2020-2021学年上海中学高三上数学周测卷01 2020.09 一. 填空题 1. 函数24log y x =-的定义域为
2. 复数i(1+i)的实部为
3. 计算：|520|lim 2n n n
→∞-= 4. 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足22a =，835a a a =?，则公比q =
5. 已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为
6. 已知向量，，则在上的投影为
7. 函数sin cos y x x =-（x ∈R ）的单调递增区间为
8. 已知Q 为有理数集，设集合{|2,,,0}X x x a b a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中：
① {2|}x x X ∈；② 2{|}x X x ∈；③ 1212{|,}x x x x X +∈；④ 1212{|,}x x x x X ∈；
与X 相等的集合的序号是
9. 设函数()sin()6f x x π
ω=+（0ω>），若关于x 的方程()1f x =在区间[0,]π上有且仅有两个不相等的实根，
则ω的最大整数值为
10. 已知正数x 、y 满足2x y +=，若22
12
x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是 11. 已知,a b ∈R ，函数22||()2
x ax b x ax b f x +++--=的最小值为2b ，则b 的取值范围是 12. 已知集合22{(,)|(cos )(sin )4,0}P x y x y θθθπ=-+-=≤≤，由集合P 中
所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，
给出下列结论：
①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为(0,3)；
② 在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为4；
③ 阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C 、D ，则||33CD =+；
其中正确的序号是
二. 选择题
13. 设、是非零向量，则“、共线”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 设函数2()cos sin f x x b x =+，则“0b =”是“()f x 的最小正周期为π”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
15. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗， 该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源 挤兑”现象只需要约（ ）A. 7天 B. 10天 C. 13天 D. 16天
16. 如图，α、β、γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角l αβ--
大小为60°，γ在二面角l αβ--内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α、β内
的射影分别为椭圆1C 、2C ，记椭圆1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e ，则2212e e +的
取值范围是（ ）
A. 13[,)34
B. 15[,)34
C. 13[,)24
D. 15[,)24
三. 解答题
17. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=?，E 、M 、N 分别 是BC 、1BB 、1A D 的中点.
（1）证明：MN ∥平面1C DE ；（2）求直线AM 与平面1C DE 所成角的大小.
18. 已知函数()2sin()cos 3f x x x π
=+.
（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44
x ππ∈-
时，求函数()f x 的最大值与最小值.
19. 有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系， 设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数1()f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；
（2）若可以通过1()f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利，问：垃圾投放点2ω建 在何处才能比建在中点时更加便利？
20. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，其中△2ABF 的周长为16，且当AB 与x 轴垂直时，AB 的长为2.（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当290F AB ∠=?时，点A 在x 轴上方，求点A 的坐标；
（3）若直线2AF 交y 轴于M ，直线2BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得△2ABF 的面积与△2MNF 的面积 相等？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.
21. 设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下：11a =，1
2n n n n n a a a a m a +??=??+?为偶数为奇数
. （1）若5m =，写出8a 、9a 、10a ；
（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数；
（3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由.
2020上海中学高三上数学周测卷01参考答案
一. 填空题
1. (0,16]
2. 1-
3.
52 4. 2 5. 13 6. 5- 7. 3[2,2]()44
k k k π
πππ-+∈Z 8. ①②④ 9. 4 10. 4(,]5-∞ 11. [0,1] 12. ①③
二. 选择题
13. B 14. C 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）证明略；（2）34arcsin . 18.（1）T π=；（2）max 3()1f x =+
，min 31()f x -=. 19.（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离，∴60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，
60(95)|12095|25f =-=. 由题意，60min (){|60|,|120|}f x x x =--，∴分类讨论， 当|60||120|x x -≤-，即90x ≤时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-， 即90x >时，60()|120|f x x =-；综上，60|60|90()|120|90
x x f x x x -≤?=?->? （2）由题意，min (){||,|120|}t f x t x x =--，∴||0.5(120)()|120|0.5(120)t t x x t f x x x t -≤+?=?->+?
， ()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
∴222113(120)603600244
S t t t t =
+-=-+， 由题意，(60)S S <，即2360360027004
t t -+<， 解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利
21.（1）6、3、8；（2）证明略；（3）存在.