知识精讲
一.中点类辅助线作法
见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ AD是MBC底边的中线）.
.角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式：
1.由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;
3. OA =OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍.
三.截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思
想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短
线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的
较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关
系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
点剖析
.考点：全等三角形辅助线的作法
二.重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法
全等三角形辅助线的作法
三.易错点：
1.辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，
关键是如何分析题目；
2.辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这
种辅助线就不一定能作出来.
题模一：中点类
例1.1.1 已知：△ABC中，AD是BC边上的中线， AB=8, AC =6,试求AD的取值范围.
【答案】 1 ：：：AD ：二7
【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等.
E -
延长AD至E,使得DE =AD ,连结CE
在^A鸵圆C D E CD中
1.' ZADB ZEDC
? .△ ABDDWEDECD (SAS) AB =CE
AE 的取值范围为 CE -AC 2 二AE <14 1 : AD ；1 例1.1.2 如图所示，在 MBC中，AB =AC ,延长AB至U D ,使BD =AB , E为AB的中点，连接CE、 CD ,求证：CD =2EC . A 【答案】见解析 【解析】解法一：如图所示，延长 CE到F ,使EF =CE ,连接BF. 容易证明任BF 9 AEAC ,从而 BF =AC ,而 AC =AB =BD ,故 BF = BD . 注意至U Z CBD =/BAC +/ACB =/BAC +/ABC , N CBF =/ABC +/FBA =/ABC +/CAB , 故Z CBF =Z CBD ,而 BC 公用，故A CBF A CBD , 因此 CD =CF =2CE . 解法二：如图所示，取 CD的中点G ,连接BG . 因为G是CD的中点，B是AD的中点， 1 1 故BG是 4AC的中位线，从而 BG =—AC =—AB=BE , 2 2 由 BG // AC 可得 ZGBC =/ACB =/ABC =/EBC ,故 ABCE 9 ABCG , 从而 EC =GC , CD =2CE . A 题模二：角平分线类 例1.2.1 如图，/A+/D =180。，BE 平分 /ABC , CE 平分 /BCD，点 E 在 AD 上. ①探讨线段 AB、CD和BC之间的等量关系. ②探讨线段 BE与CE之间的位置关系. 【答案】见解析 【解析】①AB +CD =BC ;②BE ICE .证明如下： 在线段BC上取点F ,使FB =AB ,连结EF . 在MBE和AFBE中 AB = FB .ABE =. FBE BE =BE MBE^ 任BE ZAEB =/FEB , /BAE =/BFE ???.A D =180 而.BFE . CFE =180 . CDE =. CFE 在ACDE和ACFE中 >CDE ZCFE ；_DCE =. FCE CE =CE ACDE 9 iCFE /DEC =/FEC , CD =CF AB +CD =BC , /BEC =/BEF +ZCEF =90° A 例 1.2.2 如图，已知 AB =AC , /BAC=90。BD 为/ ABC 勺平分线，CEL BE 求证：BD =2CE . 【答案】 见解析 【解析】 延长CE,交BA 的延长线于点F. ??? BD 为/ ABC 的平分线，CEXBE, BEF^A BEC,，BC=BF, CE=FE. ??? ZBAC =90。，CEXBE,「. /ABD =ZACF , 又「 AB=AC, . ABD^A ACF ,BD =CF .，BD =2CE . 例1.2.3 已知/MAN =120*, AC 平分/ MAN 点R D 分别在AN AM 上. (1)如图1,若NABC=/ADC =90)请你探索线段 AD AB AC 之间的数量关系，并证明之； (2)如图2,若NABC +NADC =180%则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不 成立，请说明理由. 【答案】 见解析 【解析】（1）关系是：AD+AB=AC. 证明：??? AC 平分/ MAN, /MAN =120。 . CAD =/CAB =60 又 /ADC =/ABC =90 . ACD =/ACB =30 rr 1 则AD=AB=-AC （直角三角形一锐角为 30 ,则它所对直角边为斜边一半） 2 AD +AB =AC ； （2）仍成立. 证明：过点 C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F . AC 平分/ MAN CE =CF （角平分线上点到角两边距离相等） ??? /ABC +Z ADC =180 ）Z ADC +/CDE =180° . CDE -/ABC 又/CED =/CFB=90: /.A CED^ACFB （AAS ） ??? ED =FB , AD +AB =AE -ED +AF +FB =AE +AF 由（1）知 AE +AF =AC , AD +AB =AC . A F B N 题模三：截长补短类 例1.3.1如图所示， MBC是边长为1 的正三角形，ABDC是顶角为120 =的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60。的/MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AAMN的周长. 【答案】见解析 【解析】如图所示，延长 AC到E使CE =BM . 在四DM 与 MDE 中，因为 BD =CD , /MBD =/ECD =90?, BM =CE , 所以姐DM 9 iCDE ,故 MD =ED . 因为 ZBDC =120°, ZMDN =60 °,所以 ZBDM +/NDC =60， 又因为 NBDM =/CDE ,所以 /MDN =/EDN =60 叫 在川ND 与 iEND 中，DN =DN , /MDN =/EDN =60，DM =DE , 所以川ND叁 iEND，则NE =MN ,所以 "MN的周长为2 . 例1.3.2阅读下列材料： 如图 1,在四边形 ABCD43,已知/ ACB4 BAD=105 , / ABCh ADC=45 .求证：CD=AB. 小刚是这样思考的：由已知可得，/ CAB=30 , / DAC=75 , / DCA=60 , / ACB吆DAC=180 ,由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE± AB交BC的延长线于点E,则AB=AE / E=/D. 在△ ADCI △ CEA 中， r ZD=ZE L AC=CA . AD挈△ CEA 得 CD=AE=AB. 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题： 图1 图2 如图2,在四边形 ABCD43,若/ ACB吆CAD=180 , / B=Z D,请问：CD与AB是否相等？若相等, 请你给出证明；若不相等，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质. CD与AB相等. 证明如下： 工 图1 图2 作AE = AB交BC的延长线于点 E, . B =./E ??? . B =/D Z D =N E , ZACB +N DAC =180。/ACB +N ECA=180。ZDAC =/ECA , ???在 ADAC 和 AECA 中 I D =.E 'Z DAC Z ECA AC 二CA ??? ADAC Z^ECA CD =AE ??? CD =AB . 随练1.1 如图所示，已知 MBC中，AD平分NBAC , E、F分别在BD、AD上.DE =CD , EF =AC .求证：EF // AB . 【答案】见解析 【解析】延长AD到M ,使DM =AD ,连结EM ,利用SAS证明&ADC且AMDE , N3 =N M , AC =EM . 又 AC =EF , .1. EM =EF , /1 =/M , Z1 =/3, ??? AD 平分N BAC , /2 =/3, 【答案】 见解析 【解析】 BE +CD = BC , 理由是：在BC 上截取BF =BE ,连结OF , 利用 SAS 证彳导 ABEO 色 ABFO ,，Z 1 =/2 , 1 . ? Z A =60>/BOC =90*+—/A =120: /. /DOE =120 口， 2 ZA +/DOE =180 °, Z AEO +Z ADO =180% Z 1 +/3=180*, 22+24 =180?, /1=/2,，/3=/4, 利用 AAS 证彳导笈DO 9 ACFO ,「. CD =CF , BC =BF +CF =BE +CD . 随练1.3 如图，在^ ABC 中，ZBAC =60°, ZACB =40°, P 、Q 分别在BC CA 匕 并且 AP BQ 分 别是/ BAC / ABC 勺角平分线.求证： (1) BQ =CQ ; (2) BQ+AQ =AB+BP . A 随练1.2 已知 MBC 中，N A =60 * BD 、CE 分别平分 /ABC 和NACB , 试判断BE 、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明. BD 、CE 交于点 O , .1. /1 =/2 , EF // AB . B P C 【答案】见解析 【解析】该题考察的是全等三角形. (1) .「BQ是/ABC的角平分线， 八一 1 八 .. Z QBC =—/ABC . 2 ??? /ABC +/ACB +/BAC =180，且/BAC =60。