2020高考数学模拟试题
（理科）
一、单选题
1．已知集合{}
2
|1A x N x =∈≤，集合{}|13B x Z x =∈-≤≤，则图中阴影部分表示
的集合为（ ）
A ．[]1,3
B ．(]1,3
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,2,3-
【答案】C
【解析】求出集合的等价条件，结合Venn 图转化为定义的集合关系进行求解即可． 【详解】
解：{}
{}2
|1=01A x N x =∈≤，
，{1,0,1,2,3}B =- 阴影部分对应的集合为B C A ， 则{1,2,3}B C A =-， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图表示集合关系是解决本题的关键． 2．在复平面内，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ u u u u r
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案． 【详解】
解：复数1z i =+的共轭复数为1z i =-， 对应的点为(1,1)-，
复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ u u u u r
为图C ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 3．已知,2παπ??
∈ ???
，3sin 5α=，则()cos πα-=（ ）
A ．
4
5 B ．
35
C ．45
-
D ．35
-
【答案】A
【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得()cos πα-的值． 【详解】
解：因为,2παπ??
∈ ???
，3sin 5α=，
所以2
34cos 155α??=--=- ???， ()4cos cos 5
παα∴-=-=
， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题．
4．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：
则下列说法错误的是（ ）
A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况
B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加
C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质
D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60% 【答案】C
【解析】根据饼图逐一判断． 【详解】
A ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确；
B ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确；
C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III 类水质，故错误；
D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过60%，故正确. 故选：C ． 【点睛】
本题考查饼图的识别及认识，是基础题．
5．以双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆（O
为坐标原点）与C 的渐近线相切，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．0y ±=
B ．0x ±=
C ．0y ±=
D ．0x ±=
【答案】B
【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出
b
a
即可． 【详解】
由已知双曲型的渐近线为b
y x a
=±，选取其中一条研究即可，即为0bx ay +=， 另外以双曲线C 的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆圆心为(,0)c ，半径为1
2
c ，
12c =
，即2b =b a =，
则C 的渐近线方程为
y x =，即0x ±=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立,,a b c 的等量
关系，是基础题．
6．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得
()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A ．7
B ．16
C ．19
D ．21
【答案】B
【解析】根据递推关系计算即可． 【详解】
解：由已知()()()322111214f f f =++=++=，
()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，
故选：B ． 【点睛】
本题考查递推关系的应用，是基础题．
7．设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】
解：根据导函数图像，()y f x =的增区间为(3,1),(0,1)--，减区间为(1,0),(1,3)-， 观察选项可得D 符合， 故选：D ． 【点睛】
本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．
8．ABC ?的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =?，21
sin 7
C =
，2c =，则ABC ?的面积等于（ ）
A ．
3B ．23C 3D 3
【答案】A
【解析】先通过已知求出sin ,cos ,cos B B C ，进而根据sin sin()A B C =+求出sin A ，再利用正弦定理求出b ，则利用面积公式可求出ABC ?的面积． 【详解】
解：120B =?Q ，
31
sin 22B B ∴=
=-， 又21
sin 7
C =
，C 为锐角， 27
cos C ∴=
sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+32712121
2??=
+-=
???， 由正弦定理得
sin sin b c
B C
=，
sin
s in c b B C ∴=
?==
11
sin 222ABC S bc A ∴=
==
V 故选：A ． 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．
9．已知函数()x
x
f x e e -=+，则（ ）
A ．(()f f e f <<
B ．()(
f e f f
<<
C ．()(f f e f <<
D ．(()f f f e <<
【答案】D
【解析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小． 【详解】
解：由已知()()x
x f x e
e f x --=+=，故()f x 为偶函数，
另外令x t e =，则()1f x t t
=+，x t e =，
又1y t t
=+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而x t e =在R 上单调递增，且01e =，
根据复合函数单调性的判断规则，
()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，
因为0e >>>，
所以()f f f e <<，
即(()f f f e <<， 故选：D ． 【点睛】
本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题
10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可
以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）
A ．2
B ．4
C ．26
D ．6
【答案】B
【解析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可． 【详解】
解：设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23
根据截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =， 故由题意知(2
2223R r =+，即(2
2223
16R =+=，所以4R =，
故选：B ． 【点睛】
本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题． 11．已知函数()()sin 04f x x πωω??
