所以)2(f 为函数的极大值，也是函数的最大值．
{
}max ()(f x f =2
(2)t t e dt -=-?2
22
(2)1t
t t e e dt e ---=---=+?
又0)0(=f ，0
lim ()(2)1
t x f x t e dt +∞-→+∞
=-=?
，
所以{}0)0()(min ==f x f ．
例4．过抛物线2
x y =上一点),(2
a a P 做切线，问a 为何值时，所做切线与抛物线
142-+-=x x y 所围图形面积最小？
解：抛物线2x y =上过点),(2
a a P 的切线方程为：2)(2a a x a y +-=，
设该切线与抛物线142
-+-=x x y 的两个交点的横坐标分别为α，β（βα<），即α，
β为方程01)2(222=+--+a x a x 的两个根，由根与系数的关系有：
)2(2--=+a βα，21a -=αβ，34222+-=-a a αβ
则所围图形的面积
22[412()]S x x a x a a dx
β
α
=-+----?
22[2(2)1]x a x a dx
β
α
=---+-?
332221
()(2)()(1)()
3a a βαβαβα=-----+--
3
22
4
(243)3a a =-+
从而1
2
2
2(243)(44)S a a a '=-+-，令0S '=有1=a ， 所以当1=a 时，
34
=
S 为面积的最小值．
例5．利用定积分计算极限（1）112 (i)
p p p p n n n +→∞+++（0p >）；
（2
）
1lim ...n n →∞+． 分析：考察定积分的定义
1
()lim ()n
b i i
a
i f x dx f x λξ→==?∑?，在已知定积分存在的情况下，
我们可以把区间],[b a n 等分，则
n a b x i -=
?，取i ξ为右端点，则i n a
b a i ?-+=ξ，于是
1()lim ()n b a
n i b a b a
f x dx f a i n n →∞=--=+?∑?
；特别当0a =，1b =时，上式变为：
10
1
1112()lim ()lim [()()...()]
n n n i i n
f x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===+++∑?
． 如果一个极限具有上面极限的形式则可以转化为相应的定积分来计算．
解：（1）112 (i)
p p p
p n n n +→∞+++（0p >）
101121
lim [()()...())]1p p p p n n x dx n n n n p →∞=+++==
+?．
（2
）1lim ...n n →∞+．
3
3/2
120
2
2(1)(21)3
3x ==+=-?
．
第4章 常微分方程
例1．求微分方程
1)
(5=-dx dy xy y 的通解．
解：这是一个一阶微分方程．从形式上看，它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程
和一阶线性微分方程，但如果我们将y 看作自变量，x 看作y 的函数则有：5
y xy dy dx
=+，
这是一个一阶线性微分方程，利用通解公式可得通解：
][5
?+??
=-c dy e y e x ydy ydy
2
42248
y ce y y -=+-+．
例2．求方程0)1(=-+xdy dx xy y 的通解.
解：先改写成2y x y dx dy =-， 两边同除2
y ，得 112=--xy dx dy y ，令
y z 1=，则方程变为 1
-=+x z
dx dz ，这是一个一阶线性微分方程．
利用通解公式可得其通解为：][11
c dx e
e
z dx x
dx x
+?
-?
