证明线段和差练习题
一、【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方式1： 延长AD
到E ，
AD 是BC 边中线
使DE=AD ，
连接BE 方式2：间接倍长
作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，
作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD 二、利用平行线及等腰三角形性质
例1已知：如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线BD 、CD 相交于一点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 与点E ，交AC 与点F 。求证：EF=BE+CF
二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。
例2：如图所示已知 △ABC 中，0
90C ∠=，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CD.
三、面积法：利用三角形的面积进行证明。
例3：所示已知 △ABC 中，AB=AC ，P 是底边上的任意一点，PE ⊥AC ，
PD ⊥AB ，BF 是腰AC 上的高，E 、D 、F 为垂足。
求证：①PE+PD=BF
②当P 点在BC 的延长线上时，PE 、PD 、PF 之间满足什么关系式？
例4、如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立；（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。
（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
练习题1. 如图2—1—3所示已知 三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，
求证：AB+BD=AC.
2. 如图2—1—8所示已知△ ABC 中，
090ACB ∠=，AC=BC ，E 是AB 上的一点，
BD ⊥CE ，AF ⊥CE ，垂足分别为D 、F ，∠B=2∠C ，求证：DF+AF=CF.
3、.已知：P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的
任意一点，过P 作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于Q 、R.证明：PQ+PR 的值不随P 点的变化而变化.且PQ+PR 为定值.
4、已知:如图所示,在ABC 中,D\E 是BC 上的点,BD=CE,
过D,E 作AB 的平行线DF,EG,分别交AC 于F,G 。求证：DF+EG=AB 。
5、 如图，所示已知 四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 平分∠ABC ，求证：AD+BC=AB.
B C
E
D
6、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC
于F ，求证：AF=EF
7、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
8、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠
9、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
D
A
B
C
M
T
E