2014年数学建模B作业：非线性规划和目标规划
Ⅱ-1 非线性规划
某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台。工厂的最大生产能力为每季100台，每季的生产费用是2
x
=（元），其中x为该季生产发动机的台
f+
x
2.0
(x
50
)
数，若工厂生产多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？
model:
sets:
season/1..3/:x,d;
endsets
data:
d=40 60 80;
enddata
min=@sum(season(i):x(i)*50+0.2*x(i)^2)+8*x1+4*x2-560;
@for(season(j)|j#lt#4:@sum(season(i)|i#lt#j+1:x(i))-@sum(season(i)|i# lt#j+1:d(i))>0);
end
Local optimal solution found.
Objective value: 10600.00
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 8.000000
X2 0.000000 4.000000
X( 1) 60.00000 0.000000
X( 2) 60.00000 0.000000
X( 3) 60.00000 0.000000
D( 1) 40.00000 0.000000
D( 2) 60.00000 0.000000
D( 3) 80.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 10600.00 -1.000000
2 20.00000 0.000000
3 20.00000 0.000000
4 0.000000 -74.00000
Ⅱ-2 目标规划
某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A，B，C。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产1台A，B，C型号的笔记本电脑分别需要5，8，12（h）公司装配线正常的生产时间是每月1700h。公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是每台 1000，1440，2520（元），而公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出，公司经理考虑以下目标：
第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；
第二目标：优先满足老客户的需求，A，B，C三种型号的电脑50，50，80（台）同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；
第三目标：限制装配线的加班时间，不允许超过200h
第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C型号分别为100，120，100（台），再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；
第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型。并求解。
model:
sets:
level/1..4/:p,z,goal;
kind/1..3/:x;
h_con_num:b;
s_con_num/1..7/:g,dplus,dminus;
h_cons(h_con_num,kind):a;
s_cons(s_con_num,kind):c;
obj(level,s_con_num):wplus,wminus;
endsets
data:
p=? ? ? ?;
goal=? ? ? 1000;
b=1900;
g=1700 50 50 80 100 120 100;
a=5 8 12;
c=5 8 12
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1;
wplus=0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0;
wminus=1 0 0 0 0 0 0
0 20 18 21 0 0 0
0 0 0 0 20 18 21
0 0 0 0 0 0 0;
enddata
min=@sum(level:p*z);
@for(level(i):z(i)=@sum(s_con_num(j):wplus(i,j)*dplus(j))+@sum(s_con_ num(j):wminus(i,j)*dminus(j)));
@for(h_con_num(i):@sum(kind(j):a(i,j)*x(j)) @for(s_con_num(i):@sum(kind(j):c(i,j)*x(j)+dminus(i)-dplus(i)=g(i));) ; @for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z()i),goal(i);); end Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Total solver iterations: 9 Variable Value Reduced Cost P( 1) 1.000000 0.000000 P( 2) 0.000000 0.000000 P( 3) 0.000000 0.000000 P( 4) 0.000000 0.000000 Z( 1) 0.000000 0.000000 Z( 2) 0.000000 0.000000 Z( 3) 1590.000 0.000000 Z( 4) 200.0000 0.000000 GOAL( 1) 1000000. 0.000000 GOAL( 2) 1000000. 0.000000 GOAL( 3) 1000000. 0.000000 GOAL( 4) 1000.000 0.000000 X( 1) 100.0000 0.000000 X( 3) 80.00000 0.000000 B( 1) 1900.000 0.000000 G( 1) 1700.000 0.000000 G( 2) 50.00000 0.000000 G( 3) 50.00000 0.000000 G( 4) 80.00000 0.000000 G( 5) 100.0000 0.000000 G( 6) 120.0000 0.000000 G( 7) 100.0000 0.000000 DPLUS( 1) 200.0000 0.000000 DPLUS( 2) 50.00000 0.000000 DPLUS( 3) 5.000000 0.000000 DPLUS( 4) 0.000000 0.000000 DPLUS( 5) 0.000000 0.000000 DPLUS( 6) 0.000000 0.000000 DPLUS( 7) 0.000000 0.000000 DMINUS( 1) 0.000000 1.000000 DMINUS( 2) 0.000000 0.000000 DMINUS( 3) 0.000000 0.000000 DMINUS( 4) 0.000000 0.000000 DMINUS( 5) 0.000000 0.000000 DMINUS( 6) 65.00000 0.000000 DMINUS( 7) 20.00000 0.000000 A( 1, 1) 5.000000 0.000000 A( 1, 2) 8.000000 0.000000 A( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 8.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 1.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 1.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 4, 1) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 1.000000 0.000000 C( 5, 1) 1.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 1.