=∞C U q ；R Q q U q CE 0006πε-=；R Q q U q E 0006πε=∞。 8. 41 2 20 R x q +πε； 2 322 ) (41R x qx πε +； R 22； N/C 4333620=R πεq 。 9. 有源场；无旋场（或保守场）。 三、问答题 答：E 电场强度从力的角度描述电场的性质，矢量场分布；U 从能和功的角度描述电场的性质，标量场。 E 与U 的关系为： U E grad -=?，?∞?=a d l E U a ? ? 使用叠加原理计算电场强度，注意先将各个场源产生的电场强度分解到各坐标轴，然后再叠加。 使用叠加原理计算电势，要注意电势零点的选择。 四、计算与证明题： 1．证：（1） CD BC AB E E E E ? ???++= 根据对称性分布，两段直导线AB 和CD 在O 点产生的电场强度大小相等，方向相反，则0=+CD AB E E ? ?。 在半圆形BC 上取电荷元d l ，则l q d d λ=，相应的在O 点产生d E 为 2 04d d a l E πελ= 由于对称分布分析可知0=x E ，设d E 和y 轴夹角为θ，且有θd d a l = θθελ θελd cos 4πcos 4πd d 020y a a l E == a a E y 02202πd cos 4πελθθελππ==?- j a εE ??0 2πλ=∴ 得证 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为： ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则 21=r ，32=r ，23=r 。 利用点电荷的场强公式r e E 2 04r q πε= ，其中r e 为点电荷q 指向场点 P 的单位矢量。那么， 1q 在P 点的场强大小为0 2 1 011814πεπε= = r q E ，方向为 ()z y r e e e +- =2 11。 2q 在P 点的场强大小为0 2 2 022121 4πεπε= = r q E ，方向为 ()z y x r e e e e ++- =3 12。 3q 在P 点的场强大小为0 2 3 033414πεπε= = r q E ，方向为y r e e -=3 则P 点的合成电场强度为 ?? ???????? ??++???? ??+++- =++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-?C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-?C 的点电荷由无限远 处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理，P 点的合成电位为 ()V 105.24260?=? =r q πε? 因此，将电量为C 1026 -?的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ? 2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度 πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即 习题图2-4 习题图2-6 第二章光固化快速成型工艺 1 ．叙述光固化快速成型的原理。 氦－镉激光器或氩离子激光器发出的紫外激光束在控制系统的控制下按零件的各分层截面信息在光敏树脂表面进行逐点扫描，使被扫描区域的树脂薄层产生光聚合反应而固化，形成零件的一个薄层。一层固化完毕后，工作台下移一个层厚的距离，以使在原先固化好的树脂表面再敷上一层新的液态树脂，刮板将粘度较大的树脂液面刮平，然后进行下一层的扫描加工，新固化的一层牢固地粘结在前一层上，如此重复直至整个零件制造完毕，得到一个三维实体原型。 2 ．光固化快速成型的特点有哪些？ 优点：（1）成型过程自动化程度高； （2）尺寸精度高； （3）优良的表面质量； （4）可以制作结构十分复杂的模型、尺寸比较精细的模型； （5）可以直接制作面向熔模精密铸造的具有中空结构的消失型； （6）制作的原型可以一定程度地替代塑料件。 缺点：（1）制件易变形，成型过程中材料发生物理和化学变化； （2）较脆，易断裂性能尚不如常用的工业塑料； （3）设备运转及维护成本较高，液态树脂材料和激光器的价格较高； （4）使用的材料较少，目前可用的材料主要为感光性的液态树脂材料； （5）液态树脂有气味和毒性，并且需要避光保护，以防止提前发生聚合反应，选择时有局限性； （6）需要二次固化 3．光固化材料的优点有哪些？光固化树脂主要分为几大类？ 优点：（1）固化快 （2）不需要加热 （3）可配成无溶剂产品 （4）节省能量。 （5）可使用单组分，无配置问题，使用周期长。 （6）可以实现自动化操作及固化，提高生产的自动化程度，从而提高生产效率和经济效益。分类：(1)自由基光固化树脂 (2)阳离子光固 (3)混杂型光固化树脂 4．光固化成型工艺过程主要分为几个阶段，其后处理工艺过程包括哪些基本步骤？ 阶段：前处理、原型制作和后处理三个阶段。 后处理步骤：（1）原型叠层制作结束后，工作台升出液面，停留5~10min（晾干）； （2）将原型和工作台一起斜放景干，并将其浸入丙酮、酒精等清洗液中，搅动并刷掉残留的气泡，45min后放入水池中清洗工作台； （3）由外向内从工作台上取下原型，并去除支撑结构； （4）再次清洗后置于紫外烘箱中进行整体后固化。 5．光固化成型的支撑结构的类型有哪些？支撑的作用是什么？ 类型：斜支撑、直支撑、单腹板、双腹板、十字壁板。 作用：支撑结构除了确保原型的每一结构部分都能可靠固定之外，还有助于减少原型在制作过程中发生的翘曲变形。 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ?= ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： 0 ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1，)()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V 0 d ) (41)(| r r |r r ρπε ? 