2.7探索勾股定理（附答案）
专题一勾股定理的折叠问题
1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，
折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的
G点，求∠DKG的度数．
3. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF
绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．
（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是____________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________，试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）
专题二勾股定理的证明
4. 在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直
角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．
问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）；
问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）；
问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．
5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a
和b，斜边长为c；图②中两直角均边长为c．请你动手，将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形．
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．
八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形
教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A
八年级数学上册全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使 111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ?；第二次操作：分别 延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ?，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作. 【答案】4 【解析】 【分析】 连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得 111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作： 11177A B C ABC S S ??==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ??===＜ 2020……直至第四次操作4443334 772401A B C A B C S S ??===＞2020，即可得出结论． 【详解】 解：连接111,,AC B A C B ∵111,,A B AB B C BC C A CA === 根据等底同高可得： 111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S S S S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ====== ∴第一次操作：11177A B C ABC S S ??==＜2020
如何提高高中生的数学计算能力 现在的学生运算能力很差,几乎是”有算就有错”。国家新课改强调了学生的逻辑思维能力与应用能力，而弱化了对学生运算能力的关注，事实上，这对学生后期学习大学里的高级课程是不利的。在当下环境中，我们只能利用有限的机会尽量提升学生的运算能力。那么，在教学中，我们该如何提高高中生的这方面能力呢？ 一、要遵循几个原则： 1、自我培养原则。运算能力提高与其他一些能力不同，主要不是来自于老师的教导，而是学生本人的自我培养。因为“算法”需要学生根据自己的经验来建造自己的思维方式，训练自己的思维能力。当然，老师可以帮助你优化其中一些计算过程，但如果讲的内容没有学生配合的练习，无法产生熟练准确地“结果输出”。 2、循序渐进原则。循序渐进指的是在学习过程中，“进”要受到“序”的制约，也就是由易入难，且逻辑上环环相扣，问题上逐渐深入，从“量变”过度到“质变”，这是由学生的认识活动规律所决定的。 3、模仿与创新相结合的原则。重视模仿。不仅是一个人学会各种东西的基本方法，更是高中生书写习惯，学习习惯形成的重要方式之一。学生通过模仿知识与技能，可以形成最初的规范和行为方式。但数学学习又不能仅仅停留在模仿上，因为它重视对本质规律的探究，重视灵活有效地解决问题。因此，必须力求创新，这种创新即包括探求新的知识，新的理论与方法，也包括学生根据自己的经验，对已有的数学知识进行“重构”，发现一些有趣的规律与结论，改进一些
解决问题的方法，甚至创造出一些阐释与解决实际问题的模式。 4、及时反馈原则。重复刺激，归纳与首尾呼应有助于加深一些容易忘记的学生的学习效果。同样的，及时反馈是一个学习中非常重要的一个原则，按照现代控制论的观点：一个完整的学习过程是由学习者吸收信息、输出信息、反馈信息和评价信息四个方面组成。该系统在运作过程中，必须要有反馈信息，形成互动，以便对学习进行有效的控制和调节，避免趋于盲目状态。 二、对应具体要求的做法是： 1、抓好审题训练： 审题训练能培养学生最初的定向能力，增进运算方向的正确性。要做一个运算问题，首先要做到审视性读题、多角度观察、综合性思考，以确定运算方向，过好审题关。 （1）教授数学概念时，应当让学生从语法和语义两个方面学习，分别强化关键词提取与理解，并经常对概念、图像进行书面或口头的表达； （2）拿到题目，首先细致观察，分析题目特点，分析表达式特点，确定计算方向，有目的的运算。特殊题目要牢牢记住特征，采用解题技巧。 2、抓好心理与思维灵活性训练 抓好心理调节，抓好思维灵活性训练，可以促进计算的灵活性。心理与思维灵活性训练的核心是识别语言文字、符号语言、图形语言、代数表达式等各种表达方式的本质，并迅速抓住计算的主旨与实质，以迅速联想，形成策略，提高学生的洞察能力。
课题 探索勾股定理 教材 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 授课教师: 刘洋 教学目标 1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经 历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点 重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。 教具准备 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程 一、创设情境，引入新课 （师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。 （设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。） 二、师生互动，探究新知 活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？ （生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示） （过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C，“数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。 活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？ （师）我们用数方格子的方法能算出正方形C的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割” 法） 大家想一想还有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得出结论吗？
