16．1 分式及其基本性质 1 分 式(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．经历类比、探究的过程，理解分式的概念、有理式和分式有意义的条件．
2．能够根据定义判断一个式子是否是分式，能够确定一个分式有意义、无意义的条件．在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值．
二、重难点目标 【教学重点】
分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 分式值为0的条件．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．形如A
B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式．其中A 叫做分式
的分子，B 叫做分式的分母．
2．整式和分式统称为有理式．
3．当B ＝0时，分式A B 无意义；当B ≠0时，分式A B 有意义；当A ＝0且B ≠0时，分式A
B 的
值为零．
4．下列各式中，是分式的有①②④⑦. ①
2b －s ；②3000300－a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦4
5b ＋c
；⑧－5.
5．当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)3
x ＋2； (2)x ＋53－2x
. 解：(1)分母x ＋2≠0，即x ≠－2.所以，当x ≠－2时，分式3x ＋2
有意义．
(2)分母3－2x ≠0，即x ≠32.所以，当x ≠3
2时，分式x ＋53－2x 有意义．
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)
【例题】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值为零？
(1)x ＋1x －1； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1
x 2－x
. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.
【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.
值为0：x ＋1＝0，且x －1≠0，即x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1.
值为0：x －2＝0，且x 2－1≠0，即x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0，且x 2－x ≠0，即x ＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式的值为零的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在分式有意义的条件下成立的．
活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式中，是分式的是 ( C ) A ．3x 2＋x －1 B.x －23
C.2x －3x －1
D ．1
4
(2x －1)
2．分式x
x 2＋1有意义，则x 的取值范围为 ( D )
A ．x ≠1
B.x ≠－1 C ．x ≠1且x ≠－1
D ．全体实数
3．若分式x
x 2－16的值为0，则x 的值为0.
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 分式的基本性质(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解和掌握分式的基本性质，在此基础上对分式进行约分和通分，从中了解最简分式和最简公分母．
2．能运用分式的基本性质进行约分、通分． 二、重难点目标 【教学重点】
分式的基本性质，最简分式的概念． 【教学难点】
运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P3～P5的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷C
B ÷C
(C ≠0)，其中A 、B 、C 是整式．
2．分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
4．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
5．最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母．
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空： (1)x y ＝x 2y () ； (2)x 2－y 2xy 2＋y 3＝x －y () ； (3)x －1y ＝() xy
2.
【互动探索】(引发学生思考)(1)因为x y 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ，为保证分式的值不变，
根据分式的基本性质，分母也需乘xy ，即x y ＝x ·xy y ·xy ＝x 2y
xy 2
.
(2)因为x 2－y 2
xy 2＋y 3的分子(x 2－y 2)除以(x ＋y )才能化为(x －y )，为保证分式的值不变，根据分式
的基本性质，分母也需除以(x ＋y )，即x 2－y 2xy 2＋y 3＝(x 2－y 2)÷(x ＋y )(xy 2＋y 3)÷(x ＋y )
＝x －y
y 2.
(3)因为x －1
y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，
分子也需乘xy ，即x －1y ＝(x －1)·xy y ·xy ＝x 2y －xy
xy 2
.
【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y －xy
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时，注意分子、分母乘以(或除以)同一个不等于0的整式．
【例2】约分：
(1)2bc
ac ； (2)(x ＋y )y xy 2； (3)x 2＋xy (x ＋y )2
. 【互动探索】(引发学生思考)分式约分的步骤→找出分子、分母的公因式→化简为最简分式．
【解答】(1)2bc ac ＝2bc ÷c ac ÷c ＝2b a .
(2)(x ＋y )y xy 2＝(x ＋y )y ÷y xy 2
÷y ＝x ＋y
xy . (3)x 2＋xy (x ＋y )2＝x (x ＋y )(x ＋y )2＝x x ＋y
. 【互动总结】(学生总结，老师点评)如果分子或分母是多项式，先分解因式再约分，约分的结果应是最简分式或整式．
【例3】通分：
(1)x ac ，y bc ； (2)2x x 2－9，x 2x ＋6
. 【互动探索】(引发学生思考)分式通分的步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式．
【解答】(1)x ac 与y
bc 的最简公分母是abc ，
所以x ac ＝x ·b ac ·b ＝bx abc ，
y bc ＝y ·a bc ·a ＝ay abc
. (2)2x x 2－9与x 2x ＋6的最简公分母是2(x ＋3)·(x －3)， 所以2x x 2－9＝2x ·22(x ＋3)(x －3)＝4x 2x 2－18，
x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3)＝x 2－3x 2x 2－18
. 【互动总结】(学生总结，老师点评)确定公分母时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．分式3a
a 2－
b 2的分母经过通分后变成2(a －b )2·(a ＋b )，那么分子应变为( C )
A ．6a (a －b )2(a ＋b ) B.2(a －b ) C ．6a (a －b ) D ．6a (a ＋b )
2．约分：
(1)2－a a 2－4； (2)9－a 2－a 2－3a ； (3)m 2－7m 49－m 2. 解：(1)－1a ＋2. (2)a －3a . (3)－m m ＋7.
