最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编3：三角函数
一、选择题
错误！未指定书签。 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）若f (x )a sin x b =+(a ，
b 为常数)的最大值是5，最小值是-1，则
a
b
的值为
（
） A ．、2
3
-
B ．、
23或2
3
- C ．、 3
2
-
D ．、
3
2
错误！未指定书签。 ．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）边长为
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
（
） A ．
B ．
C ．
D ．
错误！未指定书签。 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）
在钝角△ABC 中,已知AB=
3, AC=1,∠B=30°,则△ABC
的面积是
（ ）
A ．
2
3
B ．
4
3 C ．
2
3 D ．
4
3 错误！未指定书签。 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））设函数
f(x)=Asin(?ω+x )(A>0,ω>0,-2
π
π)的图象关于直线x=3
2π
对称,且周期为π,则f(x)
（
）
A ．图象过点(0,
2
1) B ．最大值为-A
C ．图象关于(π,0)对称
D ．在[
125π,3
2π]上是减函数 错误！未指定书签。 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）设ω>0,函数
y=sin(ωx+
3
π
)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是( )
A ．2
3
B ．
43
C ．
32
D ．3
错误！未指定书签。 ．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知
21)4tan(=+απ
,则α
α
α2cos 1cos 2sin 2+-的值为( )
错误！未指定书签。 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）为了得到函数
x x x y 2cos 2
1
cos sin 3+
=的图象,只需将函数x
y 2sin =的图象
（
）
A ．向左平移12π
个长度单位 B ．向右平移
12π
个长度单位 C ．向左平移6
π
个长度单位
D ．向右平移6
π
个长度单位
错误！未指定书签。 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））在ABC ?中，
角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若222
2a b c +=，则c o s C
的最小值为
（
） A
B
C ．
12
D ．12
-
错误！未指定书签。 ．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）在△ABC 中，a ，b ，c
分别是角A ，B ，C 的对边，
a=，
b=，且1+2cos(B+C)=0，则BC 边上的高等于
（
） A
B
C ．
2
D
．
2
错误！未指定书签。．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）把函数=()y sin x x R ∈的
图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
12倍(
纵
坐
标
不
变
)
，
得
到
的
图
象
所
表
示
的
函
数是 （
）
A ．=(2-
),R 3
y sin x x π
∈ B ．=(
+),R 26
x y sin x π
∈ A ．3
5
-
B ．56
-
C ．-1
D ．2
C ．=(2+
),R 3
y sin x x π
∈ D ． 2=(2+
),R 3
y sin x x π
∈ 错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）在?ABC 中,A,B,C 为内角,
且
sin cos sin cos A A B B
=,则?ABC
是
（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）设函数sin()3
y
x π
=+(x
∈R),则
f(x) （
）
A ．在区间[-π,2
π
-]上是减函数
B ．在区间27[,]36ππ
上是增函数 C ．在区间[
8π,4
π
]上是增函数 D ．在区间5[,]36
ππ
上是减函数 错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）函数
f(x)=sin2x-4sin 3
xcosx(x
∈
R)
的
最
小
正
周
期为
（
） A ．
8
π B ．
4
π C ．
2
π D ．π
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）把函数sin(2)
4
y x π
=+
的图象向右平移8
π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的
函
数
解
析
式
是
（
）
A ．y=sin （4x+8
3π） B ．y=sin （4x+
8
π） C ． y=sin4x
D ．y=sinx
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）函数
l n c o s y x =??? ??<<-22
ππ
x 的图象是
错误！未指定书签。．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）在ABC ?中,
内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中120,1A b ==
,且ABC ?面积为
,则
sin sin a b
A B
+=
+ （
）
A
B ．
3
C ．
D ．错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）函数
2
()si n 22si n f x x x =
-
,(02
x π
≤≤
)则函数f(x)的最小值为
（
） A ．1
B ．-2
C ．√3
D ．-√3
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）在?ABC 中,tanA 是以
-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以1
3
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这
个
三
角
形
是
（
）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上都不对
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）△ABC 的三个内角
C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2=+,
则=a
b
（
） A ．32
B ．22
C ．3
D ．2
错误！未指定书签。．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）将函数
??? ?
?
+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>??个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来
的
21倍，所得图像关于直线4
π=x 对称，则?的最小正值为 （
） A ．
8
π
B ．
8
3π C ．
4
3π D ．
2
π
二、填空题
错误！未指定书签。．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数
，给出下列四个说法：
①若
，则
； ②
的最小正周期是
；
③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．
其中正确说法的序号是______.