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 1.000000 0.000000 WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 1) 1.000000 0.000000 WPLUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000 WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 2) 20.00000 0.000000 WMINUS( 2, 3) 18.00000 0.000000 WMINUS( 2, 4) 21.00000 0.000000 WMINUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 5) 20.00000 0.000000 WMINUS( 3, 6) 18.00000 0.000000 WMINUS( 3, 7) 21.00000 0.000000 WMINUS( 4, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost P( 1) 0.000000 0.000000 P( 2) 1.000000 0.000000 P( 3) 0.000000 0.000000 P( 4) 0.000000 0.000000 Z( 1) 0.000000 0.000000 Z( 3) 1590.000 0.000000 Z( 4) 200.0000 0.000000 GOAL( 1) 0.000000 0.000000 GOAL( 2) 1000000. 0.000000 GOAL( 3) 1000000. 0.000000 GOAL( 4) 1000.000 0.000000 X( 1) 100.0000 0.000000 X( 2) 55.00000 0.000000 X( 3) 80.00000 0.000000 B( 1) 1900.000 0.000000 G( 1) 1700.000 0.000000 G( 2) 50.00000 0.000000 G( 3) 50.00000 0.000000 G( 4) 80.00000 0.000000 G( 5) 100.0000 0.000000 G( 6) 120.0000 0.000000 G( 7) 100.0000 0.000000 DPLUS( 1) 200.0000 0.000000 DPLUS( 2) 50.00000 0.000000 DPLUS( 3) 5.000000 0.000000 DPLUS( 4) 0.000000 0.000000 DPLUS( 5) 0.000000 0.000000 DPLUS( 6) 0.000000 0.000000 DPLUS( 7) 0.000000 0.000000 DMINUS( 1) 0.000000 0.000000 DMINUS( 2) 0.000000 0.000000 DMINUS( 3) 0.000000 0.000000 DMINUS( 4) 0.000000 0.000000 DMINUS( 5) 0.000000 0.000000 DMINUS( 6) 65.00000 0.000000 DMINUS( 7) 20.00000 0.000000 A( 1, 1) 5.000000 0.000000 A( 1, 2) 8.000000 0.000000 A( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 8.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 1.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 1.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 1.000000 0.000000 C( 5, 1) 1.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 1.000000 0.000000 C( 6, 3) 0.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 1.000000 0.000000 WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 1) 1.000000 0.000000 WPLUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000 WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 2) 20.00000 0.000000 WMINUS( 2, 3) 18.00000 0.000000 WMINUS( 2, 4) 21.00000 0.000000 WMINUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 5) 20.00000 0.000000 WMINUS( 3, 6) 18.00000 0.000000 WMINUS( 3, 7) 21.00000 0.000000 WMINUS( 4, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 Global optimal solution found. Objective value: 1590.000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost P( 1) 0.000000 0.000000 P( 2) 0.000000 0.000000 P( 3) 1.000000 0.000000 P( 4) 0.000000 0.000000 Z( 1) 0.000000 0.000000 Z( 2) 0.000000 -0.2857143 Z( 3) 1590.000 0.000000 Z( 4) 200.0000 0.000000 GOAL( 1) 0.000000 0.000000 GOAL( 2) 0.000000 0.000000 GOAL( 3) 1000000. 0.000000 GOAL( 4) 1000.000 0.000000 X( 1) 100.0000 0.000000 X( 2) 55.00000 0.000000 X( 3) 80.00000 0.000000 B( 1) 1900.000 0.000000 G( 1) 1700.000 0.000000 G( 2) 50.00000 0.000000 G( 3) 50.00000 0.000000 G( 4) 80.00000 0.000000 G( 5) 100.0000 0.000000 G( 6) 120.0000 0.000000 G( 7) 100.0000 0.000000 DPLUS( 1) 200.0000 0.000000 DPLUS( 2) 50.00000 0.000000 DPLUS( 3) 5.000000 0.000000 DPLUS( 4) 0.000000 6.000000 DPLUS( 5) 0.000000 11.25000 DPLUS( 6) 0.000000 18.00000 DPLUS( 7) 0.000000 21.00000 DMINUS( 1) 0.000000 0.000000 DMINUS( 2) 0.000000 5.714286 DMINUS( 3) 0.000000 5.142857 DMINUS( 4) 0.000000 0.000000 DMINUS( 5) 0.000000 8.750000 DMINUS( 6) 65.00000 0.000000 DMINUS( 7) 20.00000 0.000000 A( 1, 1) 5.000000 0.000000 A( 1, 2) 8.000000 0.000000 A( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 1.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 1.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 4, 1) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 1.000000 0.000000 C( 5, 1) 1.