=-> ??
?
，0,
2x π?
?
∈????的值域是2??????
，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2
?
? ??
?
B ．3,32??????
C ．73,2
??????
D ．57,22
??????
【答案】B
【解析】先通过x 的范围，求出4
x π
ω-的范围，再利用值域，可得
5
2
2
44
π
ωπ
π
π≤
-
≤，进而可求ω的取值范围． 【详解】
解：因为0>ω，所以当0,
2x π??
∈????
时，[,]4424x ππωππω-∈-- 因为函数()()sin 04f x x πωω?
?=-> ???，0,2x π??∈????的值域是22??-????
所以
5
2244
π
ωπ
π
π≤
-
≤， 解得3
32
ω≤≤，
故选：B ． 【点睛】
本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体2
4
ωπ
π
-
的范围，再根据单调性和最值的
关系分析，是中档题．
12．已知P 是函数()2
f x x =图象上的一点，过点P 作圆22
430x y y +-+=的两条切
线，切点分别为A ，B ，则PA PB ?u u u r u u u r
的最小值为（ ） A ．3
28
-
B ．223-
C ．0
D ．
32
【答案】A
【解析】先利用条件将PA PB ?u u u r u u u r 表示为222||3PM PM
-+，求出2||PM 的范围，利用函数2
3y t t
=+-的单调性求出最小值． 【详解】 解：如图
设点M 为圆22
430x y y +-+=的圆心，坐标为(02)，
，圆的半径为1， 1
sin APM PM
AM PM
∴∠=
=
， 22
2cos 12sin 1APB APM PM
∴∠=-∠=-
，
222
2
22(||1)||c 1)(3os APB PM PA PB P PM P A M
B P P M
∴?=??-∠=?+-
=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，
设2
||PM t =，则2
3y PA PB t t
=?=+-u u u r u u u r ，
设2
(,)P x x ，
则2
2
2
2
2
2
4
2
377(2)3|4()2
44|x x x x x PM =+-=-+=-+
≥，故74
t ≥， 23y t t =+-在7
[,)4+∞上单调递增，
min 8373
428
7y -=∴=+-，
故选：A ． 【点睛】
本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题．
二、填空题
13．已知点()1,0A ，(B ，则与向量AB u u u r
垂直的一个非零向量的坐标是____．（只要填写一个满足条件的向量即可）
【答案】
)
1-.
【解析】求出向量AB u u u r
，写出一个与其垂直的向量，与其平行即可． 【详解】
解：由已知AB =u u u r
，则1)-与AB u u u r
垂直，只要填写形如)
(),0λλ-≠的
向量都正确.
故答案为：)
1-．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题． 14．()
()
6
5
121x y ++的展开式中42
x y 的系数是____.
【答案】600.
【解析】分别对()6
1x +和()5
21y +找到4x 与2
y 的系数，相乘即可．
【详解】
()()
65
121x y ++的展开式中含42x y 的项为()2
443
652C x C y ，其系数为432652600C C =，
故答案为：600．
【点睛】
本题考查二项式定理，求指定项的系数，是基础题．
15．已知椭圆M ：()22
2
210x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B 、C 两
点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=?，则椭圆M 的离心率为____. 【答案】
6. 【解析】四边形OABC 为平行四边形，45OAB ∠=?，直线OC 的方程为：y x =，
联立22221y x x y a b =???+=??，解得：C x ．同理联立22221
y x a x y a
b =+???+=??，解得B x ．根据||||OA CB a ==，
即C B x x a -=化简即可得出． 【详解】 解：如图所示，
四边形OABC 为平行四边形，45OAB ∠=?， ∴直线OC 的方程为：y x =，
联立2
2221
y x
x y a
b =???+=??，解得：22
C x a b =+． 同理联立22221
y x a x y a
b =+???+=??，化为：()2223422
20a b x a x a a b +++-=．
解得323
222
2
2B a ab a x a a b a b
-=-=++． ∵||||OA CB a ==，
23
2222ab a a a b a b
--=++． 化为：223b a =．
∴椭圆的离心率c e a ====
． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． 应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．
其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
备注：
“专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。 “专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡
养老人等支出。
“其他扣除”是指除上述免征额、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用。
某人全年综合所得收入额为160000元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，
9%，专项附加扣除是24000元，依法确定其他扣除是0元，那么他全年应缴纳综合所
得个税____元． 【答案】1880.