3．通分：
(1)12x ，1y ； (2)a
2a ＋6，a －1a 2－9； (3)a －1a 2＋2a －3，1－a 2－4a ＋2a 2. 解：(1)12x ＝y 2xy ，1y ＝2x
2xy
.
(2)a
2a ＋6＝a (a －3)2(a ＋3)(a －3)＝a 2－3a 2a 2－18，a －1a 2－9＝2(a －1)2(a ＋3)(a －3)＝2a －22a 2－18. (3)
a －1a 2＋2a －3＝2(a －1)2(a ＋3)(a －1)＝2a －22a 2＋4a －6，1－a 2－4a ＋2a 2＝1－a 2(a －1)2＝－1
2(a －1)
＝
－(a ＋3)2(a ＋3)(a －1)＝－a ＋3
2a 2＋4a －6
.
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
16．2 分式的运算 1 分式的乘除(第1课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算． 2．通过计算归纳出分式的乘法法则，初步培养归纳的意识． 二、重难点目标 【教学重点】
分式的乘法法则，分式的除法法则． 【教学难点】
运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d
.
2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d
b ·c
.
3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式．
4．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：????a b n ＝a
n
b n . 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：
(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y 7x ÷
????
－2x ； (3)???
?－2b 2
a 33. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则和分式的乘方法则进行计算． 【解答】(1)原式＝a 2
b 2
c 2abc ＝abc .
(2)原式＝y 7x ·????－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. (3)原式＝(－2b 2)3(a 3)3
＝－8b 6
a 9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式；分式乘方时，分子、分母应分别乘方．
【例2】计算：
(1)2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)
3－x ； (2)????c 3
a 2
b 2÷????
c 4a 3b 2·????c a 4.
【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算，怎样进行分式的乘除混合运算？当式子中同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？
【解答】(1)原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)
3－x
＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)
3－x
＝
2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)
－(x －3)
＝－2x －2
.
(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4
a 4
＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a
2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，
再依次进行计算．当式子中有乘除法和乘方时，先算乘方，再算乘除法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1
a ，结果正确的是 ( D )
A.12
B.a ＋1a ＋2
C.a ＋1a
D ．a a ＋1
2．计算
????－5x 2y 3x 2的结果是 ( C ) A.10x 4y 6x
B.25x 4y 9x
C.25x 4y 29x 2
D ．－5x 4y 23x 2
3．计算：
(1)x 2y x 3·????
－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ； (3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.
解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1
x
.
(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b
3b .
(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x
4－x
.
(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 2
35(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.
活动3 拓展延伸(学生对学) 【例
3】已知(a ＋b －2)2＋|1－a |＝0，求
4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2
a
的值．
【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 的值进行计算．
【解答】∵(a ＋b －2)2＋|1－a |＝0，
∴????? a ＋b －2＝0，1－a ＝0，解得?????
a ＝1，
b ＝1.
4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝2
4a －b
.
将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24－1＝2
3
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 分式的加减(第2课时)
教学目标
一、基本目标
1．理解分式的加减法法则，并能正确计算分式加减法． 2．掌握异分母分式加减法的计算步骤，并能正确计算． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的加减法法则． 【教学难点】
异分母分式的加减法的计算步骤．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P8～P9的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 用字母表示为：a c ±b c ＝a ±b
c
.
2．异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用字母表示为：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc
bd
.