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 1.000000 0.000000 C( 6, 3) 0.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 1.000000 0.000000 WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 1) 1.000000 0.000000 WPLUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000 WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 2) 20.00000 0.000000 WMINUS( 2, 3) 18.00000 0.000000 WMINUS( 2, 4) 21.00000 0.000000 WMINUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 5) 20.00000 0.000000 WMINUS( 3, 6) 18.00000 0.000000 WMINUS( 3, 7) 21.00000 0.000000 WMINUS( 4, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1590.000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 -0.2857143 4 0.000000 -1.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 2.250000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 -6.000000 12 0.000000 -18.00000 13 0.000000 -21.00000 No feasible solution found. Total solver iterations: 11 Variable Value Reduced Cost P( 1) 0.000000 0.000000 P( 2) 0.000000 0.000000 P( 3) 0.000000 0.000000 P( 4) 1.000000 0.000000 Z( 1) 0.000000 1.000000 Z( 2) 0.000000 -0.2380952E+08 Z( 3) 0.000000 -0.5555556E+08 Z( 4) 200.0000 0.000000 GOAL( 1) 0.000000 0.000000 GOAL( 2) 0.000000 0.000000 GOAL( 3) 0.000000 0.000000 GOAL( 4) 1000.000 0.000000 X( 1) 100.0000 0.000000 X( 2) 55.00000 0.000000 X( 3) 80.00000 0.000000 B( 1) 1900.000 0.000000 G( 1) 1700.000 0.000000 G( 2) 50.00000 0.000000 G( 3) 50.00000 0.000000 G( 4) 80.00000 0.000000 G( 5) 100.0000 0.000000 G( 6) 120.0000 0.000000 G( 7) 100.0000 0.000000 DPLUS( 1) 200.0000 0.000000 DPLUS( 2) 50.00000 0.000000 DPLUS( 3) 5.000000 0.000000 DPLUS( 4) 0.000000 0.5000000E+09 DPLUS( 5) 0.000000 0.6250000E+09 DPLUS( 6) -65.00000 0.1000000E+10 DPLUS( 7) -20.00000 0.1000000E+10 DMINUS( 1) 0.000000 0.000000 DMINUS( 2) 0.000000 0.4761905E+09 DMINUS( 3) 0.000000 0.4285714E+09 DMINUS( 4) 0.000000 0.000000 DMINUS( 5) 0.000000 0.4861111E+09 DMINUS( 6) 0.000000 0.000000 DMINUS( 7) 0.000000 0.1666667E+09 A( 1, 1) 5.000000 0.000000 A( 1, 2) 8.000000 0.000000 A( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 8.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 1.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 1.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 4, 1) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 1.000000 0.000000 C( 5, 1) 1.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 1.000000 0.000000 C( 6, 3) 0.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 1.000000 0.000000 WPLUS( 1, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 3, 7) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 1) 1.000000 0.000000 WPLUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WPLUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 1) 1.000000 0.000000 WMINUS( 1, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 1, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 2) 20.00000 0.000000 WMINUS( 2, 3) 18.00000 0.000000 WMINUS( 2, 4) 21.00000 0.000000 WMINUS( 2, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 2, 7) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 3, 5) 20.00000 0.000000 WMINUS( 3, 6) 18.00000 0.000000 WMINUS( 3, 7) 21.00000 0.000000 WMINUS( 4, 1) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 2) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 3) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 4) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 5) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 6) 0.000000 0.000000 WMINUS( 4, 7) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 85.00000 -1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 -0.2380952E+08 4 0.000000 -0.5555556E+08 5 0.000000 -1.000000 6 0.000000 0.1250000E+09 7 0.000000 1.