【解析】根据题意求出应纳税所得额，再根据公式求出个税税额即可． 【详解】
解：由已知应纳税所得额1600006000016000020%2400044000=--?-=， 则个税税额4400010%25201880=?-=． 故答案为：1880． 【点睛】
本题考查实际问题的解答，考查理解能力和计算能力，是基础题．
三、解答题
17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =.
（1）证明：平面1A BD ⊥面11BC D ；
（2）若2AB AD =，求二面角11A BD D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（25
【解析】（1）通过证明11A D BC ⊥，111A D C D ⊥来证明1A D ⊥平面11BC D ，进而证明平面1A BD ⊥面11BC D ；
（2）建立空间直角坐标系，求出面1BDD 和面1A BD 的法向量，通过求法向量的夹角来得到二面角11A BD D --的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为1AD AA =，所以四边形11AA D D 是正方形，所以11A D AD ⊥， 又四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以11A D BC ⊥， 因为长方体1111ABCD A B C D -中，11C D ⊥平面11AA D D ，所以111A D C D ⊥， 又1111BC C D C =I ，111BC C D ?、平面11BC D ，所以1A D ⊥平面11BC D ， 而1A D ?平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11BC D . （2）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
设11AD AA ==，则2AB =，()11
,0,1A ，()1,2,0B ，()0,0,0D ，()10,0,1D ， 设平面1BDD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r
， ()10,0,1DD =u u u u r ，()1,2,0DB =u u u r
，
则11111100200z n DD x y n DB ?=??=????
+=?=???
u v u u u u v
u v u u u v ，取11y =-，所以()12,1,0n =-u r ， 设平面1A BD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r ，()11,0,1DA =u u u u r ，()1,2,0DB =u u u r
， 22212220
0200x z n DA x y n DB ?+=??=????+=?=???
u u v u u u u v
u u
v u u u v ，取21y =-，所以()22,1,2n =--u u r ， 故1212
12
5
cos ,n n n n n n ?==u r u u r
u r u u r u r u u r ，又二面角11A BD D --是锐角，
所以，二面角11A BD D --的余弦值为
5
3
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求面面角，考查计算能力与空间想象能力，是中档题．
18．设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知11a b =，3125a b b =+=，
2q d =.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【答案】（1）21n a n =-，1
4n n b -=；（2）655
499
n n n S -=
?+. 【解析】（1）将条件均用基本量表示，列方程求解即可； （2）写出n S 和4n S ，作差，利用等比数列的求和公式整理即可． 【详解】
（1）∵125b b +=，∴()115b q +=， 又∵2q d =，11a b =，∴()1125a d +=， ∴3125a a d =+=，∴152a d =-， ∴()()52125d d -+=， 解得：10d =，22d =， 若0d =，20q d ==（舍去）， 若2d =，24q d ==， ∴11321b a a d ==-=， ∴()1121n a a n d n =+-=-，
1114n n n b b q --==.
（2）()1
214
n n n n c a b n -=?=-?，
∴()2
1
13454214
n n S n -=+?+?++-L ，
∴()2
3
443454214n
n S n =+?+?++-L ，
()2313124242424214n n n S n --=+?+?+?++?--?L ()()14411221441
n n n --=+?
--?-
655
433n n -=-
?-. 655499
n n n S -=?+.
【点睛】
本题考查等差，等比数列通项公式的求解以及错位相减法求和，考查学生的计算能力，是基础题．
19．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是C 上的动点. （1）当4PF =时，求直线PF 的方程；
（2）过点P 作l 的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，直线OM 与C 的另一个交点为Q ，证明：直线PQ 经过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1
）y =
y =+（2）直线PQ 恒过点()1,0，理由见解析.