3．分式的加减法运算，运算结果应化为最简分式． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x ＋3y x 2－y 2－x ＋2y x 2－y 2； (2)1a ＋3＋6a 2－9； (3)m ＋2n n －m －n m －n ＋2m n －m ； (4)1x －3＋1－x 6＋2x －6
x 2－9
. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算． 【解答】(1)原式＝x ＋3y －(x ＋2y )
x 2－y 2
＝y
x 2－y 2
. (2)原式＝a －3(a ＋3)(a －3)＋6
(a ＋3)(a －3)
＝a ＋3
(a ＋3)(a －3)
＝
1a －3
. (3)原式＝m ＋2n n －m ＋n n －m ＋2m
n －m
＝3m ＋3n
n －m
. (4)原式＝2(x ＋3)2(x ＋3)(x －3)＋(1－x )(x －3)2(x ＋3)(x －3)－12
2(x ＋3)(x －3)
＝－(x 2－6x ＋9)2(x ＋3)(x －3) ＝－x －32x ＋6
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)异分母分式相加减时，先要通分，变为同分母分式，再加减．
【例2】计算：
(1)x x －y ·y 2x ＋y －x 4y x 4－y 4÷x 2x 2＋y 2
；
(2)????2a b 2·1a －b －a b ÷b 4； (3)?
???
?x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4÷
4－x x
. 【互动探索】(引发学生思考)类比整式的混合运算，分式的混合运算顺序是怎样的？ 【解答】(1)原式＝x x －y ·y 2x ＋y －x 4y
(x 2＋y 2)(x 2－y 2)·x 2＋y 2x 2
＝xy 2(x －y )(x ＋y )－x 2y
x 2－y 2
＝xy (y －x )
(x －y )(x ＋y )
＝－
xy x ＋y
. (2)原式＝4a 2b 2·1a －b －a b ÷b
4
＝4a 2b 2(a －b )－4a b 2 ＝4a 2－4a (a －b )b 2(a －b )
＝4ab
b 2(a －b )
＝4a
b (a －b )
.
(3)原式＝?????
?x ＋2x (x －2)－x －1(x －2)2·x 4－x
＝??
????(x ＋2)(x －2)x (x －2)2－x (x －1)x (x －2)2·x 4－x
＝x 2－4－x 2＋x x (x －2)2·x
4－x
＝－1
x 2－4x ＋4
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)分式混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，注意结果化成最简分式或整式．
活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列运算中正确的是 ( C ) A.a a －b －b b －a
＝1 B.m a －n b ＝m －n a －b C.a 2a －b －b 2a －b
＝a ＋b D ．b a －b ＋1a ＝1a
(1)3a ＋2b 5a 2b ＋a ＋b 5a 2b ； (2)b 2a －b ＋a 2b －a ；
(3)3b －a a 2－b 2－a ＋2b a 2－b 2－3a －4b b 2－a 2； (4)x x －y ＋x x ＋y －x 2x 2－y 2
. 解：(1)4a ＋3b 5a 2b . (2)－a －b . (3)a －3b
a 2－
b 2.
(4)x 2
x 2－y
2. 活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B
x ＋1
，其中A 、B 为常数，求4A －B 的值．
【互动探索】要求4A －B 的值，需要先求出A 与B 的值．通过化简等式右边，再对比可求出A 、B 的值．
【解答】A x －2－B
x ＋1＝A (x ＋1)(x ＋1)(x －2)－B (x －2)(x ＋1)(x －2)＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2).
因为3x ＋4x 2－x －2＝A x －2－B
x ＋1＝(A －B )x ＋(A ＋2B )(x ＋1)(x －2)
，
所以???
??
A －
B ＝3，A ＋2B ＝4，
解得???
A ＝10
3，
B ＝1
3.
故4A －B ＝4×103－1
3
＝13.
【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对比等式中等号两边的分式，得出关于A 、B 的二元一次方程组，求出A 、B 的值，从而求解．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
16．3 可化为一元一次方程的分式方程
一、基本目标
1．理解分式方程的定义，能确定一个方程是不是分式方程．
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解分式方程验根的必要性．
3．理解列分式方程解应用题的基本思路和方法，能根据题意正确列出分式方程，并解决问题．
二、重难点目标
【教学重点】
分式方程的解法及其应用．
【教学难点】
正确求解可化为一元一次方程的分式方程．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P12～P15的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程求解．
3．增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
4．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题，设未知数；
(2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程；
(5)检验根且是否符合实际意义；
(6)作答．
5．下列方程中，哪些是关于x的分式方程？
①x－1
3＝5；②
1
x＝
4
x－1
；③
3－x
3＝x－1；④
x
a＝
1
b－1
；⑤
1
x2－9
＝
3
x＋3
.
解：②⑤是关于x的分式方程．
6．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需
比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意x 满足的方程为2000x －2＝2000
x ＋50
.