错误！未指定书签。．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）在△ABC 中，a ，b ，c 分
别是角A ，B ，C 的对边，若222
+=2012a b c ，则
(+)
tan A tan B
tanC tan A tan B 的值为 ；
错误！未指定书签。．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）函数
()=(+)(,,f x A s i n x A ω?ω?为常数，A>0, ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值
是 ；
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）函数()sin(2)3
f x x π
=-
(x
∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C 关于直线1112
x π
=对称; ②图象C 关于点2(
,0)3
π
对称; ③函数f(x)在区间5(,)1212
ππ
-内是增函数;
④由3sin 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）已知3sin cos 8
x x =
,且(,)42
x ππ
∈,则cos sin x x -=_________.
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）在△ABC 中，若
sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。
三、解答题
错误！未指定书签。．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题） 已知函数
.
（1）求
函数图象的对称轴方程； （2）求
的单调增区间.
（3）当时,求函数的最大值，最小值.
错误！未指定书签。．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数
学（理）试题） 如图，在平面直角坐标系
中，以轴
为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于
两点．已知的横坐标分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
错误！未指定书签。．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设函数
22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π
.
(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 在区间-
63ππ??
???
?，上的值域; (Ⅲ)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2
π
个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间.
错误！未指定书签。．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））在△ABC 中,a,b,c 分
别为角A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量→
p =(1,3cos 2A ),→q =(2sin 2
A
,1-cos2A),且→p ∥→
q .
(1)若a 2-c 2=b 2
-mbc,求实数m 的值;
(2)若a=3,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边b,c 的大小.
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）设函数22()cos()2cos ,32
x
f x x x R π=++∈. (Ⅰ) 求()f x 的值域;
(Ⅱ) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.
错误！未指定书签。．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）已知向量
??? ?
?
-=-=21,cos 3),1,(sin x x ,函数()
x f +=)(·2-
(1)求函数)(x f 的最小正周期T 及单调减区间
(2)已知c b a ,,分别是△ABC 内角A,B,C 的对边,其中A 为锐角,4,32==c a 且1)(=A f ,求
A,b 和△ABC 的面积S
错误！未指定书签。．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知函数
1sin cos )2sin sin 32()(2+?-=x
x
x x x f .
（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42
ππ
上的最值.
错误！未指定书签。．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分13分)在△
ABC 中，A ，C 为锐角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且32=,=510
cos A sinC 。 (1)求(+)cos A C 的值；
(2)若-a c ，求a ，b ，c 的值； (3)已知(++)=2tan A C α，求2
1
2+sin cos cos ααα
的值。
错误！未指定书签。．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）（本小题满分13分，已知
函数2((2-
)+2(-
)(R)6
12
f x x sin x x π
π
∈
(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求使函数()f x 取得最大值的x 集合；
(3)若(0,)2
π
θ∈,且5
()=3f θ，求4cos θ的值。
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）已知函数
f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin 2
x+snxcosx (1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m 个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m 的最小正值.
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）已知
A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),且5|AB|=2, (1)求cos(α-β)的值;
(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sin α的值.
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知函数f （x ）
=sin ??? ?
?
+
47πx +cos ??? ?
?-43πx ，x ∈Ｒ（共12分） （1）求f （x ）的最小正周期和最小值；（6分） （2） 已知cos （β-α ）=54，cos （β+α ）= -54,0<α<β≤2
π，求证：[f （β）] 2
-2=0.（6分）
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）在△ABC 中，A ，B 为锐
角，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos2a=53，sinB=10
10
（共12分） （1）求A+B 的值；（7分）
（2）若a-b=2-1，求a ，b ，c 的值。（5分）
错误！未指定书签。．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）已知函数
22()sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求:
(I) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-上的值域.
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）在△ABC
中,2AB AC AB AC ?=-= ;(1)求:AB 2+AC 2
的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求A 的大小.
错误！未指定书签。．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知函数
2()sin sin()2
f x x x x π
=?+,R x ∈
(1)求函数)(x f 的最小正周期; (2)若??
?
???-∈2,12ππx ,求函数)(x f 的值域
错误！未指定书签。．（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x
＋2cos 2x .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．
错误！未指定书签。．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）已
知函数)(1cos 2)6
2sin()(2R x x x x f ∈-+-
=π
（1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，三内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2
1
)(=
A f ，b,a,c 成等差数列，且9=?，求a 的值.
最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编：三角函数参考答案
一、选择题
错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 【答案】B
【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知
2225871cos ==
2582θ+-??，所以=60θ ，所以最大角与最小角的和为120
，选B.