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 -0.5000000E+09 11 0.000000 -0.6250000E+09 12 0.000000 -0.1000000E+10 13 0.000000 -0.1000000E+10 Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义 农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分 数学建模线性规划模型 数学建模教案,线性规划模型 一、问题的提出 在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。 例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少, 初步分析可以先考虑两种“极端”的情况: (1)全部截出长为698mm的甲件，一共可截出 EQ F(4000,698) ?5件，残料长为510mm。 (2)全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 EQ F(4000,518) ?7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少,把截取条件数学化地表示出来就是: 698 x + 518y ? 4000 x ，y都是非负整数 目标是使:z = EQ F(698x + 518y,4000) (材料利用率)尽可能地接近或等于1。(尽可能地大) 该问题可用数学模型表示为: 目标函数 : max z = EQ F(698x + 518y,4000) 满足约束条件: 698 x + 518y ? 4000 ， (1) x ，y都是非负整数 . (2) 例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。 I II 设备 1 2 8台数 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多, 这问题可以用以下的数学模型来描述:设 x, x分别表示在计划期内产品I、II 的产量。 1 2 因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为: x + 2x ? 8 . 1 2同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式: 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x、x以得到最大 1 2的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x + 3 x。综上所述，该计划问题可用数学模型表 1 2 示为: 目标函数 : max z = 2x + 3 x 1 2 满足约束条件: x + 2x ? 8 1 2 4 x ? 16 1 4 x ? 12. 2 数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。 上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。 工作人员的最优时间分配问题的研究 【摘要】 由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了0-1规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。 关键词：最少时间最优解时间分配 0-1模型 Lingo 线性规划 一、问题重述 设有人员12个，工作10件，且一人做一个工作，第i人做第j件工作的时间（或费用）c（取值见表1.1），问：如何分派可使工作时间（或总费用）最少。 为 ij 表1.1 c ij 二、问题假设 1.每个人都能在自己的花销时间内完成工作。 2.每个人只能做一个工作，即既不能同时做两个工作，也不能在一个工作做完后再做其他工作。 3.每件工作都必须有人做，且只能由一个人独立完成。 4.各个工作之间没有相互联系。即一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。 三、符号说明 z：完成所有工作的总时间 x：第i人做第j件工作的时间 ij 四、问题分析、模型的建立与求解 1.问题的分析 最少时间（即人力资源成本）是最大利润一个很有参考价值的数据，往往需要利用数学建模的方法对其进行定量的分析，首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。 2.模型的建立 设： 10...3,2,112...3,2,1{.1.0=== j i x ij j i j i ，件工作 人做第第件工作人不做第第 则工作时间为： ∑∑===12110 1z i ij j ij x c 限定条件为： 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ，（即每个人只能做一个工作（假设2） ，可以小于1是因为人比工作多，允许有人空闲） 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ，（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做 （假设3）） 10or x ij = 不能完成任务的人： ,, , ,,,,, , ,, ,,,, 4 ,122,129,1099989610,77865575110,448474326=x x x x x x x x x x x x x x x x 3.模型的求解 化为标准形式如下： ∑∑===12110 1 z Min i ij j ij x c s.t. 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ， 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ， 10or x ij = 实验7：线性规划与非线性规划 班级：2015级电科班，学号：222015333210187，姓名：吴京宣，第1组 ====================================================================== 一、实验目的： 1. 了解线性规划的基本内容。 2. 直观了解非线性规划的基本内容。 3. 掌握用数学软件求解优化问题。 二、实验内容 1. 两个引例. 2. 用数学软件包MATLAB求解线性规划与非线性规划问题. 3. 用数学软件包LINDO、LINGO求解线性规划问题. 4. 建模案例：投资的收益与风险. 5. 非线性规划的基本理论 6. 钢管订购及运输优化模型． 三、实验步骤 对以下问题,编写M文件: 1.某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60 台、80台．每季度的生产费用为（单位:元）, 其中x 是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释． 一般线性规划问题 1. 线性规划的条件： ① 决策变量有没有---------------------必须有 ② 目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是 ③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足 ④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现 2. 线性规划的表达式 目标函数： x c x c x c n n z Max Min +???++=2211)( 约束条件： b x a x a x a n n 112 12 1 11 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 222 2 21 21 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 332 2 31 31 )(≤≥+???++ .............. b x a x a x a n n nn n )(2 2 1 n1 ≤≥+???++ 非负性约束： 0,,0,02 1 ≥???≥≥x x x n 问题重述 某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？ 表16 每天不同时间段所需要的服务员数量 红十字会善款投资优化设计 摘要 作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。 为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。 