圆锥曲线的性质
一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：
（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距 （2）标准方程：
①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和
122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22
221x y a b
+=，其中()2220,a b b a c >>=-
②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和
122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22
221y x a b
+=，其中()2220,a b b a c >>=-
焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大
2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()22
2210x y a b a b
+=>>
（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦
② 过焦点且与长轴垂直的弦2
2b PQ a
=
说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以
22
42
002221c y b y a b a +=?=，可得20b y a =。则22b PQ a
= （5）离心率：c
e a
=
，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径
① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：12
2tan
2
PF F S b θ
=（其中12PF F θ=∠）
证明：12
12121
sin 2
PF F S PF PF F PF =
? 且2
2
2
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-
()
()2
12
121221cos PF PF PF PF F PF =+-+
()2212124421cos c a PF PF FPF ∴=-+ 222
1212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==
++ 12
212121212
112sin sin 221cos PF F b S
PF PF F PF F PF PF F =?=?+ 22121212sin tan 1cos 2F PF F PF
b b F PF =?
=+
因为12
00122PF F S
c y c y =
??=?，所以2120tan 2
F PF
b c y =?，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出 ② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大?12
PF F S 最大?0y 最大?P 为短轴顶点
（二）双曲线：
1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支
2、标准方程：
① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值
122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22
221x y a b
-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-
② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值
122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22
221y x a b
-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-
焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数
2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()22
2210,0x y a b a b
-=>>
（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称
（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：c
e a
=
，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解
出y 关于x 的直线即可。例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22
220x y a b
-=，
变形为b y x a =±
，所以b
y x a
=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线
③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系。 （6）通径：
① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段
②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，2
2b PQ a
=
（7）焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”
） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则12
2cot 2
PF F S b θ
=（其中12PF F θ=∠）
（三）抛物线：
1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线
2、抛物线的标准方程及焦点位置：
（1）焦点在x 轴正半轴：()220y px p =>，焦点坐标,02p ??
??? （2）焦点在x 轴负半轴：()220y px p =->，焦点坐标,02p ??
-
??? （3）焦点在y 轴正半轴：()220x py p =>，焦点坐标0,
2p ?? ??
? （4）焦点在y 轴负半轴：()220x py p =->，焦点坐标0,2p ??-
??
?
小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：24x y =，则焦点在y 轴上，且坐标为()0,1 3、焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2
p AF x =+
4、焦点弦长：设过抛物线()2
20y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到） 二、典型例题：
例1：已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A.
B.
C. 3
D. 5
思路：先从常系数方程入手，抛物线212y x =的焦点为()3,0，即双曲线中的3c =，所以
2
2
2
5b c a =-=，从而双曲线方程为：22145x y -=
，其渐近线方程：y =，由对
称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择20l y -=，右焦点()23,0F ，所以
2F l d -=
=
答案：A
小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A
例2： 已知双曲线()22
2210,0x y a b a
b
-=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线
()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平
行，则p =（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以p 作为核心变量，抛物线2
2x py =的焦点为0,
2p ?
?
??
?
，所以可得2p
b =，因
为22a a =?=
，所以双曲线方程为22
2418x y p
-=，可求得渐近
线方程为
y =，不妨设1y
kx =-与y
=
平行，则有k =
从相切可想到与抛物
线联立消元后的方
程0?=
：22
21202y x x x p x py
?
=-??--=??=?
，所以
2
80
p
?
?=-=
?
解得4
p=
答案：A
例3：如图，
12
,F F是椭圆()
22
122
:10
x y
C m n
m n
+=>>与双曲线()
22
222
:10,0
x y
C a b
a b
-=>>的公共焦点，将
12
,
C C的离心
率分别记为
12
,e e，点A是
12
,
C C在第一象限的公共点，若
2
C
的一条渐近线是线段
1
AF的中垂线，则
22
12
11
e e
+=（）
A. 2
B.
5
2
C.
7
2
D. 4
思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有22222
c m n a b
=-=+，所求表达式2222
22222
12
11m a m a
e e c c c
+
+=+=，本题与焦半径相关，所以考虑1212
2,2
AF AF m AF AF a
+=-=。结合
1
AF的中点与
12
F F的中点可得双曲线的渐近线
与
2
AF平行，从而
12
AF AF
⊥，所以有2222
1212
4
AF AF F F c
+==，联系上面条件可得：
()()
22
22
222
121212
1
422
2
c AF AF AF AF AF AF m a
??
=+=++-=+
??，所以22
222
12
11
2
m a
e e c
+
+==
答案：A
例4：已知椭圆()
22
122
:10
x y
C a b
a b
+=>>与双曲线
2
2
2
:1
4
y
C x-=有公共的焦点，
2
C的
一条渐近线与以
1
C的长轴为直径的圆相交于,A B两点，若
1
C恰好将线段AB三等分，则（）
A. 2
13
2
a= B. 213
a= C. 2
1
2
b= D. 22
b=
思路：因为
12
,
C C有公共焦点，所以通过
2
C
可得(
))
12
,
F F
，从而c=
的直径为2a ，所以AB 截椭圆的弦长为
23
a
。由双曲线得:2AB y x =，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于a （或b ）的方程，解方程即可 解：通过2C
可得(
))
12
,F F
，c ∴=不妨设:2AB y x =，则222222222
2242b x a y a b a b x a b y x ?+=?=?+=?