/ACB =400, /ABC =80% 1 一 一Z QBC =—父80~=40：2 Z QBC =/C , BQ =CQ ; (2)延长AB至M,使得BM =BP ,连结MP. ZM =N BPM , . △ABC 中Z BAC =60 s, Z C =40", ZABC =80 ??? BQ 平分 /ABC , Z QBC =40'/C , BQ =CQ , ZABC =Z M +/BPM , ZM =/BPM =40+=/C , AP 平分 ZBAC , /MAP =/CAP , 在祥MP和"CP中， 4?M =/C "MAP /CAP I AP =AP AMP^A ACP, AM =AC , ??? AM =AB +BM =AB +BP , AC =AQ +QC =AQ +BQ , AB BP =AQ BQ 1.4 五边形 ABCDEK AB=AE, BC+DE=CD, /ABC+/AED =180口，求证：AD 平分/ 【答案】 见解析 【解析】 延长DE 至F,使得EF =BC ,连接AC. ZABC +/AED=180。, ZAEF +/AED =180% ，/ABC =/AEF ,. AB=AE, BC=EF, /.△ ABC^A AEF . EF =BC , AC =AF ??? BC +DE =CD , .1. CD =DE +EF =DF ADC^A ADF ,，NADC =NADF 即AD 平分/ CDE. 随练1.5 如图，△ ABC 中，NBAC >^B >Z C , AD 是BC 边上的高，如果 CD = AB + BD ,我们就称 △ ABE “高和三角形” .请你依据这一定义回答问题： (1)若ZBAC =90 °, /C =30°,则^ ABC "高和三角形”(填“是”或“不是”)； 2 2) 一般地，如果△ ABC 是“高和三角形”，则N B 与N C 之间的关系是 ,并证明你的结论 4 随练 CDE Q B D C 3D C 【答案】（1）是（2）/B=2/C ;见解析 【解析】该题考察的是全等三角形. （1）如图，RtAABC 中，/BAC=90。Z B =60°, Z C=30° 在BC上截取BE =AB ,则AABE为等边三角形 AB =BE =AE 「/BAE =60。，/BAC=90> . EAC =30 , ：_C AE =EC AB=EC ??? AD_LBC,且9BE为等边三角形 BD =DE DC =DE EC = BD AB ，是高和三角形. (2)如上图，在 AABC中，在 DC上截取 DE =BD . CD =AB BD CE =AB . C "EAC ?? BEA =2 C .「AD是BC边上的高且BD =DE .-.△ABD AED (SAS) /AEB Z B Z B =2" 随练1.6 如图所示，/BAC =/DAE =90°, M 是 BE 的中点，AB =AC , AD =AE ,求证 AM _L CD . A 【答案】见解析 【解析】如图所示，设 AM交DC于H ,要证明AM _LCD ,实际上就是证明N AHD =90、而条 件BM =ME不好运用，我们可以倍长中线AM至ij F ,连接BF交AD于点N ,交CD于点O . 容易证明MME色AFMB 则 AE =FB , N EAF =/F ,从而 AE // FB , /ANF =90 ◎ 而N CAD +/DAB =90。，/DAB +/ABN =90。，故/CAD =/ABN 从而A CAD色MBF ,故/D =/F 而.D . DON u/FOH . F =90 故/AHD =90 °,亦即 AM 1CD . ABC中，/ABC=3/C, /1=/2, BE! AE 求证: AC — AB =2BE . 【解析】延长BE交AC于M , ??? BEXAE,/AEB =/AEM =90* 在△ ABE 中，??? N1 +N3 +/AEB =180) Z3 =90 Z1 同理，- 4 =90 -- 2 Z1 =Z2 , N3=/4, AB=AM ??? BEXAE,BM =2BE , AC -AB =AC -AM =CM , 4是4 BCM 的外角，，N4=/5+/C /ABC =3/C，.= /ABC =/3 +/5 =/4 +/5 3/C =/4 +/5 =2/5 +/C , /5 =/C CM =BM , AC _AB =BM =2BE 作业1 已知：如图，E是BC的中点，点 A在DE上，且 ZBAE =/CDE . 【解析】延长DE到F,使EF =DE ,连接BF , E 是 BC 的中点，，BE =CE , ???在 4BEF 和 4CED 中 BE =CE !」BEF - . CED EF =DE BEF^A CED. ZF =/CDE , BF =CD . ??? /BAE =ZCDE , /BAE =/F . AB =BF , 又「 BF =CD , AB =CD . AE 平分 ZBAC 交 BC 于 E, DF 〃AE 交 AC 于 F, AC = 2 ,【解析】 解：延长DF 交BA 延长线与点G,延长FD 到H 使彳导HD = FD ,连接BH. ' AE 平分 NBAC , DG //AE , 「./BAE =/EAC =/DFC =/AFG =/DGA ,二 FA=GA, ■双 DH =DF , CD =DB ,易得 ACFD =ABHD , 「■CF =BH , /CFD =/BHD =/AGF , 贝U BH =BG =CF ，设 AF =x ，贝U BG =1 +x , CF =AC -AF =2 —x = BH = BG =1 +x, 1 3 斛得，x =— , CF =2-x=- 2 2 作业2 如图，在 MBC 中，D 为BC 边上的中点, AB =1 ,求CF 的长. 2 G 作业3 如图，在^ ABC中，CC =2/B , AD平分/ BAC求证：AB-AC =CD . 