【解析】（1）设()00,P x y ，利用01PF x =+求出0x ，进而可求出0y ，利用点P 的坐标求出PF k ，用斜截式可写出直线方程；
（2）设()2
000,04y P y y ??≠ ???
，则()01,M y -，联立直线OM 与抛物线C ，求出点Q 坐标，进而写出直线PQ 的方程，可得其所过的定点． 【详解】
（1）设()00,P x y ，由4PF =得014x +=，解得：03x =，
所以0y =±
所以0
31
PF k ±=
=-
所以直线PF
的方程为：y =
y =+（2）设()2000,04y P y y ??
≠ ???
，则()01,M y -， 直线OM 的方程为：0y y x =-.
联立024y y x y x =-??=?得：22
040y x x -=，解得20
044,Q y y ??- ???.
①当02y =±时，直线PQ 的方程为1x =，
②当02y ≠±时，直线PQ 方程为：2
00
020444y y y y x y ??-=- ?-??
，
化简得：()0
2
0414
y y x y =
--， 综上①②，可知直线PQ 恒过点()1,0. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，锻炼了学生计算能力，是基础题．
20．近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉。对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x （单位：元/扎，20支/扎）和销售率y （销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下：
（1）设ln z x =，根据所给参考数据判断，回归模型y bx a =+$$$与$$y bz
a =+$哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程（$a 、
b $的结果保留一位小数）；
（2）某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据（1）中的回归方程，估计定价x （单位：元/扎）为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W （单位：元）最大，并求W 的最大值。
参考数据：y 与x 的相关系数10.96r ≈-，y 与z 的相关系数20.99r ≈-，35x =，
0.45y ≈，6219100i
i x ==∑， 3.40z ≈，2
669.32z ≈，618.16i i i y z
=≈∑，6
2
1
71.52i i z =≈∑，
320.1e ≈， 3.430.0e ≈， 3.533.1e ≈，454.6e ≈.
参考公式：()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i x
x y y
b
x
x
==--=-∑∑$，a y bx =-$$，()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
【答案】（1）$$y bz a =+$更合适，$0.5ln 2.0y x =-+；
（2）最大日销售额为12060元.
【解析】（1）先由线性相关系数的意义可知，$$y bz
a =+$更合适，再根据回归直线方程的系数公式，代入数据计算即可；
（2）先得到()12000.5ln 2.0W x x =?-+，再利用导数求其最值即可． 【详解】
（1）因为10.96r =，20.99r =，0.960.991<<，
由线性相关系数的意义可知，$$y bz
a =+$更合适， ()()
()
6
6
1
1
6
6
2
2
2
1
1
6?6i
i i i
i i i i
i i z
z y y z y z y
b
z
z z
z ====---?==
--∑∑∑∑8.166 3.400.45
0.460.571.5269.32
-??=
≈-≈--，
$()0.450.46 3.40 2.0a
y bz =--?≈=-$， 所以回归直线方程为：$0.5ln 2.0y x =-+. （2）由题意有：()12000.5ln 2.0W x x =?-+，
()'12001.50.5ln W x =-，令'0W =，得ln 3x = ，320.1x e =≈，
当30x e <<时，'0W >，W 递增；当3x e >时，'0W <，W 递减； 所以当售价约为20.1元/扎时，日销售额W 最大.
()33max 12000.5ln e 2.0W e =?-?+?()12000.53 2.020.112060≈?-?+?=（元），
所以，最大日销售额为12060元. 【点睛】
本题考查回归方程的求法以及利用导数求最值，考查学生的理解能力以及建模的能力，是一道中档题．
21．已知函数()()2
2x
f x e ax ax a R =--∈.
（1）讨论()f x 的导数()'f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明()()12111x x ++<. 【答案】（1）()'f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减，()'f x 在()()
ln 2,a +∞上单调递增； （2）见解析.
