2x 的整数解为3和7，共2个. 角度3 求取值范围
4.设函数f (x )＝???
|2x －1|，x ≤2，
－x ＋5，x ＞2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )
＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16,32) B ．(18,34) C.(17,35) D ．(6,7)
答案 B
解析 画出函数f (x )的图象如图所示．
不妨令a ＜b ＜c ，则1－2a ＝2b －1，
则2a ＋2b ＝2.
结合图象可得4＜c ＜5，故16＜2c ＜32. 所以18＜2a ＋2b ＋2c ＜34.故选B.
5.若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，求a 的取值范围． 解 不等式4a
x －1
＜3x －4等价于a
x －1
＜3
4x －1.
令f (x )＝a x －1，g (x )＝3
4x －1，
当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；
当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示， 当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤3
4×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是? ?
?
??0，12.
1.利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：
2.利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明3. 3.利用函数图象解答求取值范围问题
(1)借助函数图象．由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或
不等关系，如举例说明4.
(2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明5.
1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C
解析 函数f (x )＝x |x |－2x 的定义域是R ，且f (－x )＝－x |－x |－2(－x )＝－x |x |＋2x ＝－f (x )，
所以函数f (x )是奇函数， f (x )＝x |x |－2x ＝???
x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 如图所示．
函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)．
2．若a ＝2x ，b ＝x ，c ＝log 1
2x ，则“a >b >c ”是“x >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由图可知，“x >1”?“a >b >c ”，但“a >b >c ” ?
/ “x >1”，即“a >b >c ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B.
3．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b 的取值范围是()
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．(1,2)
答案 C
解析依题意，f(x)＝|x2－1|，作出f(x)的图象如图所示．
因为0＜a＜b且f(a)＝f(b)，设直线y＝1与函数f(x)图象的最右边的交点是A，函数f(x)图象与x轴正半轴的交点是B，所以要使得在(0，＋∞)上存在两个数a，b，使得它们的函数值f(a)＝f(b)，则a∈(0，x A)，b∈(0，x A)，又b＞a，所以b∈(x B，x A)，易得x B＝1，当y＝1时，|x2－1|＝1，x＝±2.所以x A＝2，b∈(1，2)．
高频考点高考中的函数图象及应用问题
对应学生用书P034
考点分析高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．1．特殊点法
[典例1]函数y＝lg
1
|x＋1|
的大致图象为()
答案 D
解析
函数y＝lg
1
|x＋1|
的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y ＝lg
1
10＝－1＜0，由此排除B.故选D.
2．性质检验法
[典例2](2019·全国卷Ⅲ)函数y＝
2x3
2x＋2－x
在[－6,6]的图象大致为()
答案 B
解析∵y＝f(x)＝
2x3
2x＋2－x
，x∈[－6,6]，
∴f(－x)＝
2(－x)3
2－x＋2x
＝－
2x3
2－x＋2x
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除C.
当x＝4时，y＝
2×43
24＋2－4
＝
128
16＋
1
16
∈(7,8)，排除A，D.故选B.
3．导数法
[典例3]若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
cos x
x
C．f(x)＝x cos x
D ．f (x )＝x ·? ????x －π2·? ????x －3π2 答案 C
解析 由图象知函数为奇函数，排除D ；又f ? ????
π2＝0，排除A ；又当0? ????cos x x ′＝－s i n x ·x －cos x x 2＜0，所以f (x )在? ?
?
??0，π2上为减函数，排除B.故选C. 4．图象变换法
[典例4] 函数f (x )＝????
?
3x ，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )
答案 C
解析 因为f (x )＝????
?
3x ，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，
所以f (1－x )＝????
?
31－x ，x ≥0，log 13(1－x )，x <0
＝?????
? ????13x －
1
，x ≥0，log 1
3(1－x )，x <0，
故选C.
方法指导 1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．
2．已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．
3．判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利
用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．
对应学生用书P228
组基础关
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()
答案 A
解析由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A 满足．故选A.
2．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()
A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1
C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1
答案 D
解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线是函数y＝e－x的图象，此函数图象向
左平移1个单位得到函数f(x)的图象，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
3．(2019·郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如
函数f(x)＝
x4
|4x－1|
的图象大致是()
答案 D
解析由f(－x)＝
(－x)4
|4－x－1|
＝
x4·4x
|4x－1|
，易得f(x)为非奇非偶函数，排除A，B.当x→
＋∞时，f(x)＝
x4
|4x－1|
→0，排除C，故选D.
4．使log2(－x)A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(－2,0) D．[－2,0)
答案 A
解析由对数函数y＝log2(－x)，得－x>0，即x<0，根据y＝log2(－x)和y＝x ＋1的图象，且log2(－x)－1，则满足条件的x∈(－1,0)．
5．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()
A．f(x)＝x2(x2－π2)
B．f(x)＝x cos x＋π
C．f(x)＝x sin x
D ．f (x )＝x 2＋cos x －1 答案 C
解析 当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，排除A ；由图知f (x )是偶函数，而f (x )＝x cos x ＋π是非奇非偶函数，排除B ；又f (π)＝0，而D 中f (π)＞0，排除D.故选C.
6．若函数f (x )＝???
ax ＋b ，x <－1，
ln (x ＋a )，x ≥－1
的图象如图所示，则f (－3)等于( )
A ．－12
B ．－54
C ．－1
D ．－2
答案 C
解析 由函数f (x )的图象可知???
a ·(－1)＋
b ＝3，ln (－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝?
??
2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，所以f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 7．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2
答案 A
解析 因为y ＝f (2x ＋1)＝f ? ????
2? ????x ＋12，所以将函数y ＝f (x )图象的纵坐标不变，
横坐标缩短为原来的1
2，可以得到函数y ＝f (2x )的图象，将函数y ＝f (2x )的图象向左平移12个单位，可以得到y ＝f (2x ＋1)＝f ? ????2? ????x ＋12的图象．因为函数y ＝f (2x ＋1)是偶
函数，所以函数y ＝f (2x ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝0.所以函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程为x ＝1
2，函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程为x ＝1.故选A.
8．用m i n{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝m i n{2x ，x ＋2,10
－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
答案 C
解析 y ＝10－x 是减函数，y ＝x ＋2是增函数，y ＝2x 是增函数，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝10－x ，y ＝x ＋2，y ＝2x 的图象，如图1.
y ＝x ＋2与y ＝2x 的交点是A ，B ，y ＝x ＋2与y ＝10－x 的交点为C (4,6)，则函数f (x )的图象如图2，C 为最高点，所以f (x )的最大值为6.
9．函数f (x )＝x ＋1
x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.
答案 2
解析 因为f (x )＝x ＋1x ＝1＋1
x ，所以f (x )的图象关于点(0,1)对称．
因为直线y ＝kx ＋1的图象过点(0,1)，所以两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0,1)对称，所以
y 1＋y 2
2＝1，所以y 1＋y 2＝2.
10．若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 答案 ? ?
?
??1，54
解析 y ＝x 2－|x |＋a
＝???
x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x <0， 作出函数图象如图所示．
此曲线与y 轴交于点(0，a )，最小值为a －1
4，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1组 能力关
1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝－ln (1－x )，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则g (3)＝( )
A ．－ln 2
B ．ln 2
C ．0
D ．－ln 3
答案 A
解析 因为函数g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以g (3)＝f (－1)＝－ln [1－(－1)]＝－ln 2.
2．(2020·福州模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列五个结论：
①f (5)＝0；
②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值；
④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③⑤ D ．③④⑤ 答案 B
解析 因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．