，所以x =
利用弦长公式可得122
3
d x a =-=
=
又因为222
5a b c -==
22
235a a b =-=?解得：2211212
a b ?=???
?=?? ，故选C 答案：C
例5：（2014，山东，10）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程
是22221x y a b -=，1C 与2C
2C 的渐近线方程为（ ） A.
0x = B.
0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=
思路：要想求渐近线方程，关键在,a b 的比值，所以将两个离心率均用,a b 表示，再利用乘
积为
2
即可得到,a b 关系，进而求出渐近线方程 解：设曲线12,C C 的离心率分别为12,e e
，则12c c e e a a a a ====
12e e ∴===
即
1444
4
44
3114442
a b b b a a a -??=?=?== ??? 因为双曲线的渐近线方程为：b y x a =±
，代入可得：02
y x x =±?±= 答案：A
小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中c 的求法不同，从而使得两条曲线在,a b 相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出,a b 关系
例6：椭圆()222210x y m n m n +=>>和双曲线()22
2210x y a b a b -=>>的公共焦点为12,F F ，
P 是两曲线的一个交点，那么12PF PF ?的值是（ ）
A. m a -
B. 2
2
m a - C.
2
m a
- D. 思路：所求12,PF PF 既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：122PF PF a -=，122PF PF m +=，由此联想到两个式子的完全平方公式，
进而可求出12PF PF ?，则
()
()
2
2
2212121214
PF PF PF PF PF PF m a ?
??=+--=-??
答案：B
例7：已知抛物线()2
20y px p =>的焦点F 与双曲线22
145
x y -=的右焦点重合，抛物线
的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为（ ）
A. B. 3 C. D. 4 思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标2
459c =+=，所以
()3,0F ，进而可确定抛物线方程：212y x =，以及准线方程l ：3x =-。所以()3,0K -，
设A 点横坐标为x ，则(A x ，所以()2
2
312AK
x x =--+????，
由焦半径公式可得：
32
p
AF x x =+
=+，
所以
2
2
2AK AK AF
=?=，即
()
()2
2
31223x x x ++=+，可解得：3x =
答案：B
例8：设F 为双曲线
22
1169
x y -=的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左，右两支在x 轴上方的交点分别为,M N ，则
FN FM
FA
-的值为（ ）
A.
25 B. 52 C. 54 D. 45
思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化计算，首先由,F M F N 联想到焦半径公式，设()()1122,,,M x y N x y ，则有
11MF a ex ex a
=+=--，
22NF a ex ex a
=+=+，所以
()122FN FM e x x a -=++，设(),0A m ，由双曲线可知()5,0F -，则FA 的中点
5,02m C -?? ???，圆半径52m r +=，所以圆方程为：2
2
2
5522m m x y -+????-+= ? ?????
，整理后可得：()22550x m x y m --+-=，因为FN FM -的值与()12x x +相关，所以考
虑联立圆和双曲线方程：()2222550
1169
x m x y m x y ?--+-=?
?-
=??消去y 可得：
()2
25595016x m x m ---+=，所以()1216525m x x -+=，代入FN FM -可得：()()16545584255
m m FN FM -+-=
?+=，因为5FA m =+，所以原式的值为45
答案：D
小炼有话说：本题可发现无论A 的位置如何，从选项上来看
FN FM
FA
-应该为定值，故
可以利用特殊位置，比如A 为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得
28FN FM a -==，且210FA c ==，所以
24
25
FN FM
a FA
c -=
= 例9：如图，从双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切
点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则
MO MT -的值为__________（用含,a b 的表达式表示）
思路：首先要将,MO MT 向,a b 靠拢，因为PF 与圆切于T ，连结OT ，可知OT r a ==，且FOT
为直角三角形，
OF c
=，从而
FT b
===，进而
12
M
T
F M F T P F b =-
=-，在寻找MO ，因为M 为线段FP 的中点，且由双曲线
性质得O 为'FF 的中点，所以连结'
PF ，则由中位线性质可得'1
2
OM PF =
，而'PF 恰好是另一焦半径。所以()
''111222MO MT PF PF b b PF PF ??
-=
--=-- ???
，由双曲线定义可得：'
2PF PF a -=，从而MO MT b a -=-
答案：b a -
小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件
（2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与a 相关），所以题中出现一条焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。
例10：如图，椭圆()22
2:124
x y C a a +
=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆的左右焦点分别为12,F F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ?=，则PM PN ?的值为__________
思路：本题很难直接求出,PM PN 的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得
：
,P M O M O P
r O P P N O N O P
=
-=-=
+=+，从而2
2
224PM PN r OP a OP ?=-=+-，所以只需确定2
OP 即可，设(),P x y ，即
2
2
2
OP x y =+，已知22
214
x y a +=，则需利用好126PF PF ?=，想到焦半径公式：则
12,PF a ex PF a ex
=+=-，所以
222126PF PF a e x ?=-=，
所以
2222
2
2
22222
44444x a c x y x x x a a a
-+=+-=+=+，即22222
42x y e x a +=+=-，所以6PM PN ?=
答案：6