错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 A 错误！未找到引用源。 C
错误！未找到引用源。 【答案】D
【解析】由12cos()0B C ++=，得1
12cos 0,cos 2
A A -==
，所以3A π=。有正弦定理得
sin sin a b A B =
sin sin 3
B
=
，得sin 2B =，因为b a <，所以B A <，即4B π=。由余弦定理得2222c o s a b c b c A
=+-
得232c =+，
即210c -=，解
得2c =
，所以BC
边上的高为1sin 222
h c B ===，选D. 错误！未找到引用源。 【答案】C
【解析】把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3
π个单位长度,得到函数
sin()3
y x π
=+
，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12
倍(纵坐标不变)，得到函数
sin(2)3
y x π
=+
，所以选C.
错误！未找到引用源。 【答案】D
【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或
22A B π=-，即A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.
错误！未找到引用源。 【答案】B
【解析】当
2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332
x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π
=+
单调递减，所以sin()3
y x π
=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B. 错误！未找到引用源。 【答案】C
【解析】22
1
()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42
f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242
T π
ππ
ω
=
=
=，选C. 错误！未找到引用源。 【答案】C
【解析】把函数s i n (2
)4
y x π
=+的图象向右平移
8
π
个单位，得到函数s i n [2())s i n 284
y x x ππ
=-+=
，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象
对应的函数解析式是sin[2(2)]sin 4y x x ==，选C.
错误！未找到引用源。 【答案】A
【解析】函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除B,D.又0cos 1x <<，所以
l n c o s 0y x =<，排除C ，选A.
错误！未找到引用源。 【答案】
D 01sin1202ABC S bc =
=
，即12c =4c =，所以2
2
2
2cos12021a b c bc =+-=，所
以a =。因为
2sin sin a b
R A B
==，所
以2sin a R A =
==
2(sin sin )2sin sin sin sin a b R A B R A B A B ++===++选D. 错误！未找到引用源。 【答案】B
解
:
2()22sin 2cos 212sin(2)16
f x x x x x x π
=-=+-=+-,当
02x π≤≤,702,2666x x ππππ≤≤≤+≤,所以当7266
x ππ-=时,函数()f x 有最小值
71
()2sin(
)12()1262
f x π=-=?--=-,选B. 错误！未找到引用源。 【答案】B
解:由题意知374,4a a =-=,所以733tan a a A =+,所以73tan 24a a A -==.361
,93b a ==,所
以
3
63(tan )a b B =,即
3tan 27
B =,所以
t a n
B =,
所
以
t a n t a n 23
t a n (
)11t a n t a n 123
A B A B A B +++===---?,即tan 1C =,因为t an 3
0B =>,所以最大值90B < ,即三角形为锐角三角形,选B.
错误！未找到引用源。 【答案】D
解:由正弦定理得
sin sin a b A B
=,即sin sin a B b A =.所以由a A b B A a 2cos sin sin 2
=+
得22sin cos b A b A +=,
即b =,
所以b
a
=,选D.
错误！未找到引用源。 【答案】B
解：函数
??? ?
?
+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>??个单位得到
2sin[2()]2sin(22)44y x x ππ??=-+=+-，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的2
1
倍得
到2sin(42)4
y x π
?=+
-，此时 关于直线4
π
=x 对，即当4
π
=
x 时，
4242,4
4
4
2
x k k Z π
π
π
π
??π+
-=?
+
-=
+∈，所以324k π?π=+，3,82
k k Z ππ?=+∈，所以当0k =时，?的最小正值为38
π
?=
，选B. 二、填空题
错误！未找到引用源。 【答案】③④
【解析】函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，若12()=()f x f x -，即1211
sin 2=sin 222x x -，所
以
12
sin 2=sin 2x x -，即
12sin 2=sin(2)
x x -，所以
122=22x x k π
-+或
122=22,x x k k Z
ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期
2T π
π
ω
=
=，所以②错误；当
4
4x π
π
-
≤≤
时，
22
2x π
π
-
≤≤
，函数递增，所以③正确；当
34x π
=
时，
313131(
)sin 2)=sin =424222f πππ=?-（为最小值，所以④正确。
错误！未找到引用源。 【答案】
2011
2
【解析】
(+)sin Asin B
tan A tan B cos Acos B sinC sin A sin B tanC tan A tan B cosC cos A cos B =
+ （）
2
==sin Asin B
sin Asin B cosC sin Asin B cosC cos Acos B sinC sin Acos B cos Asin B sinC sin A B sin C cosC cos Acos B
=++?（）
2222222
20122011
=222
ab a b c c c c ab c +--?==。 错误！未找到引用源。
【解析】由图象可知741234T A πππ=
=-=,所以T π=，又2T ππω
==，所以2ω=，所以函
数((2+)f x sin x ?，
由777()(2+2(+212126
f s i n s i n πππ???，得7(+)=16s i n π?-，所以73+=262k ,k Z ππ?π+∈，即=23