高中数学计算能力训练分数计算 1. 3/7 × 49/9 - 4/3 2. 8/9 × 15/36 + 1/27 3. 12× 5/6 –2/9 ×3 4. 8× 5/4 + 1/4 5. 6÷ 3/8 –3/8 ÷6 6. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 7. 5/2 -（ 3/2 + 4/5 ） 8. 7/8 + （ 1/8 + 1/9 ） 9. 9 × 5/6 + 5/6 10. 3/4 × 8/9 - 1/3 11. 7 × 5/49 + 3/14 12. 6 ×（ 1/2 + 2/3 ）求X 1. 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 2. 11x+64-2x=100-9x 3. 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 13. 11x+64-2x=100-9x 14. 14.59+x-25.31=0 24. 1/ 50x+10=60 25. 2/ 60x-30=20 16．x2-2xy-35y2=(x-7y)( )． 17．2x2-7x-15=(x-5)( )． 23．6+11a-35a2=( )( )． 25．-1+y+20y2=( )( )． 28．x2+( )-28y2=(x+7y)(x-4y)． 29．x2+( )-21y2=(x-7y)(x+3y)． 30．kx2+5x-6=(3x-2)( )，k=______． 36．20x2-43xy+m=(4x-7y)(5x+n)，则m=_____，n=_____． 38．x4-4x3+4x2-1=_______．
1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1 lg )2 (lg 2 3++. 2、解方程：lg 2 (x ＋10)－lg(x ＋10)3 =4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 5、解方程：x )8 1(=128. 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +· .10 log 1 8 8、计算：(1)lg 2 5+lg2·lg50; (2)(log 4 3+log 8 3)(log 3 2+log 9 2). 9、求函数1 21log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 12 27=a,求log 616. 12、已知函数f(x)=3 21121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2 ＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数.
湘教版八年级上册数学全册教案
八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章：
一、填空题 1、设 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题
) 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16 3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ) A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( ) A.5种 B. 6种 C. 7种 D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4 1 31，则△ABC 中是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）． A .x ＞1 B .x ＜1 C .x ＞－2 D .x ＜－2 k 1x ＋b
提高计算能力 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、 参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊 与一般、类比、归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思 想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、
处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 在学习数学方面，计算能力的重要性不言而喻。高考中，计算能力的好坏可以说决定着考试的成败。然而，提高计算能力又决非易事。如何解决这一困扰众多考生的大难题呢？下面，我将从自己高三的经历出发，谈一点心得体会，希望能对大家有所帮助。 首先，同学们要有信心去挑战这一难题，别总是想着，“我数学差，提高不了。”计算能力强绝非尖子生的专利，只要肯下工夫，谁都能在这方面有所突破。其次，要克服浮躁的心态。计算能力的提高不可能一蹴而就，同学们要有打持久战的准备。沉稳、冷静、细致乃是攻克这一难关的核心要诀！另外，一定要能吃苦，空有三分钟热情的人是注定啃不下计算难关的，只有付出别人无法付出的努力，吃别人吃不了的苦，成功的大门才有可能为你敞开。总之，自信、耐心、刻苦市提高计算能力的必要条件！请同学们务必努力做到。 给大家提供一些解答计算类题的方法，希望对大家有所帮助。
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 （导学模式） 学科：； 任课班级：； 任课教师：； 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立） 四、想一想 这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？ 五、巩固练习 1、错例辨析： △ABC的两边为3和4，求第三边 解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。 （2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +，题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理（二） 教学目标： 1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点： 重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点：用面积证勾股定理 教学过程
