一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，
他的结论是（直接写结论，不需证明）；
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．
【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.
【解析】
【分析】
（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，
∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.
(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，
∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.
（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到
EF=FG，最后求三角形的周长即可.
【详解】
解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC
在△ABE和△ADG中，
∵
DC DG
B ADG
AB AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=
1
2
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵
AE AG
EAF GAF
AF AF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF．
（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG
在△ABE和△ADG中，
∵
DG BE
B ADG
AB AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=
1
2
∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵
AE AG
EAF GAF AF AF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，
∵
AE CG
A BOG AF BF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．
∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠CBF+∠CBG=45°．
在△EBF与△GBF中，
∵
BE BG
EBF GBF BF BF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF=GF，
∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.
2．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ
是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或
3
2
（3）9s 【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】
（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP与△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，
∠CPQ=90°，
则线段PC与线段PQ垂直.
（2）设点Q的运动速度x,
①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
912t
t xt
=-
?
?
=
?
，
解得3
1t x =??=?
， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，
912xt t t
=??=-? 解得632t x =???=??
， 综上所述，存在31t x =??=?或632t x =???=??
使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，
设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，
∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；
∴EB=EA=18cm.
当V Q =1时，
依题意得3x=x+2×9，
解得x=9；
当V Q =32
时， 依题意得3x=
32x+2×9， 解得x=12.
故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.
3．如图，在ABC ?中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .
（1）若AB AC =，90BAC ∠=?
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系；
②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠?，45BCA ∠=?，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.
【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；
（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．
【详解】
解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD ，
在△ACF 和△ABD 中，
∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，
∴△ACF ≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF ⊥BD ；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD ，
即∠CAF=∠BAD ，
在△ACF 和△ABD 中，
∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，
∴△ACF ≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，
∵AB=AC ，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF ⊥BD ；
（2）如图3，过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴AC=AE ，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD ，
在△ACF 和△AED 中，
∵AC=AE ，∠CAF=∠EAD ，AD=AF ，
∴△ACF ≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF ⊥BD ．
【点睛】
本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.
4．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .
（1）求证：BD DE CE =+.
（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；
（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为
AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠??∠=∠??=?
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=DE+CE ；
（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠??∠=∠??=?
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴AD+AE=BD+CE ，
∵DE=BD+CE ，
∴BD=DE-CE ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
5．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=?．
（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；
（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；
（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持
90EDF ∠=?，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；
（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ?ADF +S ?ADE =S ?BDE +S ?CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；
（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）证明：如图①，连接AD.
∵∠BAC=90?,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，AD=BD ，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE 和△ADF 中，∠1=∠B ，AD=BD,∠2=∠4，
∴△BDE ≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴ΔDEF 为等腰直角三角形.
（2）由（1）可知DE=DF ，∠C=∠6=45°，
又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴△ADE ≌△CDF ，
∴S 四边形AEDF =S ?ADF +S ?ADE =S ?BDE +S ?CDF ，
∴ S ?ABC =2 S 四边形AEDF ,
∴S 四边形AEDF =3.5 .
（3）是.如图②，连接AD.
∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴AD ⊥BC,AD=BD ，
∴∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE ，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4,
在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE ≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
6．如图，在ABC ?中，903, 7C AC BC ∠=?==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．
（1）填空：ABC ?的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）
212
；（2）证明见解析；（3）32【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=
1()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=?==， ∴112137222
ABC S AC BC =
?=??=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE
∴△AEM ≌△DEN （AAS ）
∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上，
即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上，
∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，
∵△AEM ≌△DEN
∴AM=DN ，
即AC-CM=CN-CD
在Rt △CME 与Rt △CNE 中，CE=CE ，ME=NE ，
∴Rt △CME ≌Rt △CNE （HL ）
∴CM=CN
∴CN=1()2
AC CD +， 又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°， ∴CE=22()CN AC CD =
+， 当AC=3，CD=CO=1时，
CE=2(31)222
+= 当AC=3，CD=CB=7时， CE=
2(37)522+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
7．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．
()1当点E 在线段AD 上时，
①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；
②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+
；
()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD
【解析】
【分析】
（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到
120AFB ADC ∠=∠=?，推出ABF ACD ??≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；②过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，由△DEF 为等边三角形得到DA ＝DG ，再推出AE ＝GF ，根据线段的和差即可整理出结论；
（2）根据题意画出图形，作出AG ，由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）①证明：AB AC =
B C ∴∠=∠
,60DF DE ADB =∠=?，且E 与A 重合，
ADF ∴?是等边三角形
60ADF AFD ∴∠=∠=?
