自动控制原理潍坊科技学院机械工程学院
李世琛
自动控制原理
5. 线性系统的频域分析与校正§5.1 频率特性的基本概念
§5.2 幅相频率特性（Nyquist图）
§5.3 对数频率特性（Bode图）
§5.4 频域稳定判据
§5.5 稳定裕度
§5.6 利用开环频率特性分析系统的性能§5.7 闭环频率特性曲线的绘制
§5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能§5.9 频率法串联校正
自动控制原理
闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半平面。第3章中介绍的利用闭环特征方程的系数判断系统稳定性的劳斯稳定判据，其特点是利用闭环信息来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环信息—开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
频域稳定判据
时域稳定判据与频域稳定判据的对比
线性系统稳定的充要条件—全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性
不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题
劳斯稳定判据—Ruoth 判据
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性
可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
频域稳定判据—Nyquist 判据
对数稳定判据
频域稳定判据
奈奎斯特稳定性判据
)
(
2
)
(
2
2
+
-
-
+
-
+
-
=
+
=
-
=
-
=
=
-
N
N
N
N
P
Z
N
N
N
N
P
Z
P
N
N
当开环传递函数不存在积分项（0型系统），使用开环频率特性判断闭环系统的稳定性。
当开环传递函数存在积分项（1型以上系统），要在开环频率特性GH基础上，从ω=0-出发顺时针画连线（半径无穷大）到ω=0+处，以此封闭曲线判断闭环系统的稳定性。
例试根据奈氏判据，判断下图所示曲线对应的闭环系统稳定性。已知曲线对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）
题号
开环传递函数闭环稳定性10-12不稳定2000稳定30-12不稳定4000稳定
5
0-12不稳定6000稳定7000稳定
811/20稳定9101不稳定
101-1/22不稳定
)
1)(1)(1()(321+++=s T s T s T K
s G )1)(1()(21++=
s T s T s K s G )
1()(2+=Ts s K s G )()1()
1()(21221T T s T s s T K s G >++=3)(s K s G =
321)1)(1()(s s T s T K s G ++=)1)(1)(1)(1()
1)(1()(432165++++++=s T s T s T s T s s T s T K s G )1(1)(1>-=
K s T K s G )1(1)(1<-=K s T K
s G )1()(-=Ts s K
s G P N N P 2-
奈奎斯特稳定性判据实际上，系统的频域分析设计通常是在Bode 图上进行的。将奈奎斯特稳定判据引申到Bode 图上，以Bode 图的形式表现出来，就成为对数稳定判据。在Bode 图
上运用奈奎斯特判据的关键在于如何确定包围( )
的圈数。系统开环频率特性的奈氏图与Bode 图存在一定的对应关系，如图所示。
在奈氏图中，如果开环幅相曲线在点( )
以左穿过负实轴，称为“穿越”。并且这种穿越必然是在的条件下穿越负实轴的( )
区段，若沿增加方向，曲线自上而下(相位增加)穿过( )
点以左的负实轴，则称为正穿越；反之曲线自下而上(相位减小)穿过( )
点以左的负实轴，则称为负穿越。如果沿增加方向，幅相曲线自点( )
以左负实轴开始向下或向上，则分别称为半次正穿越或半次负穿越，如图(a)所示。
)(ωj G 0,1j -0,1j -ω0,1j -0,1j -ω0,1j -1)(>ωA 1,-∞-
频域稳定判据
在Bode 图上，对应的频段内沿增加方向，对数相频特性曲线自下而上
（相角增加）穿过线称为正穿越；反之曲线自上而下(相角减小)穿过为负穿越。同样，若沿增加方向，对数相频曲线自线开始向上或向下，
分别称为半次正穿越或半次负穿越，如图(b)所示。
0)(>ωL ω 180-
180-ω 180-)
(2)
(22
+--+-+-=+=-=-==-N N N N P Z N N N N P Z P N N
稳定裕度
控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统
而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。
对于一个最小相角系统而言，其奈奎斯特曲线越靠近（-1，j0）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用奈奎斯特曲线对（-1，j0 ）点的接近程度来表示系统的相对稳定性。通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示的。
相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它与闭环系统的动
态性能密切相关。
稳定裕度时域（t ）
系统动态性能
稳定边界稳定程度频域（ω）稳定程度
虚轴阻尼比x 到(-1,j0)的距离
(-1,j0)稳定裕度
(开环频率指标)
稳定裕度