关键词：线性规划，LINGO软件 某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。 红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。 通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对5000 n=年给出具体结果。 M=万元，10 （1）只在银行存款而不购买国库券； （2）既可存款也可以购买国库券； （3）红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成立30周年庆典，红十字会希望这一年的救助金额比其他年度多20%。 二、模型的假设 1、假设存款期间不出现紧急用钱的情况，只有在每年的最后一天，才从银行中取出钱用于捐款，且在整个存款周期中银行利率不变； 2、假设存款的银行采用单利的形式进行利息的结算； 3、假设每次使用于救助的金额都为投资所获得的利息，即用于各种投资类型的本金金额不变，然后再次将用于原投资类型的本金金额继续该种投资方式； 4、假设每年的救助金额大致相同； 5、红十字会在n年内的各种开支忽略不记； 6、假设投资不出现亏损状况。 三、符号的说明 线性规划 1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 (x)都是线性函数，则该模型称为在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g i 线性规划。 2.线性规划的3个基本要素 （1）决策变量 （2）目标函数f(x) (x)≤0称为约束条件） （3）约束条件（g i 3.建立线性规划的模型 （1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。 （2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。 （3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。 生产计划问题 某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表 试拟订生产计划，使该厂获得利润最大 解答：根据解题的三个基本步骤 （1）找出未知变量，用符号表示： 设甲乙两种产品的生产量分别为x 1与x 2 吨，利润为z万元。 （2）确定约束条件： 在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x 1+5 x 2 ≤360， 电力：4x 1+5 x 2 ≤200， 工作日：3x 1+10 x 2 ≤300， x 1≥0 ，x 2 ≥0， （3）确定目标函数： Z=7x 1+12 x 2 数学建模论文基本结构 一、题目（突出问题和模型，即什么问题，哪类数学模型，要反映主题思想） 最优捕鱼策略模型 零件参数的优化设计 风险投资组合的线性规划模型 投资组合方案的模糊规划模型 灾情巡视路线的图论模型 关于洗衣机节水的数学模型 二、摘要(200-300字，包括研究的意义、模型的主要思想、特点、建模方法和 主要结果) 论文特色讲清楚，让人看到论文的新意. 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选 a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）； b. 建模的思想（思路）； c. 算法思想（求解思路）； d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析， 模型检验……）； e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。 ▲注意表述：准确、简明、条理清晰、务必认真校对。 三、关键词（求解问题、使用的方法中的重要术语3—5个） 四、正文 1、问题重述 2、问题分析 3、模型假设与符号说明 4、模型建立与求解 ①补充假设条件，明确概念，引进参数； ②模型形式（可有多个形式的模型）； 5、模型检验(使用数据计算结果，进行分析与检验) 6、进一步讨论（参数的变化、假设改变对模型的影响） 7、模型优缺点（改进方向，推广新思想） 五、参考文献 参考文献 参考文献中书籍的表述方式为：序号，作者，书名，版本(第１版不标注) ，出版地：出版社，出版年，页码。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：序号，作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：序号，作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 六、附录 (计算程序，框图；各种求解演算过程，计算中间结果；各种图形、表格) 数学建模8-动态规划和目标规划 一、动态规划 1.动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的 优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 2.基本概念、基本方程： （1）阶段 （2）状态 （3）决策 （4）策略 （5）状态转移方程： （6）指标函数和最优值函数： （7）最优策略和最优轨线 （8）递归方程： 3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看） 4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4） 5．若干典型问题的动态规划模型： （1）最短路线问题： （2）生产计划问题:状态定义为每阶段开始时的储存量x k，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为d k，则状态转移方程为 （3）资源分配问题：详见例5 状态转移方程： 最优值函数： 自有终端条件： （4）具体应用实例：详见例6、例7。 二、目标规划 1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。 2．基本概念： （1）正负偏差变量： （2）绝对（刚性）约束和目标约束 ，次位赋（3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P 1……以此类推。 予P 2 （4）目标规划的目标函数： （5）一般数学模型： -1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此 表四 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x),投资A、B、C、D、E五种类型的证券资金分别为 12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知 12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400 225 1.4()9154325(),,,,0 M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥ 利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045]; A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3]; b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下： 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134m ax x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =? ub x lb ≤≤ 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向 量。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max -32- 第三章 非线性规划 §1 非线性规划 1.1 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。 例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i L =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 ?? ?