逻辑学命题的判定与自然
推理答案
Final approval draft on November 22, 2020
第三章命题的判定与自然推理
一、用符号表示下列各复合命题的真值形式：
1．pp。
2．pq。
3．p→q(如以“不……焉……”为联结词，也可表示为“p←q”)
4．p→q。
5．(p←q) (p→q)。
二、p为假，pq 为假，pq为真，p→q为假，pq为假。
三、q的取值应为真。
四、4、5两公式取值为T。
五、各组公式的真值表分别为：
六、列出下列公式的真值表，并指出它们分别为重言式、矛盾式或协调式。
1．
2．
3．
4．
5．
以1、2
为重言4为协调式，5为
七、
明下列公式是否为重言式。
1.
〔（p→q）（r→
F T
命题变
式为重言
2．（p→q）（p→r）（p→qr）
(1) （p→q）（p→r ）→（p→qr）
T T T T TTT F T F FFF
q和r有赋值矛盾，所以，（1）式是重言式。
（2）（p→qr ）→（p→q）（p→r）
T TTTF F T T T F TF F
所有命题变元均无赋值矛盾，故（2）不是重言式。
3．（p→q）（q→r ）→（p→r）
T TT T FT F F T F F
命题变元q有赋值矛盾，故该式为重言式。
八、用命题的自然推理，证明下列公式是否为有效式（为系统中的定理）。
1．pp→p
证明：①pp 假设
②p①据规则5
③pp→p①、②据规则(3)，消去假设①
2．(p→q) q→p
证明：①p 假设
②(p→q) q 假设
③p→q ②据规则(5)
④q①、③据规则(2)
⑤q②据规则(5)
⑥qq ④、⑤据规则(4)
⑦p ①、⑥据规则(8)，消去假设①
⑧(p→q) q→p ②、⑦据规则(3)，消去假设②
3．(p→q) → (q→p)
证明：①p 假设
②p→q 假设
③q 假设
④q ①、②据规则(2)
⑤qq ③、④据规则(4)
⑥p①、⑤据规则(8)，消去假设①
⑦q→p ③、⑥据规则(3)，消去假设③
⑧(p→q) → (q→p) ②、⑦据规则(3)，消去假设②4．(q→r )→(pq→pr)
证明：①pq 假设
②p 假设
③q 假设
④q→r 假设
⑤pr②据规则(6)
⑥r ③、④据规则(2)
⑦pr⑥据规则(6)
⑧pr①、②、⑤、③、⑦据规则(7)，消去假设①
⑨pq→pr ①、⑧据规则(3)，消去假设①
⑩(q→r)→(pq→pr) ④、⑨据规则(3)，消去假设④5．(p→qr)(p→q)(p→r)
证明：①p→qr假设
②p假设
③qr ①、②据规则(2)
④q ③据规则(5)
⑤p→q②、④据规则(3)，消去假设②
⑥p假设
⑦qr①、⑥据规则(2)
⑧r ⑦据规则(5)
⑨p→r⑥、⑧据规则(3)、消去假设⑥
⑩(p→q)(p→r) ⑤、⑨据规则(4)
○11(p→qr)→(p→q)(p→r) ①、⑩据规则(3)，消去假设①○12(p→q)(p→r)假设
○13p→q ○12据规则(5)
○14p→r ○12据规则(5)
○15 p 假设
○16q ○13、○15据规则(2)
○17r○14、○15据规则(2)
○18 qr○16、○17据规则(4)
○19p→qr ○15、○18据规则(3)
○20(p→q)(p→r)→(p→qr) ○12、○19据规则(3)，消去假设○12○21(p→qr)(p→q)(p→r) ○11、○20据规则(10)