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】解方程：
(1)3x ＝2x －6； (2)3x x ＋2＋1＝8
2x ＋4； (3)x ＋1x －1－4x 2－1
＝1. 【互动探索】(引发学生思考)怎么解分式方程？解分式方程应该注意些什么？ 【解答】(1)方程两边同乘x (x －6)，约去分母，得3x －18＝2x ，解得x ＝18. 检验：把x ＝18代入x (x －6)，得18×(18－6)≠0，所以x ＝18是原方程的解． (2)方程两边同乘2(x ＋2)，约去分母，得6x ＋2(x ＋2)＝8，解得x ＝1
2.
检验：把x ＝12代入2(x ＋2)，得2×????12＋2≠0，所以x ＝1
2是原方程的解． (3)方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，约去分母，得(x ＋1)2－4＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝1. 检验：把x ＝1代入(x ＋1)(x －1)，得(1＋1)×(1－1)＝0，所以x ＝1不是原方程的解． 故原方程无解．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的一般方法是将分式方程通过去分母，转化为整式方程求解，注意要验根．
【例2】甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．
【互动探索】(引发学生思考)如果设步行速度为x 千米/时，则骑自行车的速度怎么表示？可以根据哪个等量关系来列方程？
【解答】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车的速度为4x 千米/时． 由题意，得7x ＋19－7
4x ＝2.解得x ＝5.
经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意． 当x ＝5时，4x ＝20.
故步行的速度为5千米/时，骑自行车的速度为20千米/时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)行程问题中，最基本的等量关系是：路程＝速度×时间，根据路程、速度、时间之间的关系列出方程是解题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列关于x 的方程，是分式方程的是 ( D ) A ．.2＋x 5－3＝3＋x 6
B ．x －17＋a ＝3－x
C ．x 2－m n ＝x m
D ．
3x
x 2＋1
＝4 2．解方程：
(1)2x x －3＝1； (2)25＋x －11＋x ＝0； (3)2x ＋1＋3x －1＝6x 2－1； (4)2x 2＋x ＋3x 2－x －4
x 2－1＝0. 解：(1)x ＝－3. (2)x ＝3. (3)原方程无解． (4)原方程无解．
3．学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个．又已知甲每分钟比乙少跳20个，甲、乙两人每分钟各跳多少个？
解：设甲每分钟跳x 个，则乙每分钟跳(x ＋20)个． 由题意，得180x ＝240
x ＋20
.解得x ＝60.
经检验，x ＝60是原分式方程的解，且符合题意． x ＋20＝80.
故甲每分钟跳60个，乙每分钟跳80个．
4．某超市用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件，问这种服装第一次进价是每件多少元？
解：设这种服装第一次进价是每件x 元，则第二次进价是每件(1－10%)x 元． 由题意，得2·4000x ＋25＝9000
(1－10%)x .
解得x ＝80.
经检验，x ＝80是原分式方程的解，且符合题意． 故这种服装第一次进价是每件80元． 活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】当m 为何值时，关于x 的方程2x ＋1＋51－x ＝m
x 2－1会产生增根？
【互动探索】分式方程的增根是怎么产生的？怎样确定分式方程的增根？ 【解答】方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，约去分母，得2(x －1)－5(x ＋1)＝m . 化简，得m ＝－3x －7.
由(x ＋1)(x －1)＝0，得方程的增根为x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，m ＝－3－7＝－10； 当x ＝－1时，m ＝3－7＝－4.
故当m ＝－10或－4时，关于x 的方程2x ＋1＋51－x ＝m
x 2－1
会产生增根．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，逆向思考，求出使最简公分母为0的未知数的值，即为方程的增根，进而求解．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
16．4 零指数幂与负整数指数幂 1 零指数幂与负整数指数幂(第1课时)
教学目标
一、基本目标
理解零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的运算性质，并能进行相关计算．
二、重难点目标 【教学重点】
零指数幂和负整数指数幂的运算性质． 【教学难点】
整数指数幂的运算性质．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P17～P20的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．规定：a 0＝1(a ≠0)．这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义．
2．一般地，我们规定：a －
n ＝1a n (a ≠0，n 是正整数)．这就是说：任何不等于零的数的－
n (n 为正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数．
3．将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数，有(a ≠0，m 、n 为整数)： (1)a m ·a n ＝a m ＋
n ； (2)a m ÷a n ＝a m －n ； (3)(a m )n ＝a mn ； (4)(ab )n ＝a n b n .
