平面图形的认识
济宁学院附属中学 李涛
一.线段，射线，直线
2.点、直线、射线和线段的表示：在几何里，我们常用字母表示图形。与图形联系
（1）一个点可以用一个大写字母表示，如点A 。（2）一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l ,或者直线AB 。（3）一条射线可以用用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），射线AB 。（4）一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l ,线段AB
注：（1）射线 确定射线就看端点和延伸方向。（1）射线AB 与射线BA 不是同一条射线。
（2）端点一样并且延伸方向相同的射线是同一条射线。射线可以
3.
直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（应用）
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）两条不同的直线至多有一个公共点。
考点：数线段、射线、直线条数？
方法规律：
补充：点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
4.线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（应用）
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段上有无穷多个点。（直线、射线也是）
（4）线段和差关系（等量关系）。
尺规作图：已知线段a 、b （如图），作出线段AB ，使AB ＝2a －b
结合图形：
重点（5）线段的中点：
点M 把线段AB 分成相等的两条相等的线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。
∵M 是线段AB 的中点
∴
二. 角
1.角定义：（静止观点）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。
（动态观点）角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。（联想）
M A B
2.直角平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边垂直时叫直角（90°）。终边继续旋转，成一条直线时，所形成的角叫做平角（180°）。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角（360°）。
3.角的表示：
①万能法，用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD ，∠BAE ，∠CAE 等。，注意顶点写中间，边上的字母写在两侧。。②用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。在图形应标注.③用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。④特殊法，用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B ，∠C 等。 考点：用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°规律：
4.角的度量及换算
1）角的度量规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，
2）角的单位换算 考点：整体变换：1.25°= ′= ″6000″= ′= °
不同形式变换：52.26°= ° ′ 〃34°20′= 度35°20′18〃= °
5.角的性质
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较。 （3）角和线段一样可以参与运算。
（3）角的和差关系
结合图形：
考点：钟面角规律
重点（4）角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
∵OB 平分∠AOC
∴
补充了解:余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为∵∠α+∠β=90°，∴∠α与∠β互余；反过来，∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为∵∠α+∠β=180°，∴∠α与∠β互补；反过来∵∠α与∠β互补，∴∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
三.多边形与圆
多边形
1.多边形定义：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。
1°=60’，1’=60”
说明：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角也叫角。
2.考点：对角线：连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
规律（掌握推倒方法）：过n边形一个顶点有（n-3）条对角线
· n边形共有n×(n-3)÷2个对角线
· n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形
3.分类：多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，
4.（特殊的多边形）正多边形：正多边形各边相等且各内角相等。
圆
1.定义：（静止定义）在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。（运动定义）在同一平面内，线段OA绕固定的端点O旋转一周，另一个端点A走过的路径，叫圆。
这个固定的端点叫做圆的圆心。线段OA叫半径。图形一周的长度，就是圆的周长
2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r（radius）。
3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d（diameter）。直径所在的直线是圆的对称轴。
4 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
圆的周长公式
圆的面积公式