=?-
2
22c x x
-=，
故原方程的通解为：
222x c x
y -=
（c 为任意常数）．
注：形如()()n dy
P x y Q x y dx +=(0,1n ≠)的方程称为Bernoulli 方程，令n
y z -=1可将
其化为一阶线性微分方程来求解．
例3．求方程3
xy y dx dy
x
+=的通解．
解法一：化为Bernoulli 方程3y x y dx dy =-，令2
1y z =有：
22-=+x z dx dz ，
由通解公式得方程的通解为
)32(1]2[3
2
2
2
c x x c dx e
e
z dx
x dx
x +-=
+?-?=?-
，
所以，原方程的通解为22
321x c
x y
+-=． 解法二：方程变化为形式333)(x x y x y y x y dx dy +=+=，令
x y u =
有： 33u x u dx du x u +=+，即3
2u x dx du =，分离变量后积分得：
13
2321c x u
+=-?0322
223=++cy x y x 所以，原方程的通解为：
0322223=++cy x y x ． 例4．求方程2(12)x
y y y x e '''--=-的通解．
解：特征方程为022
=--r r ，有特征根11-=r ，22=r ，
对应齐次方程的通解为x x
e c e
c y 221+=-；
由于1=λ不是特征根，故可设方程有特解x
e b ax y )(*+=，
代入方程2(12)x
y y y x e '''--=-有：
x xe y b a x b a ax =?==?-=-+-*0,12122
所以，原方程的通解为：x x x
xe e c e
c y ++=-221．
例5．求解微分方程323sin y y y x x '''++=+．
解：特征方程为0232
=++r r ，有特征根11-=r ，22-=r ，
对应齐次方程的通解为x x
e c e
c y 221--+=； 可求得方程32y y y x '''++=有特解
432*1-
=
x y ， 方程323sin y y y x '''++=有特解x
x y sin 103
cos 109*2+-=，
所以方程323sin y y y x x '''++=+有特解：
x x x y y y sin 103
cos 109432***21+--=
+= 从而原方程的通解为：
x x x e c e c y x x sin 103
cos 109432221+--+
+=--．
第5章 空间解析几何
例1．已知两条直线方程
1123:
101x y z L ---==-，
221:
211x y z
L +-==，求过1L 且平行2L 的平面方程．
解：设所求平面π的法向量为n
，
则取
12101{1,3,1}
211
i j k
n s s =?=-=-
，
又点(1,2,3)在平面π上，故平面π的方程为：
0)3(1)2(3)1(1=-?+-?--?z y x ?320x y z -++=．
例2．设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s
，试证：
点0M 到直线L 的距离0M M s d s
?=
．
证明：如图，在直角三角形0M MP 中，显然有
00||||sin d M P M M θ==
而θ是向量0M M 与s
的夹角（或其补角），
故由
00||sin M M s M M s θ?= 可得
0M M s d s
?=
例如要求点
0(
1
,1,4)M 到直
线24
1312:
-=-=-z y x L 的距离，则利用上面的公式有
0M M s d s ?=
{1,2,0}{1,1,2}{1,1,2}2?====
例3．求直线
21101:-=
=-z y x L 绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程． 解：把L 化为参数方程112x y t z t
=??
=??=+?（t -∞<<+∞），固定t ，即得L 上一点),
21,,1(t t M +点M 到z 轴的距离为：21t d +=，点M 绕z 轴旋转得一空间圆：?
??+=+=+t z t y x 2112
22． 因t 在),(+∞-∞上变化，即知上式就是所求旋转曲面的参数方程，消去t ，即得所求旋转曲面的方程为：1)21(
2
22=--+z y x ．这是一个圆锥面方程．
例4．求过点)9,5,3(--A 且与两直线
135:23y x L z x =+??=-?，247:510y x L z x =-??=+?相交的直线方程．
解：直线L 过点)9,5,3(--A ，可设其方程为3x lt =-+，5y mt =+，9z nt =-+，由L 与21,L L 相交，故：
???-+-=+-++-=+32695395lt nt lt mt ????=-=-l n t l m 29
)3(（1）
???++-=+--+-=+10515974125lt nt lt mt ????=--=-4)5(24
)4(t l n t l m （2） 联立（1）（2）有2n l =，22m l =；
令1=l ，则22m =，2n =，故所求直线方程为
29
2253+=-=
+z y x ．
例5．（平面束）设平面通过直线111122220
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??
+++=?，则一般可设平面方程为
11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=，然后根据其它条件确定待定常数
λ．这种方法称为平面束方法．试用此方法求解下列问题：
求通过直线
10
:10x y z L x y z +--=??
-++=?且与平面:0x y z π++=垂直的平面方程． 解：根据平面束方法，可设所求平面方程为：
(1)(1)0x y z x y z λ+--+-++=
即 (1)(1)(1)(1)0x y z λλλλ++-+-++-+= 由题设，该平面与平面:0x y z π++=垂直，应有： {1,1,1}{1,1,1}0λλλ+--+?=
得1λ=-，故所求平面方程为10y z --=．
第6章 多元函数微分学
例1．求极限22
330
081lim y xy x y x y x +-+
→→
解：设θcos r x =，θsin r y =，则有222r y x =+，当0x →,0y →时，0→r ，
所以
原式33322201(cos sin )8lim (cos cos sin sin )r r r θθθθθθ→+=-+3
301cos sin 8lim 11sin 22r r θθθ→+=?-，
因0
lim 0=→r r ，331
cos sin 98141sin 22θθ
θ+≤
-，所以原式0=
例2．设??