2，? ' ''-'-'= V V 3 d |4) )(()(| r r r r r r E πε ρ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律 介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1，t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2，s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ?S n - =?? 静电场的能量： 孤立带电体的能量：Q C Q W e 2 1 212 Φ== 离散带电体的能量：∑ == n i i i e Q W 1 2 1Φ 分布电荷的能量：l S V W l l S S V e d 21 d 2 1d 2 1ρ ?ρ?ρ??? ? = = = 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵)(第二版) 全套 第一章 题 解 1-1 已知三个矢量分别为 z y e e e A x 32-+=； z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。试求①|| |,| |,|C B A ；②单 位矢量c b a e e e , ,；③B A ?；④B A ?；⑤C B A ??)(及 B C A ??)(；⑥B C A ??)(及C B A ??)(。 解 ① ()1432122222 2=-++=++=z y x A A A A 1421322222 2=++=++=z y x B B B B ()51022 22222=-++=++=z y x C C C C ② ()z y e e e A A A e x a 32141 14-+= == ()z y e e e B B B e x b 23141 14++= == ()z e e C C C e x c -= == 25 1 5 ③ 1623-=-+=++=?z z y y x x B A B A B A B A ④ z y z y z y x z y x z y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x 51172 1 3 321 --=-==? ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x 223111 2 5117 +-=---=?? 因 z y z y z y x z y x C C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x 4521 2 321 ---=--==? 则 ()z y z y e e e e e e B C A x x 13862 1 3 452 +--=---=?? ⑥ ()()()152131532=?+?-+?-=??B C A ()()()1915027=-?-++?=??C B A 。 1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为α，位置矢量B 与X 轴的夹角为β，试证 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明 由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为 ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x += 已知()βα-=?c o s B A B A ，求得 ()B A B A B A β αβαβαsin sin cos cos cos += - 即 βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ， )3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。试问：①该三角形是否是直角三 角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为 z y e e P 21-=； z y x e e e P 342-+=； z y x e e e P 5263++= 那么，由顶点P 1指向P 2的边矢量为 z e e P P x -=-412 同理，由顶点P 2指向P 3的边矢量由顶点P 3指向P 1的边 第一章 真空中的静电场 一、选择题 1.C ；2.B ；3.C ；4.B ；5.B ；6.C ；7.E ；8.AD ； 9.B ；10.BD 二、填空题 1. 3 02 81 R qb επ；由圆心指向缺口。 2. εq ；21Φ<Φ。 3. 均匀带电薄球壳。 4. 1 2210 h h E E --ε；312C/m 1021.2-?。 5. N/C 100；2-9C/m 10.858?。 6. V 135-；V 45。 7. R Q q U q E 0006πε= ；00=∞C U q ；R Q q U q CE 0006πε- =；R Q q U q E 0006πε= ∞。 8. 412 2 R x q +πε ； 2 3 2 2 )(41R x qx πε +； R 2 2； N /C 433362 0=R πεq 。 9. 有源场；无旋场（或保守场）。 三、问答题 答：E 电场强度从力的角度描述电场的性质，矢量场分布；U 从能和功的角度描述电场的性质，标量场。 E 与U 的关系为： U E grad -= ，?∞?=a d l E U a 使用叠加原理计算电场强度，注意先将各个场源产生的电场强度分解到各坐标轴，然后再叠加。 使用叠加原理计算电势，要注意电势零点的选择。 四、计算与证明题： 1．证：（1） CD BC AB E E E E ++= 根据对称性分布，两段直导线AB 和CD 在O 点产生的电场强度大小相等，方向相反，则0=+CD AB E E 。 在半圆形BC 上取电荷元d l ，则l q d d λ=，相应的在O 点产生d E 为 2 04d d a l E πελ= 由于对称分布分析可知0=x E ，设d E 和y 轴夹角为θ，且有θd d a l = θθελ θελd cos 4πcos 4πd d 02 0y a a l E = = a a E y 02 2 2πd cos 4πελ θθελ ππ= = ?