王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”！快人 一步，高二高三成优势！ 每一年我们都会收到很多高一学生的求助，他们刚入高中就被数学吓到了，抱怨数学难，不知道数学怎么学？ 为什么会这样呢？ 因为，高中数学和初中数学存在本质的差别，很多同学初中时，只要在数学考试前刷题补习就能取得很好的成绩，但是到了高中，这一招就根本没用了！ 初中时名列前茅，到了高中成绩大幅下滑，这种落差打击了很多同学的自信。刚入高一，千万不能输在起点，否则高二高三会非常吃力辛苦。 王总结数学《高一逆袭培优课程》就是你不被落下，超越同伴的秘密武器。 《高一逆袭培优课程》针对高一学生精选课程内容：高一同步课程+应试秒杀技巧，高考之前无限次观看。 在王总结数学《高一逆袭培优》课程中，包括了高一必修课程的所有重难点，还有总结好了的考试常考知识点和题型。这些都能帮助学生打牢基础知识，让学生树立数学信心，在高一时拿下高分，在高二高三时学习游刃有余。 里面还包括了应试模型秒杀技巧，让学生能在考试中达到用时最短，准确率高，得分高的效果。 王总结数学《高一逆袭培优班》由高考数学应试专家王总结
老师亲自授课，985高校毕业的答疑老师全程跟踪督促保证授课质量！ 课下还有多重保障障，为孩子的成绩保驾护航！ 王总结数学就是采取的这样的革命课程体系，很多同学的成绩都在这样的保障之下得到提升，如此也在万千学生和家长之中收获了良好的口碑！ 我们为什么一定要在高一时学好数学拿下高分？ 因为无论是整个高中最重要的学习版块——基本初等函数，还是最让人头疼的高考必考分——数列，它们都集中在高一的课程中，如果等到高三再补，无疑增加了负担。正所谓“磨刀不误砍柴工”。 王总结数学《高一逆袭培优》课程，一直以来备受家长学生的欢迎肯定，提分效果非常明显，每一年的报名也是非常火爆的。
八年级数学上册《探索勾股定理》教案 八年级数学上册《探索勾股定理》教案 一、教学目标： 知识与技能目标： 1、了解勾股定理的化背景，体验勾股定理的探索过程，学习利用拼图验证勾股定理的方法。 2、会利用勾股定理解决生活当中的实际问题。 过程与方法目标： 在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。 1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。 情感与态度目标： 1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久化的情感，激励学生奋发学习。 2、在探索勾股定理的过程中，培养合作意识和探索精神，以及严谨的数学学习态度。体会勾股定理的应用价值。 二、教学重、难点
重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用。 难点：理解勾股定理的推导过程。 关键：通过网格拼图的办法探索勾股定理的证明过程，理解其内涵。 三、教学准备： 制作投影幻灯片，网格图，设计好拼图（用纸片制作）。 四、教学方法： 本节课采用情境导入法，探究发现法教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。 五、教学程序 一、创设情境，导入新课 （显示投影片1、2） 小明现在遇到难题： 1、大风将学校的一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。(如图)现在决定从断裂处将旗杆折断，需要划出一个安全警戒区域，想请小明确定这个安全区域的半径至少是多少米，你能帮帮他吗？ 2、小明妈妈买了一部29英寸（约为74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？
八年级培优试卷 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤ 8
湘教版八年级上册数学教案（全套） 八年级（上）数学科计划 一、指导思想 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他学科提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；
应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。 二、学生情况分析。 本期任教八年级数学，共有学生67人。2010年上期学生总体来看，成绩较差。学生到八年级对学习数学的兴趣表现为：基础好的同学学习兴趣大，进取心强，学习自觉主动；而基础较差的同学学习兴趣不浓，上课爱走神，参与意识弱，不愿动脑筋，对自己缺乏信心；处于中等成绩的学生学习缺乏主动，需要不时鞭策、激励。八年级的学生处于一个认为自己已经长大了，有叛逆心理，自尊心强，初步展露自己个性的时期。 学生学习基础分析 七年级上学期学习了有理数，这学期将学习无理数，有理数和无理数通称实数；在七年级上学期学习了用字母表示数，这学期将学习用字母表示变量，学习用来描述现实世界中一些量之间确定性依赖关系的数学模型――函数，着重学习描述均匀变化现象的数学模型――一次函数；在七年级下学期学习了平移和轴反射，这学期将学习旋转，并且运用平移、轴
专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式：□ 01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□ 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 2．等比数列 (1)等比数列的通项公式：□ 01a n ＝a 1q －＝a m q －. (2)等比中项公式：□ 02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □ 03S n ＝??? na 1(q ＝1)， a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1) . 3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k □ 01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ＋a n ＝2a p . (2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□ 03等差数列． (3)等差数列的“依次每m 项的和”即S m □04S 2m －S m ，□ 05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列．
2020年初中数学八年级上册《探索勾股定 理》精品版
北师大版初中数学八年级上册《探索勾股定理》精品教案 【学情分析】 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 【教学目标】 （一）知识与技能 掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割、补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 （二）过程与方法 通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 （三）情感态度与价值观 通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美和探究之趣。 【教学重点】用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 【教学难点】计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 【教学方法】 教法：选择引导探索法，采用“问题情境→建立模型→解释、应用与拓展”的模式进行教学。 学法：自主探索—合作交流的研讨式学习，乐于创新—参与竞争的积极性学习。 【课前准备】 为了更好地体现本节课课堂评价的主题，课前将全班学生划分为6个小组，每个小组的同学推举一位组长和副组长，在黑板上展示出以组长名字划分的6个小组的竞技台，由班长和数学课代表一起完成本节课的记分任务。另外，老师加以说明，本节课同学们积极参与课堂评价，我们将评选出1～2个优胜小组获得老师准备的奖品，评选出5～6位表现突出的同学获得老师赠与的礼物。 【教学过程】 （一）故事引入，引发思考
高中数学计算题专项练习一