?+=++-=vz u y z v u x 2，求u x ??,v x ??,u z ??，
解：求一阶偏导时，若变量比较多，不易区分自变量、因变量，借助全微分的形式不变性来处理比较简便． 对方程组求全微分有：
()221
2(12)21zdx z v dz dy du dx udu dv dz uz dy du vdz zdv udy dx uv dz
dv uz -+-+?=
?=-++??+???
=+++-+??=?+?
利用全微分的形式不变性有：12+-=??uz z x u ，121+=??uz x v ，12+-=
??uz v z z
u 例3．求过直线L ：???=++=--0523z y x z y x 且与曲面
16522=
+-z y x 相切的平面方程． 解：利用平面束的方法可设过直线L 的平面方程为
0)(523=+++---z y x z y x λ（λ为待定常数），即：
05)1()2()3(=--+-++z y x λλλ，其法向量为{}1,2,3--+λλλ；
又设过L 的平面与曲面165
22=
+-z y x 相切的切点坐标为),,(000z y x ，
则曲面
165
22=
+-z y x 在点),,(000z y x 处的切平面的法向量为{}1,2,200y x -，于是有
?????
????=+-=-+-++=-=--=+1650)1()2()3(112223020200000
0z y x z y x t
y x λλλλλλ?7,3==λλ
故所求平面方程为526=++z y x 或56510=++z y x ．
例4．求曲线Γ：??
?=++=++06222z y x z y x 在点)1,1,2(-P 的切线方程．
解法一：将曲线Γ化为参数形式，由???=++=++06
222z y x z y x 消去z 有32
2=++y xy x ，配方有3
)2(4322=++x
y x ，得曲线Γ的参数式：
?
??
??--=-==t t z t t y t x cos sin 3cos sin 3cos 2， （0P t π→=）
则曲线Γ在点P 的切线方向向量为
{}
000(),(),()s x t y t z t '''=
{{}
0,0,1,1=→-，
故曲线Γ在点P 的切线方程为：11
110
2-=--=+z y x ． 解法二：将曲线Γ的方程组看成隐函数，2个方程3变量，故有一个是自由量，我们选y 作为自由量，则)(y x x =，)(y z z =，即Γ的参数式为：)(y x x =，y y =，)(y z z =．由隐函数求导法，方程组对y 求导有：
2220
10y y y y x x y z z x z ?''?++?=??''++=???y y y z x z x x y
z z x -?'=??-?-?'=?
-?， 从而曲线Γ在点P 的切线方向向量
{}
{}
(2,1,1)
,1,0,1,1y y s x z -''==-
故曲线Γ在点P 的切线方程为：
11
1102--=-=+z y x 解法三：曲线Γ是两曲面的交线，则切线可看作两曲面切平面的交线．
设两曲面1π：222
(,,)6F x y z x y z =++-（0=），
1π：(,,)G x y z x y z =++（0=），
{}{}1,,2,2,2x y z n F F F x y z ==
{}4,2,2P
??→-{}2,1,1→- {}{}2,,1,1,1x y z n G G G ==
{}1,1,1P
??→
从而曲线Γ在点P 的切线方向向量为
12s n n =?
{}{}2,1,11,1,1=-?{}{}0,3,30,1,1=-→-
故曲线Γ在点P 的切线方程为：11
110
2--=
-=+z y x ． 例5．若周长为p 2的矩形绕自己的一边旋转，求所得圆柱体体积的最大值．
解：设矩形的长和宽分别为y x ,，其绕x 边旋转所成圆柱体的体积2
xy V π=，即要求函数2
xy V π=在条件p y x =+下的最大值．
令),,(λy x L 2
()xy x y p πλ=++-，则由?????=-+==+==+=00
202p y x L xy L y L y x λλπλπ，解得323p
x p y ?=????=??或
0x p y =??
=?
而驻点)0,(p 不符合题意，舍去．由实际问题可知，其最大值肯定存在，而驻点是唯一的，
故当矩形的长为p 31，宽为23p ，且绕p
31边旋转时所得圆柱体的体积最大，最大值为3
274p π．
第7章 多元函数积分学
例1．（1）求
2
22
y x
dx e
dy
-?