120AFB ADC ∴∠=∠=?
在ABF ?和ACD ?中
AFB ADC B C
AB AC ∠=∠??∠=∠??=?
ABF ACD ∴??≌
BF DC ∴=
②如图2，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，
∵∠ADB ＝60° DE ＝DF
∴△DEF 为等边三角形
∵AG ∥EF
∴∠DAG ＝∠DEF ＝60°，∠AGD ＝∠EFD ＝60°
∴∠DAG ＝∠AGD
∴DA ＝DG
∴DA －DE ＝DG －DF ，即AE ＝GF
由①易证△AGB ≌△ADC
∴BG ＝CD
∴BF ＝BG ＋GF ＝CD ＋AE
（2）如图3，和（1）中②相同，过点A 做AG ∥EF 交BC 于点G ，
由（1）可知，AE=GF ，DC=BG ，
BF CD BF BG GF AE ∴+=+==
故BF AE CD =-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时
DE AD BE
、、之间的数量关系（不需要证明）．
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD
【解析】
【分析】
(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；
(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)
一样．
【详解】
(1)不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，
理由如下：如图，
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB
=，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
90
ADC CEB
CAD BCE
AC CB
∠=∠=?
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
(2)结论：DE=BE-AD．
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE ，
在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???∠=∠??=?
，
∴△ADC ≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE ，DC=BE ，
∴DE=CD-CE=BE-AD ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．
9．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12
BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12
BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，
即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝
12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．
（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交
AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，
∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），
∴AH＝BC，
∴AD＝DH＝BD＝DC，
∴AD ＝12
BC ． 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED 到H 山顶DH ＝DE ．
∵ED ＝DH ，∠EDB ＝∠HDC ，DB ＝DC ，
∴△EDB ≌△HDC （SAS ），
∴∠B ＝∠HCD ，BE ＝CH ，
∵∠B +∠ACB ＝90°，
∴∠ACB +∠HCD ＝90°，
∴∠FCH ＝90°，
∴FH 2＝CF 2+CH 2，
∵DF ⊥EH ，ED ＝DH ，
∴EF ＝FH ，
∴EF 2＝BE 2+CF 2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF 2＝BE 2+CF 2．
证明方法类似（2）．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．如图，ABC ?是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角ADE ?，连接CE .
（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，CE 之间的数量关系；
（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；
（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；
（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB＝AC ，AE ＝AD ，
在△△ABD 和△ACE 中
90AB AC BAC DAE AD AE ??∠∠=????
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE,
又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠B+∠ACB=90?,
∴∠ACE +∠ACB=90?,即BC CE ⊥，
∵BC=BD+CD, BD=CE ，
∴BC CE CD =+；
（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下：
∵ABC ?、ADE ?是等腰直角三角形，
∴0
,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，
∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠
即BAD CAE ∠=∠,
在ABD ?和ACE ?中 AB AC BAD CAE AD AE ??∠=∠???
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ???
∴BD CE =
∵BD BC CD =+
∴CE BC CD =+，
∴ABD ACE ∠=∠，
∵090ABD ACE ∠+∠=
∴090ACE ACB ∠+∠=
∴BC CE ⊥.
（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下：
∵ABC ADE ??、是等腰直角三角形，
∴0,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，
在ABD ?和ACE ?中
AB AC BAD CAE AD AE ??∠=∠???
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ???，
∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =，
∵CD BD BC =+，
∴CD CE BC =+，
∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠=
∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=，
∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥.
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．