5扇形由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做扇形（sector）。
6 顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle）。
7 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母π表示，π=3.14159265……计算时通常取3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍！
考点：在圆中扇形所对圆心角的求法
基本公式：
扇形面积求法：
《图形的认识》教学设计
《图形的认识》教学设计 【教学目标】 1.让学生在现实情境中梳理旧知，复习小学阶段学过的平面图形、立体图形的概念，掌握各种图形的特点以及各种图形之间的联系，从而加深对知识的理解。 2.通过知识整理，建立初步的空间观念，发展思维能力。培养学生主动整理知识的意识，注重让学生学会自己复习的方法。 3.促进认知策略发展，提高解决问题的能力。感受数学与生活的紧密联系，体验数学学习的乐趣。 【教学重点】在回顾整理的过程中完善知识结构，形成知识网络。 【教学难点】利用平面图形、立体图形的有关知识解决简单的实际问题。 【教具准备】多媒体课件、练习纸、平面图形卡片 【教学过程】 一、创设情境，引领回顾 谈话：大家回忆一下，小学阶段我们学过的平面图形和立体图形有哪些？ 学生会说：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、长方体、正方体、圆柱、圆锥。 谈话：其他小组有没有想补充的？其他小组补充完善。 学生可能回答：直线、射线、线段、角。 根据学生回答，教师课件出示。 同学们这节课我们一起来整理和复习平面图形和立体图形的有关知识。（板书：图形的认识整理与复习）。 谈话：课前我已经让大家自主梳理了相关知识，下面请同学们以小组为单位进行交流，老师提几个小小的要求：（课件出示交流要求） 回顾整理要求： 1.小组合作，对平面图形的相关知识进行系统地回顾与整理。
2.把整理的结果用表格、流程图、树状图等自己喜欢的方式表示出来。 【设计意图】通过小组交流充分调动学生参与学习的积极性，在学生的自主活动中对本单元知识进行系统地整理。 二、梳理归网，引导建构 （一）梳理平面图形的知识 1.梳理知识 （1）复习平面图形的概念、特点、周长、面积计算方法 谈话：我们先来整理平面图形的有关知识吧！刚才同学们已经在小组内进行了交流，哪个小组愿意把你们整理的内容与大家分享一下？ 展示交流。学生在汇报的过程中，教师引导学生交流各种图形的特点以及周长、面积计算方法。 学生可能出现用网络图或表格的形式进行整理： 网络图： 谈话：其他小组还有不同的整理形式吗？ 表格： （2）复习直线、射线、线段以及同一平面内两条直线的位置关系 谈话：评价一下这个小组整理得怎么样？引导学生评价。对于这个小组的整理，其他小组有没有想补充的？其他小组补充完善。 学生可能回答：直线、射线、线段以及同一平面内两条直线的位置关系。 谈话：直线、射线和线段之间有什么区别和联系？根据学生回答，梳理直线、射线和线段的特征。
（易错题精选）初中数学函数之平面直角坐标系难题汇编附答案 一、选择题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为( ) A．(-1，1) B．(-1，-1) C．(1，1) D．(1，-1) 【答案】D 【解析】 【详解】 解：根据第四象限的坐标特征，易得小手盖住的点的横坐标为正，纵坐标为负，选项D符合此特征， 故选：D 2．若点P(x，y)在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是( ) A．(-2，3) B．(-2，-3) C．(2，-3) D．(2，3) 【答案】B 【解析】【分析】根据点P到x轴的距离为3，则这一点的纵坐标是3或-3，到y轴的距离为2，那么它的横坐标是2或-2，再根据点P所处的象限即可确定点P的坐标． 【详解】∵点P到x轴的距离为3， ∴点的纵坐标是3或-3， ∵点P到y轴的距离为2， ∴点的横坐标是2或-2， 又∵点P在第三象限， ∴点P的坐标为：（-2，-3）， 故选B. 【点睛】本题考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 3．在平面直角坐标系内，若点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，那么m的取值范围是 （） A．m＞1 B．m＞3 C．m＜1 D．1＜m＜3 【答案】B 【解析】 【分析】
由第二象限点的横坐标为负数、纵坐标为正数得出关于m 的不等式组，解之可得答案． 【详解】 ∵点P （3﹣m ，m ﹣1）在第二象限， ∴3-010m m ??-?＜① ＞② ， 解不等式①，得：m ＞3， 解不等式②，得：m ＞1， 则m ＞3， 故选：B ． 【点睛】 本题主要考查象限内点的坐标符号特点及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．如图，动点P 从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( ) A ．()1,4 B ．()5,0 C ．()7,4 D ．()8,3 【答案】C 【解析】 【分析】 理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可. 【详解】 如图， 经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2018÷6=336…2，
在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A ,0),,(≠-a a a 点B ),(c b ……, ———初中七年级数学 题目: 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A ,0),,(≠-a a a 点B ),(c b c b a ,,满足???-=---=--4 532132c b a c b a （1）若,a a <-,则点A 在第 象限 （2）若 4-≥c b ,且c 为正整数,求点A 的坐标 （3）若点C 是直角坐标系内的一点,连接AB,OC,若AB ∥OC,且AB=OC, 则C 点坐标是 . 解： （1）— 由于,a a <- ∴A 在第二象限 （2） 由题意解得? ??--=-=25c b c a 又4-≥c b , 2--=c b 42-≥--∴c c c ≥∴1 且c 为正整数, ∴1=c ∴???-=-=3 4b a ∴A 点坐标为(4,-4) （3） 分析: 若点C 是直角坐标系内的一点,连接AB,OC,若AB ∥OC,且AB=OC, 按题意AB ∥OC,且AB=OC ，其实C 点坐标可理解为,OC 线段是将AB 线段平移,而A 点和B 点坐标分别移至O 点后形成两线段端点的坐标。