高中数学计算题专项练习一 一．解答题（共30小题） 1．（Ⅰ）求值：； （Ⅰ）解关于x的方程． 2．（1）若=3，求的值； （2）计算的值． 3．已知，b=（log43+log83）（log32+log92），求a+2b的值． 4．化简或计算： （1）（）﹣[3×（）0]﹣1﹣[81﹣0.25+（3）]﹣10×0.027； （2）． 5．计算的值． 6．求下列各式的值． （1） （2）已知x+x﹣1=3，求式子x2+x﹣2的值． 7．（文）（1）若﹣2x2+5x﹣2＞0，化简： （2）求关于x的不等式（k2﹣2k+）x＜（k2﹣2k+）1ˉx的解集．
8．化简或求值： （1）3a b（﹣4a b）÷（﹣3a b）； （2）． 9．计算： （1）； （2）（lg8+lg1000）lg5+3（lg2）2+lg6﹣1+lg0.006． 10．计算 （1） （2）． 11．计算（1） （2）． 12．解方程：log2（x﹣3）﹣=2． 13．计算下列各式 （Ⅰ）lg24﹣（lg3+lg4）+lg5 （Ⅰ）． 14．求下列各式的值： （1） （2）． 15．（1）计算 （2）若xlog34=1，求4x+4﹣x的值． 16．求值：．17．计算下列各式的值
（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.25 （2）lg25+lg5?lg4+lg22． 18．求值：+．19．（1）已知a＞b＞1且，求log a b﹣log b a的值．（2）求的值． 20．计算（1）（2）（lg5）2+lg2×lg50 21．不用计算器计算：． 22．计算下列各题 （1）； （2）． 23．解下列方程： （1）lg（x﹣1）+lg（x﹣2）=lg（x+2）； （2）2?（log3x）2﹣log3x﹣1=0． 24．求值：（1） （2）2log525﹣3log264． 25．化简、求值下列各式： （1）?（﹣3）÷； （2）（注：lg2+lg5=1）． 26．计算下列各式 （1）；（2）．
直角三角形全等的判定 濮阳县文留镇中心校袁轩 学习目标 1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。 学习重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 学习难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 学习过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、判定两个三角形全等的方法：、、、。 2、如图，Rt△ABC中，直角边是、， 斜边是。 3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全 等” ），根据（用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填 “全等”或“不全等” ），根据（用简写
法） （3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等” ），根据（用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等” ），根据（用简写法） Ⅱ．导入新课 （一）探索练习：（动手操作画一画）任意画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，再画一个 Rt△A′C′B′使∠C﹦∠C′，B′C′﹦BC，A′B′﹦AB （1）：你能试着画出来吗？与桌友交流一下。 按步骤作图： ①画∠MC′N=90° ②在射线C′M上取B′C′=BC ③以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ ④连接A′B′ （2）：把画好的Rt△A′C′B′剪下来放到Rt△ACB上，它们全等吗？是否重合？你能发现什么规律？与同桌交流一下。 （3）、从中你发现了什么？ 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ） （二）巩固练习： 1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高， 则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法）
高一年段数学培优教材第四讲 三角函数 一、基础知识： 1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2 x k k Z π π=+ ∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈； cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2 k k Z π π+ ∈ tan (,)2 y x x k k Z π π=≠+ ∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形. 2． 求三角函数最值的常用方法： ① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值. ② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b y c x d +=+）可利用正弦函数的有界性来求. ④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用： 1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3 α= 时，)f α=_________________ 2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________ 3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________ 4． 函数5cos 23sin ,[,]63 y x x x ππ =+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________ 6． 函数sin (0)2cos x y x x π= <<+的最大值是_________________ 7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4 y a bx π =+ 的最小正周期. 8． 已知函数2 ()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0, ]2 π ，值域是[5,1]-，求,a b 的值. 9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8 x π =- 对称，求a 的值. 10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1 3 x = 时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123 [,]44 上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由. 11．已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π 上是单调函数，求,?ω的值. 12．已知定义在区间2[, ]3 ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当2[, ]6 3 x π π∈- 时，函数 ()s i n ()(0, 0,) 22 f x A x A ππ ω?ω?=+>>-<< ， 其图象如图所示. （1）求函数()y f x =在2[, ]3 ππ-的表达式； x