相角裕度是指幅相频率特性的幅值时的向量与负实轴的夹角，常用希腊字母表示。
在G 平面上画出以原点为圆心的单位圆，见上图。
曲线与单位圆相交，交点处的频率称为截止频率，此时有。按相角裕度的定义
由于，故在伯德图中，相角余度表现为处的相角与水平线之间的角度差，如图所示。上述两图中的均为正值。
稳定系统γ>0, γ越大,系统相对稳定性越高。
)(ωj G 1)()(==ωωj G A γ)(ωj G c ω1)(=c A ω)
(180)180()(c c ω?ω?γ+=--= 01lg 20)(lg 20)(===c c A L ωωdB L 0)(=ω)(c ω? 180-γ1、相角裕度
稳定裕度2、幅值裕度
曲线与负实轴交点处的频率称为相角交界频率，此时幅相特性曲线的幅值为，如图所示。幅值裕度是指(-1,j0)点的幅值1与之比，常用表示，即在对数坐标图上
稳定系统h>1,Lh>0dB, K g 越大，相对稳定性越高。
)(ωj G g ω)(g A ω)(g A ωh )
(1g A h ω=)(log 20)(1log 20log 20g g h A A h L ωω-===
稳定裕度
相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率处若相角再迟后一个角度，则系统处于临界状态；若相角迟后大于，系统将变成不稳定。
幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大h 倍，则处的幅值等于1，曲线正好通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定状态；若开环增益增大h 倍以上，系统将变成不稳定。
对于最小相角系统，要使系统稳定，要求相角裕度，幅值裕度。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。在工程设计中，一般取。c ωγγg ωω=)(g A ω0>γ1>h dB L h h 6,2,60~30≥≥=对应 γ二、系统的Nyquist 图和Bode 图的对应关系
ωc 为幅值穿越频率(或幅值交接频率),特性曲线与单位圆（0dB 线）交接处的频率；
ωg 为相位穿越频率(相位交接频率),特性曲线与负实轴（-180o 线）交接处的频率。
3、稳定裕度计算方法)
(180)(1)(:c c w A ω?γω?ωγ+?=???=)
(log 20)(180)(:g g h w A w A L -????-=ωω?
稳定裕度
三、Bode（伯德）图上的稳定性分析
由上表可知，Bode图与Nyquist图之间具有对应关系，所以在Nyquist图上的分析结论可以移植到Bode图上加以应用。
（一）Bode图上稳定裕量的分析
(1) Nyquist曲线穿过(-1,0j)点, ω
g = ω
c
系统处于临界稳定；Bode图上ω
c
处
有γ=0?[?(ω
c )=-180 ?]；ωg处有K
g
=0dB[L(ω
g
)=0dB]
稳定裕度
(2) Nyquist曲线从(-1,0j)点右侧不远处穿过负实轴, ωg >ωc系统虽然处
于稳定状态,但稳定裕度不大；Bode图上ω
c 处有γ>0o[?(ω
c
)>-180o]；ωg处有
K g>0dB[L(ωg)<0dB]
(3) Nyquist曲线从(-1,0j)点右侧较远处穿过负实轴, ωg > ωc系统处于稳定状态,且稳定裕度大；在Bode图上, ωc处有γ>0o[?(ωc)>-180o]; ωg处有Kg>0dB,[L(ωg)<0dB]
稳定裕度
(4) Nyquist曲线从(-1,0j)点左侧穿过负实轴, ω
g < ω
c
，系统处于不稳定状
态,且稳定裕度大；在Bode图上, ω
c 处有γ<0 ?[?(ω
c
) < -180 ?]; ω
g
处有K
g
<0dB, [L(ω
g
) > 0dB]
稳定裕度
（二）Bode定理及应用
（1）最小相位系统的幅频特性与相频特性具有一一对应关系。即当给定某个频率区间上对数幅频特性的斜率时，同一区间上的对数相频特性就被唯一地确定。反之，当给定某个区间上的对数相频特性时，同一区间上的对数幅频特性也被唯一确定。
（2）某一频率上的相位移，主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率,其大致的对应关系是：±n·20dB/dec的斜率对应大约
±n·90o的相角。
（3）例如，在幅值穿越频率ω
c 处,对数幅频特性渐近线的斜率是
-20dB/dec时，则ω
c 处的相位移大约为-90o；而渐近线的斜率为-
40dB/dec时，则对应相角大约为-180o。
（4）在实际工程中，为使系统具有适当的相位裕量，一般使幅
频特性渐近线以-20dB/dec的斜率通过0dB线，并在交接频率ω
c 附
近(1/4ω到2ω) 频率范围内保持-20dB/dec的斜率。
稳定裕度例1单位反馈系统的开环传递函数为
试分别确定系统开环增益K=5和K=20时的相角裕量和幅值裕量
解: (1)绘制Bode图;
(2)从图中量取得:
K=时,γ≈12o,Kg≈6dB;
K=20时,γ≈-12o,Kg≈-6dB;
问题:
(1)如欲使系统处于临界稳定,
K应变为多大?
(2)如欲使γ≈30o, K应变为多大?
)(180c j G ωγ∠+?=解法I ：由幅相曲线求。
h ,γ例2)10)(2(100)110)(12(5
)(++=++=s s s s s s s G ，求。
h ,γ(1)令1)(=c j ωG 2
222102100
++=c c c ωωω1000
]400104[242=++c c c ωωω9
.2=c ω试根得)
9.2(180?+?=109.2arctan 29.2arctan 90180--?-?=?
=?-?-?=5.181.164.5590稳定裕度