k ,k Z π?π+∈，所
以
((2+
)3f x x π
，
322
f π==。 错误！未找到引用源。 【答案】①②③
【解析】当1112x π=
时，1111113)sin(2)=sin()=sin()=112123632
f ππππππ
=?---（
，所以为最小值，所以图象C 关于直线1112x π=对称，所以①正确。当23
x π
=时，
22)sin(2)=sin =0333
f πππ
π=?-（，所以图象C 关于点2(,0)3π对称;所以②正确。
2222k x k ππππ-+≤≤+，当51212x ππ-≤≤时，5266x ππ-≤≤，所以5263363x πππππ--≤-≤-，即2232
x πππ-≤-≤，此时函数单调递增，所以③正确。
3sin 2y x =的图象向右平移
3π个单位长度，得到23sin 2()3sin(2)33
y x x ππ
=-=-
，所以④错误，所以正确的是①②③。
错误！未找到引用源。 【答案】12
-
【解析】因为(
,)42
x ππ
∈，所以sin cos x x <，即cos sin 0x x -<，所以21
(cos sin )12sin cos 4
x x x x -=-=
，所以1cos sin 2x x -=-。
错误！未找到引用源。 【答案】等腰三角形
【解析】在三角形中
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即s i n
c o s c o s
s i B C B C B C +=，所以sin
cos cos sin sin()0B C B C B C -=-=，所以B C =，即三角形为等腰三角形。
三、解答题
错误！未找到引用源。解：（I ）. …3分
令.
∴函数图象的对称轴方程是 ……5分
（II ）
故的单调增区间为 …8分
(III) , …… 10分
. …… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值为. … 13分
错误！未找到引用源。 解：（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴ ．
∴．--------------------6分
（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴． -----------13分
错误！未找到引用源。解: (Ⅰ)()()2
2
=sin +cos +2cos
f x x x x ωωω
22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω
sin 2cos 22)24
x x x π
ωωω=++=++
依题意得
2223
ππ
ω=,故ω的值为32.
(Ⅱ)因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444
x πππ
≤≤
,
-13+4x π?
?≤≤ ??
?(
)1f x ≤≤即()f x
的值域为?? 9分
(Ⅲ)依题意得
: 5()3()2)2244g x x x πππ?
?=-++=-+????
由5232()242k x k k Z π
ππ
ππ-
-
+∈≤≤
解得227()34312
k x k k Z ππ
ππ++
∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312
k k k Z ππ
ππ++
∈ 错误！未找到引用源。 【解析】解:(Ⅰ) 由
∥得,所以
又而 所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以即
,面积的最大值是
错误！未找到引用源。解:(I)1cos 3
2
sin sin 32cos
cos )(++-=x x x x f ππ ABC ?2bc a ≤22222bc b c a bc a =+-≥-1m =22
2a c b mbc
-=-A
1
)6
5sin(1sin 2
3cos 211
cos sin 23cos 21++=+-=++--=π
x x x x x x 因此)(x f 的值域为]2,0[ (II)由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ,即0)6
5sin(=+πB , 又因π<
π
=
B .
解法一:由余弦定理023,cos 2222=+--+=a B ac c a b 2a 得,解得1=a 或2.
解法二:由正弦定理C c B b sin sin =得3
2ππ或3,23sin ==C C 当3π
=
C 时,2
π
=
A ,从而222=+=c b a ;
当π32=C 时,6
B π
π==又,6A ,从而1==b a .
故a 的值为1或2.
错误！未找到引用源。解:
(1)()
??? ?
?
-=-=-?+=62sin 2cos 212sin 232)(πx x x x f 所以,最小正周期为ππ
==
2
2T 2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k
所以,单调减区间为)(],3
2,6
2[Z k k k ∈+
-π
ππ
π
(2)??? ??-∈-??
?
??∈=???
?
?-
=65,662,2,0,162sin )(πππππA A A A f , 3
,2
6
2π
π
π
=
=
-
∴A A ,
由A bc c b a cos 2222-+=得0442
=+-b b ,解得2=b
故32sin 2
1
==
A bc S
错误！未找到引用源。解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，
故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分
因为1sin cos )2sin sin 32()(2+?-=x
x
x x x f
2cos )cos 1x x x =-?+
2cos 2x x =-
π
2sin(2)6
x =-，………………………………6分
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636
x x x ππππππ
π挝- …………..9分 当52,,()1662
x x f x πππ
-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623
x x f x πππ
-
==即时取得最大值.……………….13分 错
误
！
未
找
到
引
用
源
。
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=-
【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， .
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ， 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实 数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D. 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o最新高考理科数学试题分类汇编：三角函数(附答案)
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