【解析】（1）求出()'f x ，令()()'g x f x =，对0a ≤，0a >讨论来求()'f x 的单调性；
（2）将()f x 有两个极值点1x ，2x 转化为()210x
e a x -+=有两解，继续转化为
21x e a x =+有两解，构造函数()1
x
e h x x =
+，求导()01h =为其极小值，可得21a >，即可求得实数a 的取值范围；另外要证明()()12111x x ++<，不妨设12x x <，则
1210x x -<<<，由（1）根据()'f x 的单调性得()120ln 2x a x <<<，通过变形，转
化为证明()()12ln 1ln 10x x +++<，进一步变形证明
()()()22''2ln 20f x f a x -->，构造函数()()()()''2ln 2H x f x f a x =--，利用
导数研究其最小值即可证明． 【详解】
（1）由题意，得()()()2'221x
x
ax a a R f e x x e x =--=-+∈.
设()()()'g x f x x R =∈，则()'2x
g x e a =-.
①当0a ≤时，()'20x
g x e a =->，所以()'f x 在R 上单调递增.
②当0a >时，由()'20x
g x e a =-=，得()ln 2x a =.
当()ln 2x a <时，()'0g x <，()'f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减； 当()ln 2x a >时，()'0g x >，()'f x 在()()
ln 2,a +∞上单调递增.
（2）由于()f x 有两个极值点1x ，2x ，即()'0f x =在x ∈R 上有两解1x ，2x ，
()'0f x =即()210x
e a x -+=，显然1x ≠-，故等价于21
x e a x =+有两解1x ，2x ，
设()1
x
e h x x =+，则()()2'1x xe h x x =+，
当1x <-时，()'0h x <，所以()h x 在(),1-∞-单调递减， 且()0h x <，x →-∞时，()0h x →，1x →-时，()h x →-∞；
当10x -<<时，()'0h x <，所以()h x 在()1,0-单调递减，且1x →-时，
()h x →+∞； 当0x >时，()'0h x >，所以()h x 在()0,∞+单调递增，且x →+∞时，()h x →+∞，
所以()01h =是()h x 的极小值，21
x
e a x =+有两解1x ，2x 等价于21a >，得12a >.
不妨设12x x <，则1210x x -<<<.
据（1）()'f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减，在()()
ln 2,a +∞上单调递增， 故()120ln 2x a x <<<， 由于()1121x
a x e =+，()2
221x a x e
=+，且()1210ln 2x a x -<<<<，则
12011x x <+<+，
所以()()11ln 2ln 1x a x =++，()()22ln 2ln 1x a x =++， 即()()11ln 1ln 2x x a +=-，()()22ln 1ln 2x x a +=-，
欲证明：()()12111x x ++<，等价于证明：()()12ln 1ln 10x x +++<， 即证明：()122ln 20x x a +-<，只要证明：()122ln 2x a x <-，
因为()'f x 在()()
,ln 2a -∞上单调递减，()()()
122ln 2,,ln 2x a x a ∈-∞-， 所以只要证明：()()()
12''2ln 2f x f a x >-，
由于()()12''f x f x =，所以只要证明：()()()
22''2ln 2f x f a x >-， 即证明：()()()
22''2ln 20f x f a x -->，
设()()()()
''2ln 2H x f x f a x =--，据（1）()()()()
2ln 2H x g x g a x ==-，
()()()()'''2ln 2H x g x g a x =+-()2ln 222a x x e a e a -=-+-
224440x
x e a e a a =+-≥=， 所以()H x 在(),-∞+∞上单调递增，
所以()()()()()()()()
2ln 2'ln 2'2ln 2ln 20H x H a f a f a a >=--=， 即()()()
22''2ln 20f x f a x -->， 故()()12111x x ++<. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，综合性强，对学生计算能力以及转化问题的能力要求高，是一道难题．
22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线
C 的极坐标方程是2
2
6
12sin θρ
+=
，直线l
的极坐标方程是cos 04πρθ??
-
-= ??
?
．
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11PM PN +的值． 【答案】（1）22
162
x y +=，20x y +-=；
（2
. 【解析】（1）利用222sin y x y ρθ
ρ=??+=?
，将极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）写出直线l 过点()2,0P 的参数方程，代入曲线C ，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果． 【详解】
（1）曲线C 化为：222
2sin 6ρρθ+=，
将222sin y x y ρθρ
=??+=?代入上式，即22
36x y +=，
整理，得曲线C 的直角坐标方程22
162
x y +=.