?； （2）计算
6
60
cos y
x
dy dx x π
π
?
?
．
解：（1）显然，由于2
y
e -的原函数不能用初等函数的形式表示， 即先对y 积分是积不出来的．
如图，由积分上、下限可知积分区域为
??
?≤≤≤≤220:y x x D ．交换积分秩序得：
2
22
y x
dx e
dy -?
?2
2
20
y
y y D
e
dxdy dy e
dx
--==????
22401
(1)2y ye dy e --==-?
（2）由于cos x
x 的原函数不能用初等函数形式表示，可交换积分次序计算
666
00cos cos x y
x x dy dx dx dy x x π
π
π=?
?
??601cos 2xdx π
==
?
例2．计算σd xe D y ??
-2
，其中D 是在第一象限内位于2
4x y =和2
9x y =之间的部分．
解：积分区域D 如图，
2
2
y y D
xe
d e
dy xdx
σ+∞--=???
2
0111()249y y y e dy +∞-=-? 20572y ye dy +∞-=?5144=
例3
．计算112111224
y y x
x
y
dy dx dy dx
+?
???
．
解：由积分上、下限画出积分区域如图，所以交换积分次序有：
1121112
2
4
y y x
x
y
dy dx dy dx +?
???
y x
D
e dxdy =??2112
y x
x
x
dx e dy
=??
1
123()8x x e e dx e =-=?
例4．求2
x e dx
+∞-?
． 解：设
2
x e dx I
+∞
-=?
，则：
2
220
()x I e dx +∞-=?
2
2
x x e dx e dx +∞+∞--=?
?
2
2
x y e dx e dy
+∞+∞--=?
?
22
2
20
x y r e
dxdy d e
rdr π
θ+∞+∞+∞---==?
?
??
2
4
4r
e π
π
+∞
-=-=
，
所以
2π
=
I
，即2
2x e dx +∞
-=
?．
例5．计算
?L
ds
x 2
，其中L 为球面2
2
2
2
R z y x =++与平面0=++z y x 的交线．
解法一：将曲线L 化为参数形式，由2
2220???=++=++z y x R z y x 消去z 有
222
2R z xy x =++，配方得：2
22)2(43R x
y x =++．
设
t R x cos 36
=
，有
t R t R y cos 66sin 2
1-
=
，t R t R z cos 66
sin 21--=，
从而ds Rdt ==；
所以，22
22
3
022cos 33L x ds R t Rdt R π
π=?=??
．
解法二：由于曲线L 关于x ，y ，z 具有轮换对称性，所以
222
L
L
L
x ds y ds z ds
==?
?? ，
2
222
1()3L L x ds x y z ds =++?? 2232
23
33L
R R ds R R ππ==?=?
第8章 级数
例1．判断级数∑∞
=22
ln
1
n n n 的收敛性．
解：
21
ln n u n n =
随n 的增大而减小且趋于0，故可考虑用Cauchy 积分判别法，
广义积分
22
2
11
1ln ln ln 2dx x x x
+∞
+∞=-=
?
收敛，所以级数∑∞=22ln 1n n n 收敛．
注：Cauchy 积分判别法：正项级数
∑∞
=1
n n
u
，若{}n u 单调减少，作函数)(x f 满足n u n f =)(，则级数∑∞
=1
n n
u
与广义积分1
()f x dx
+∞?
的收敛性相同．
例2．将函数
21
)(x x f =
展开成2-x 的幂级数． 解：若是借助x 1的展开式来考虑2
1
x 的展式，就要作一次幂级数的自乘．这非常不方便，
遇到这种情况，一般采用下述方法：
221112x dx x x =-?
111112(1)()22222212
n n n x x ∞=-=-=---+∑(13)x << 所以2221
1[]x dx x x '=? 10111212[(1)()](1)()22242n n n n n n x x n ∞∞-==--'=--=--∑∑
2
01
12(1)(1)(1)(1)()(2)422n n
n n
n n n x n n x ∞∞+==--+=-+=-∑∑(13)x << 例3．计算
2
10
x e dx
-?
（精确到0.0001）．
解：由于2
x
e -的原函数不能用初等函数表示，故不能用Newton-Leibniz 公式直接计算
2
10
x e dx
-?