- j a εE 02πλ = ∴ 得证 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 安工大物理答案 练习一机械振动 (一) 参考解答 1. (C) ; 2. (B) 3.)2 12/5cos(1022π-?=-t x (SI) 4. 3.43 ( s ) ;-2π/3 . 5. 解：k = m 0g / ?l 25.12N/m 08 .08 .91.0=?= N/m 11 s 7s 25 .025.12/--== =m k ω 5cm )7 21(4/2222 020=+=+=ωv x A cm 4/3)74/()21()/(tg 00=?--=-=ωφx v ，φ =0.64 rad )64.07cos(05.0+=t x (SI) 6. 周期25.0/2=π=ωT s ，振幅A = 0.1 m ，初相φ = 2π/3， v max = ω A = 0.8π m/s ( = 2.5 m/s )， a max = ω 2A = 6.4π2 m/s 2 ( =63 m/s 2 )． 练习二机械振动(二) 参考解答 1．(D) ； 2. （C ） . 3.)2 1cos(04.0π-πt ; 4.3/2π± ; 5. 解：(1) 势能221kx W P = 总能量22 1 kA E = 由题意，4/212 2kA kx =，21024.42 -?±=± =A x m (2) 周期T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2 A x ±= 的最短时间?t 为T /8． ∴?t = 0.75 s ． 6. 解：x 2 = 3×10- 2 sin(4t -π/6) = 3×10- 2cos(4t -π/6-π/2) = 3×10- 2cos(4t - 2π/3)． 作两振动的旋转矢量图，如图所示． 由图得：合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 合振动方程为x = 2×10- 2cos(4t +π/3) (SI) x O ω π/3-2π/3 A 1A 2 A 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 三、判断题 1．液压缸活塞运动速度只取决于输入流量的大小，与压力无关。（○） 2．液体流动时，其流量连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。（×）3．理想流体伯努力方程的物理意义是：在管内作稳定流动的理想流体，在任一截面上的压力能、势能和动能可以互相转换，但其总和不变。（○） 4．雷诺数是判断层流和紊流的判据。（×） 5．薄壁小孔因其通流量与油液的粘度无关，即对油温的变化不敏感，因此，常用作调节流量的节流器。（○） 6．流经缝隙的流量随缝隙值的增加而成倍增加。（×） 7．流量可改变的液压泵称为变量泵。（×） 8．定量泵是指输出流量不随泵的输出压力改变的泵。（×） 9．当液压泵的进、出口压力差为零时，泵输出的流量即为理论流量。（○） 10．配流轴式径向柱塞泵的排量q 与定子相对转子的偏心成正比，改变偏心即可改变排量。（○） 11．双作用叶片泵因两个吸油窗口、两个压油窗口是对称布置，因此作用在转子和定子上的液压径向力平衡，轴承承受径向力小、寿命长。（○） 12．双作用叶片泵的转子叶片槽根部全部通压力油是为了保证叶片紧贴定子内环。（×）13．液压泵产生困油现象的充分且必要的条件是：存在闭死容积且容积大小发生变化。（○）14．齿轮泵多采用变位齿轮是为了减小齿轮重合度，消除困油现象。（×） 15．液压马达与液压泵从能量转换观点上看是互逆的，因此所有的液压泵均可以用来做马达使用。（×） 16．因存在泄漏，因此输入液压马达的实际流量大于其理论流量，而液压泵的实际输出流量小于其理论流量。（○） 17．双活塞杆液压缸又称为双作用液压缸，单活塞杆液压缸又称为单作用液压缸。（×）18．滑阀为间隙密封，锥阀为线密封，后者不仅密封性能好而且开启时无死区。（○）19．当液压泵的进、出口压力差为零时，泵输出的流量即为理论流量（○） 20．单向阀可以用来作背压阀。（○） 21．同一规格的电磁换向阀机能不同，可靠换向的最大压力和最大流量不同。（○）22．因电磁吸力有限，对液动力较大的大流量换向阀则应选用液动换向阀或电液换向阀。（○） 23．串联了定值减压阀的支路，始终能获得低于系统压力调定值的稳定的工作压力。（×）24．增速缸和增压缸都是柱塞缸与活塞缸组成的复合形式的执行元件。（×） 25．变量泵容积调速回路的速度刚性受负载变化影响的原因与定量泵节流调速回路有根本的不同，负载转矩增大泵和马达的泄漏增加，致使马达转速下降。（○） 26．采用调速阀的定量泵节流调速回路，无论负载如何变化始终能保证执行元件运动速度稳定。（×） 27．旁通型调速阀（溢流节流阀）只能安装在执行元件的进油路上，而调速阀还可安装在执行元件的回油路和旁油路上。（○） 29．在变量泵—变量马达闭式回路中，辅助泵的功用在于补充泵和马达的泄漏。（×）30．因液控单向阀关闭时密封性能好，故常用在保压回路和锁紧回路中。（○）31．同步运动分速度同步和位置同步，位置同步必定速度同步；而速度同步未必位置同步。 （○） 32．压力控制的顺序动作回路中，顺序阀和压力继电器的调定压力应为执行元件前一动作的最高压力。（×） 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) () x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++?? 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+ -=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+- 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100 ()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+ 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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