4．计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式． (1)a 2b 3(2a －
1b 3)； (2)(a －
2)－
3(bc －1)3； (3)????23－2·(－5)0. 解：(1)2ab 6.
(2)a 6b 3c 3. (3)9
4
.
环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)x 2y －
3(x －
1y )3； (2)(2ab 2c －
3)－
2÷(a －
2b )3； (3)3a －
2b ·(2ab －
2)－
2； (4)4xy 2z ÷(－2x －
2yz －
1)．
【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算． 【解答】(1)原式＝x 2y －3·x －3y 3＝x －
1y 0＝1x .
(2)原式＝14a －2b －4c 6÷a －6b 3＝14a 4b －7c 6＝a 4c 6
4b 7.
(3)原式＝3a －2b ·14a －2b 4＝34a －4b 5＝3b 5
4a
4.
(4)原式＝－2x 3yz 2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算，结果是负整
数指数幂的要写成分数的形式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．计算(－π)0÷???
?－13－2的结果是 ( D ) A ．－1
6
B.0 C ．6
D ．19
2．下列算式结果为－3的是( A ) A ．－31 B.(－3)0 C ．3－
1
D ．(－3)2
3．已知a ＝????120，b ＝2－1
，则a ＞b .(填“＞”“＜”或“＝”) 4．计算：
(1)(m 3n )－
2·(2m －
2n －
3)－
2； (2)(2xy －
1)2·xy ÷(－2x －
2y )； (3)????b a －2·????a b 2； (4)(2m 2n －
1)2÷3m 3n －
5.
解：(1)n 44m 2. (2)－2x 5y 2. (3)a 4b 4. (4)4
3mn 3.
活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】比较2
－333
、3
－222
、5
－111的大小． 【互动探索】要比较2
－333
、3－222
、5
－111
的大小，底数各不相同，且指数较大，应该怎么
比较呢？观察指数有什么特点，由此怎么求解？
【解答】∵2－333
＝(2－3)111＝????18111，3－222＝(3－2)111＝????19111，5－111＝(5－1)111＝???
?15111， 而15>18>1
9， ∴5
－111
＞2
－333
＞3
－222
.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，根据负整数指数幂的性质，将各数化为指数相同的幂，再比较底数的大小即可．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
2 科学记数法(第2课时)
教学目标
一、基本目标
掌握利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数．
二、重难点目标
【教学重点】
用科学记数法表示一些绝对值较小的数．
【教学难点】
用科学记数法表示绝对值较小的数的应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数．n等于原数的整数数位减去1.
2．用科学记数法表示：100＝1×102；2000＝2×103；33 000＝3.3×104.
3．类似地，我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10－n的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.
4．用科学记数法表示：0.01＝1×10－2；0.001＝1×10－3；0.0033＝3.3×10－3.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 000 1；(2)0.000 24；
(3)0.000 000 003 5.
【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式是怎样的？
【解答】(1)0.000 000 1＝1×10－7.
(2)0.000 24＝2.4×10－4.
(3)0.000 000 003 5＝3.5×10－9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)绝对值较小的数可以用科学记数法表示为a×10－n 的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数．
活动2巩固练习(学生独学)
1．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22
米．将0.000 000 000 22用科学记数法表示为(B)
A．0.22×10－9 B.2.2×10－10
C．22×10－11D．0.22×10－8
2．将5.62×10－8用小数表示为(B)
A．0.000 000 005 62 B.0.000 000 056 2
C．0.000 000 562D．0.000 000 000 562
3．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 021；(2)0.000 000 34；
(3)0.00 102.
解：(1)2.1×10－5.(2)3.4×10－7.
(3)1.02×10－3.
4．已知空气的密度是1.239 kg/m3，现有一塑料袋装满了空气，其体积为3500 cm3，试问：这一袋空气的质量约为多少千克？(结果用科学记数法表示)
解：1.239×3500×10－6＝4.3365×10－3(kg)．
故这一袋空气的质量约为4.3365×10－3kg.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例2】计算：
(1)(2×10－6)2·(3×10－4)；
(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2.
【互动总结】用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么？
【解答】(1)(2×10－6)2·(3×10－4)＝(4×10－12)·(3×10－4)＝12×10－16＝1.2×10－15.
(2)(3×10－5)3÷(10－3)－2＝(27×10－15)÷106＝27×10－21＝2.7×10－20.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算，结果应符合科学记数法．
环节3课堂小结，当堂达标