的值．应用函数的幂级数展开可计算其近似值并精确到任意要求的程度．
由于2
468
2
12!3!4!x x x x e x -=-+-+-
，),(+∞-∞∈x
从而2
10x e dx
-?1111111132!53!74!95!116!137!15=-+-+-+-+??????
11111111310422161320936075600=-+-+-+-+
这是一个Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，而
5
105.1756001
-?<，因此前面7项之和具有四位有效数字，即
2
10
x e dx -?11111110.74863104221613209360≈-+-+-+≈
例4．求极限
22
2
sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→． 解：如果用L’Hospital 法则，则十分麻烦，利用Taylor 公式则比较简便．
由于0→x 时22
sin x x ，且2
2cos 1()2x x o x =-+，2221()x e x o x =++
1
22(1)x =+24411(1)
1221()22!x x o x -=+++
所以 2220
sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→2244
20222111[1()]2
28lim [11()]2x x x x o x x x x o x →+-+-+=---+ 4
40441()
1
8lim 312()
2x x o x x o x →+==--+
例5．求级数∑∞
=+--022)1()1(n n n n n 的和．
解：∑∞
=+--022)
1()1(n n n n n
10
11(1)()()22n n n n n n ∞
∞===--+-∑∑121(1)()32n
n n n ∞==+--∑， 设∑∞
=---=22
)21
)(1()(n n n x n n x S ，有 ()
S x 20
2
1[(1)()]2x
n n n n n x dx ∞
-='=--∑?
121
[()]2n n n n x ∞-='
=-∑
1021[()]2x n n n n x dx ∞-='??'=-????∑?21[()]2
n n n x ∞
='??'=-??
??∑ 234[]2(2)(2)x x x ''==++
所以∑∞
=+--0
22)1()1(n n n n n 222
(1)327S =+=．
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
大一高数试题及解答
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
大学高数试卷及答案
大学高数试卷及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是： ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限（每小题 6分, 共18分）
高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
大学高数试卷及答案
浙江农林大学2016 - 2017 学年第 一学期期中考试 课程名称： 高等数学I 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事 项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间120分钟。 题 答 :号学 要 不 :名姓 内 线 ? ?级班 业 专 :院学 题号 -一一 二二二 -三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3分, 共21分) 1 ?下列各式正确的是: 得分 A. sin x lim 1 B. x x C. lim 1 - x e D. x x 2.当 x 0时，与 f ■- x 等价的无穷小量 是: A. \/1 V x 1 B. In --------------------- x C. 1 J x 3.设 f (x)在 x a 的某邻域有定义, A.J imhfQ ) f(a)存在 叫 H h sin x lim x 0 lim 1 D. cos 、二 则它在该点处可导的一个充分条件是: B. m o H h 叫 H h 在
x 2 3x 10 2 3. 设函数f (x)= x 2 x 在点x=2处连续，则a a x 2 4. 函数f(x)—的间断点为 ___________________ . ________ sin x 5. 函数y 2x 2 lnx 的单调减区间为 _________________ . _________ 6. 设函数 y ln tan x ，贝卩 dy _____________ . _________ x a cost 7. 椭圆曲线 _________________________________ 在t —相应的点处的切线方程为 .______________________________________ y bsi nt 4 A. 0 B ? 没有 C. 2 D. 2 9 5.函数y 1 x 2 在区间［ 1,1］上应用罗尔定理 时， 所得到的中值 () A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 6.设函数 ax e f(X ) “ 2 b(1 x x 0 处处可导，那么 )x 0 : ( ) 4.函数y 3x 3 x 在区间［0,1］上的最小值是: () A. a b 1 B . a 2,b 1 C. a 0,b 1 D. a 1,b 0 7.设x a 为函数y f (x)的极值点，则下列论述正确的是 A . f '(a) 0 B f(a) 0 C f"(a) 0 D .以上都不对 、填空题(每小题3分，共21 分) 得分 1.极限lim x x 2 cos x 1 = (x sin x)2 2.极限lim n 2 2 2
关于高等数学方法与典型例题归纳
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
大学高数试卷及答案
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
大学高数试卷及标准答案
. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x
大学高等数学高数期末考试试卷及答案
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
高等数学典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是 2、平行于向量}1,2,1{a -=? 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ? ???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9 、 设 空 间 三 直 线 的 方 程 分 别 为 251214: 1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4 1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面就是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面 二、解答题
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：
安徽大学高等数学期末试卷和答案
安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。