由cos 04πρθ?
?
-
= ??
?
，得
cos sin 022
ρθρθ+-=， 将cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
代入上式，化简得20x y +-=，
所以直线l 的直角坐标方程20x y +-=.
（2）由（1）知，点()2,0P 在直线l 上，可设直线的参数方程为32cos 4
3sin
4x t y t ππ?
=+????=??
（t
为参数），
即222x t y ?=-????=??
（t 为参数）， 代入曲线C
的直角坐标方程，得
2211
43622
t t -++?=，
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷 一．选择题（共16小题） 1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A．1440种B．960种C．720种D．480种 2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（） A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个 3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（） A．C1214C412C48B．C1412A124A84 C．D．C1412A124C84A33 4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（） A．6 B．12 C．15 D．30 5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种 C．C124C84A33种 D．种 6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（） A．480 B．240 C．120 D．96 7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）
A．120个B．480个C．720个D．840个 8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（） A．36个B．24个C．18个D．6个 9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（） A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种 10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（） A．24种B．18种C．12种D．6种 11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（） A．24 B．18 C．12 D．6 12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648 13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120 14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943 15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72 16．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（） A．45 B．55 C．70 D．80 二．填空题（共10小题） 17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是． 18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不
1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单 价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)
北京市2019年高考数学（理）一轮专题复习特训 排列组合、二项式定理 一 选择题 1【2018北京（理）真题6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 2（2018海淀一模）2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0) 3.（2018西城一模）9．设复数1i i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．25- 4.（2018东城一模）（2）复数i 1i =- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22 -- 5.（2018朝阳一模）（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 6.（2018大兴一模）（2）复数1i 1i +=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i 7.（2018海淀一模）6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种 8.（2018丰台一模）（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2018的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有 （A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个 9.（2018石景山一模）3．在251 ()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 二 填空题 1【2018北京（理）真题13】. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法
F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=
A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是
2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3.
5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有
2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
历年全国卷高考数学真 题大全解析版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
专题11 排列组合、二项式定理 文 1. 【2009高考北京文第3题】若4(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B 2. 【2009高考北京文第5题】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【答案】C 3. 【2006高考北京文第4题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各 位数字之和为偶数的共有 A.36 B.24 C.18 D.6 【答案】A 【解析】若各位数字之和为偶数,则需2个奇数字1个偶数字, 奇数字的选取为C 23,偶数字的选取为C 12, ∴所求为C 23·C 12·A 33=36. 4. 【2007高考北京文第5题】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其 中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2 14 2610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2 142610C 个 Ｄ．24 2610A 个
5. 【2005高考北京文第8题】五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( ) （A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B 【解析】根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A 44种情况，根据乘法原理，分析可得有C 41A 44种情况；故选B ． 6. 【2005高考北京文第10题】6 1()x x -的展开式中的常数项是 （用数字作答） 【答案】20- 7. 【2006高考北京文第10题】在(x - x 2)7的展开式中,x 3的系数是 .(用数字作答) 【答案】84 【解析】T r+1=C r 7x 7-r ·(- x 2)r =(-2)r ·C r 7·x 7-2r , 令7-2r =3,∴r =2. 代回系数(-2)r ·C r 7=(-2)2·C 27=84. 8. 【2008高考北京文第12题】5 231x x ??+ ?? ?的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答） 【答案】10 32
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设z=1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则?R A = A ．{x|-1
2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34
山东省春季高考数学试卷 一、选择题 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则?U M等于（） A．?B．{1}C．{2}D．{1，2} 2．函数的定义域是（） A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A．y=x B．y=1 C．D．y=|x| 4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（） A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（） A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32 6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D． 7．“p∨q为真”是“p为真”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（） A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6 9．下列说法正确的是（） A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 第1页（共25页）
C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（） A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（） A．72 B．120 C．144 D．288 12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D． 13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 14．如果，，那么等于（） A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18 15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D． 16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D． 17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（） A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15 第2页（共25页）