【答案】见解析 【解析】在AB上截取点E,使得AE=AC . . AD 平分/ BAC, ZEAD =/CAD , ADE^A ADC (SAS).「. /AED =/C , ED =CD . ??? Z C =2/B , Z AED=2Z B . ??? ZAED =/B +/EDB ,「. Z B =ZEDB ,「. BE =DE . CD =BE =AB —AE = AB -AC . 作业4已知：/AOB=90,, OM是/AOB勺平分线，将三角板的直角顶点P在射线OMk滑动，两直角边分别与OA O皎于C D. (1) PC和PD的数量关系是 . (2)请你证明(1)得出的结论. D 【答案】见解析 【解析】(1) PC=PD. (2)过P分另1J作PE^OB于E, PFXOA于F, Z CFP =/DEP =90。 ??? OM 是/ AOB 的平分线，， PE =PF , Z1 +/FPD =90，且/AOB =90?, ZFPE =90 °, Z2 +Z FPD =90 Z1 =/2 , 在4CFP和^ DEP中 1P CPF =. DEP /PF =PE , CFP^A DEP, PC=PD. 1=/2 作业5 已知：如图，△ ABC中，AB=AC, BD平分/ ABC BC上有动点P. （1）DPI BC时（如图 1）,求证：BP=DC+CP; （2） DP平分/ BDC时（如图2）, BQ CD CP三者有何数量关系？A 【答案】（1）见解析（2） BD =CD +CP 【解析】（1）证明：在BP上截取PM =PC ,连接DM, ??? DPXBC, DM =DC , .? 4 =/DMC , AB =AC , /ABC =/C =/DMP , ??? BD 平分/ ABC , /ABC =2/DBC =/C , ZDMC =2/DBC , ??? ZDMC =/DBC +/BDM , ZDBC =/MDB , DM =BM =DC , BP =BM +PM =DC +CP . (2)解：BD =CD +CP , 理由是：在 BD上截取 DM =DC ,连接PM, . DP 平分/ BDC, ZMDP =/CDP , 在AMDP和ACDP中 DM =DC 'ZMDP ZCDP DP =DP MDP^ACDP (SAS), CP =MP , Z C =/DMP , ??? Z C =NABC =2/DBC , ZDMP =2/DBC =/DBC +/MPB , ZDBC =/MPB , BM =MP =CP , BD =CD +CP . 作业6 已知等腰 MBC , Z A =100°, N ABC的平分线交 AC于D ,则BD +AD =BC . 【答案】 见解析 【解析】 延长BD 至E,使CD =DE ，连接AE , AD , ? ?? BD +CD =AB , BE =BD +DE ,BE=AB , ? ?? ZABD =60 °,「.△ABE 是等边三角形, AE =AB =AC , Z E =60 、【答案】 见解析 【解析】 如图，在BC 上截取BE =BD ,连接DE , 过 D 作 DF // BC ,交 AB 于 F ,于是 /3 =/2, /ADF =/ECD . 又「金1 =/2 , Z 1 =/3,故DF =BF .显然FBCD 是等腰梯形. BF =DC , DF =DC . ^(180°-100°)=20°, 1 /BED =NBDE =1(180 S -Z 2 )=80 \ /DEC =180 J/BED =100 /FAD =/DEC =100°, MFD 9 AEDC , AD =EC . 又「 BE =BD , .1. BC =BD +EC =BD +AD . 作业7 如图，在^ ABC 中，AB=AC , D 是三角形外一点，且 /ABD=60) BD+DC=AB.求证 : AC 二AE 在 AACD 和 AADE 中，J CD=DE， I AD =AD ACD ADE (SSS), /ACD =/E =60 , 作业8 如图1,在△ABC\ ZACB =2/B, / BAC勺平分线AO^ BC于点D,点H为AO上一动点, 过点H作直线l ±AOT H,分别交直线AB AC BC于点M E、M (1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN =CD ; (2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明； (3)请直接写出BN CE CD之间的等量关系. 【答案】(1)见解析(2) CD =2CE (3)当点M在线段BC上时，CD=BN+CE;当点M在 BC的延长线上时， CD =BN -CE ;当点 M在CB的延长线上时， CD =CE — BN 【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质. (1)证明：连接ND. . AO 平分/ BAC, Z1 =/2 , ?.直线UAO于H, .1. /4 =/5 =90) Z6 =/7 , AN =AC , NH =CH , .?.AH是线段NC的中垂线， DN =DC , Z8 =29 . ZAND =/ACB , ??? ZAND =/B +/3 , ZACB =2/B ,
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