=个项目 决定不投资第，个项目 决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1L =， 则投资总额为 ∑=n i i i x a 1，投资总收益为 ∑=n i i i x b 1 。因为该公司至少要对一个项目投资，并 且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤< n i i i A x a 1 另外，由于),,1(n i x i L =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i L ==? 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为： ∑∑=== n i i i n i i i x a x b Q 11max s.t. ∑=≤< n i i i A x a 1 .,,1,0)1(n i x x i i L ==? 上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 )(min x f q j x h j ,,1, 0)(s.t. L =≤ (NP) p i x g i ,,1, 0)(L == 《数学建模与数学实验综合实验》 课程设计任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验综合实验》课程设计，使学生能够将课堂上学到数学建模的理论知识与实际问题相联系，在提高学生学习兴趣的同时逐渐培养实际操作技能，强化对课程内容的了解。本课程设计不仅有助于学生提高学生的建模能力，而且也有助于培养学生门的创新意识和动手能力。 二、设计教学内容 本题要求运用数学建模知识解决人力资源管理中所遇到的问题。本论文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。在模型求解过程中运用matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，最终解决了本题中的人力资源安排问题。 三、设计时间 2011—2012学年第1学期：第16周共计1周 教师签名: 2010年12月12日 摘要 随着现代企业的发展，企业之间的竞争力越来越大，如何尽量满足客户的要求并且符合公司的人力资源，使企业的收益最大，这就涉及人员的分配问题。 合理的人力资源配置应使人力资源的整体功能强化，使人的能力与岗位要求相对应。企业的岗位有层次与种类之分，它们占据着不同的位置，处于不同的能级水平。每个人也都具有不同水平的能力，在纵向上处于不同的能级位置。企业岗位人员的配置，应能做到能级对应，也就是说每一个人所具有的能级水平与所处的层次和岗位的能及要求相对应。 本文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。 首先明确目标函数为公司最大收益，根据题目要求综合考虑了各项目客户对公司各专业技术人员人数的限制及总技术人员人数的限制，以及公司各类专业技术人员资源的限制等因素，将这些因素量化，即为本题的约束条件。再利用Matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，即得以解决了本题中的人力资源安排问题。 关键词：多目标规划，最优化模型，约束量化 运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z ++=211m i n ????? ?? ??=≥≥+++≥+++≥+++??) ,,2,1(0, ,, 22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 ∑== n j j j x C Z 1 m i n ??? ??? ?==≥≥??∑=),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z +++= 2211m a x 线性规划在数学建模中的应用 摘要： 线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。关键词：线性规划数学模型物流运输经济生活现代管理 Abstract: Linear programming is developed rapidly and widely applied in operational research, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Study of linear objective function under the linear constraint condition extremum problems of mathematics theory and method of LP abbreviations. It is an important branch of operational research, widely used in military, economic analysis, management and engineering technology, etc. For reasonable use of the limited manpower and material resources, financial resources and other resources to make the optimal decision, provide the scientific basis. In this paper, on the basis of reading a lot of material, how concentrated the linear programming is applied to the mathematical modeling. And in using the ideas of mathematical modeling by means of linear programming can solve practical problems, which provide which is convenient for our life. The article in general can be divided into three chapters, the first chapter mainly on linear programming and mathematical modeling the two theories are described briefly. And the development of the two theories, as well as the research background and significance. The second chapter mainly introduces the application of linear programming in mathematical modeling, including the planning in the application of logistics transportation, now the application of linear programming in economic life, as well as the application of linear programming in the modern management, and equipped with corresponding examples. The third chapter mainly discuss details which should be paid attention to in practical application of linear programming, and optimize the mathematical model of the second chapter, and the optimal solution for the discussion. Keywords: Linear programming Mathematical model Logistics transportation The economic life Modern management 第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型数学建模优秀论文模板(全国一等奖模板)
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