故该C点就会在两个象限中: (甲),其中一点是把B点坐标移到直角坐标系的原点,,此时A点也按B点向右和向下移相同距离,即就是此时的C点坐标: 把B点坐标(-3,1)向右移动3个单位,向下移1个单位即到原点O,而A点坐标也按B点坐标移相同距离,即(4+3,-4-1)这就是此时的C点坐标为(7,-5); (乙),另一点是把A点坐标移到直角坐标系的原点,,此时B点也按A点向左和向上移相同距离,即就是此时的C点坐标: 把A点坐标(4.-4)向左移动4个单位,向上移4个单位即到原点O,而A点坐标也按B点坐标移相同距离,即(-3-4,1+4)这就是此时的C点坐标为(-7,5); 解: C点坐标为(7,-5)和(-7,5) 在下图看更明了:
第七章 《平面直角坐标系》知识点总结 一、有序数对： 1、定义：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作（a ，b ）； 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响。 3、坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和有序实数对（b a ,）一一对应。 二、平面直角坐标系 1、两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x 轴或横轴，取向右为正方向； 竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向； 两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点 2、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ； 3、象限：坐标轴上的点不属于任何象限 第一象限：x>0，y>0 第二象限：x<0，y>0 第三象限：x<0，y<0 第四象限：x>0，y<0 横坐标轴上的点：（x ，0） 。在x 轴的负半轴上时，x<0；在x 轴的正半轴 上时，x>0 纵坐标轴上的点：（0，y ） 。在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴 上时，y>0 三、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ； b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ； 四、各象限的角平分线上的点的坐标特点： X Y A B m X Y C D n
1) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等，mn>0； 2) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则0m n +=，即横、纵坐标互为相反数；mn<0 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 五、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x 轴对称关于原点对称 六、用坐标表示平移：见下图 七、点到坐标轴的距离： 点到x 轴的距离=纵坐标的绝对值； 点到y 轴的距离=横坐标的绝对值。 即A(x,y),到x 轴的距离=|y|,到y 轴的距离=|x| 二、经典例题 知识点、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 P （x ，y ） P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ） P （x ，y ＋a ） 向上平移a 个单位向下平移a 个单位向右平移a 个单位向左平移a 个单位X y P m n O y P m n O X X y P 1P n n - m O X y P 2P m m - n O X y P 3P m m - n O n -
第四章图形的初步认识 ?知识框架结构图? 第一部分：生活中的立体图形 一、重难点梳理 重点基本图形的认识与分辨 难点能处理表示特别意义的数的代数式 二、知识点梳理 知识点一、常见的几何体：柱体、锥体、球体 柱体：柱体上下有两个底面，这两个底面的大小相同，且互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围城的几何体叫做棱柱。两个底面是圆，侧面是曲面的几何体叫做圆柱。 圆柱四棱柱三棱柱六棱柱
锥体：有一个面是多边形，其余各面由一个公共点的三角形组成的几何体叫做棱锥，棱锥根据棱数可分为三棱锥，四棱锥等。以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边绕旋转轴旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 圆锥三棱锥四棱锥球体 球体：半圆以它的直径所在的直线为旋转轴旋转，所围成的曲面围成的的几何体叫做球体。 要点诠释： （1）柱体从上至下形状一致是其区别与其他几何体的重要特征；而锥体从上至下形状不一致。柱体和锥体还可以从底面上来区分，柱体有两个底面，而锥体只有一个底面。 （2）圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆。侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，侧面是四边形。 （3）球体与圆不同，球体是立体图形，而圆是平面图形。 1.如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。 图1 解：（1）①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。 举一反三： 1.如图下所示，写出图中各立体图形的名称。 解：①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。
知识点二、多面体 由平的面围成的立体图形称为多面体。 根据围成多面体的平面图形的个数，可把多面体分为四面体、八面体、十二面体等。 要点诠释： （1）多面体的各面都是平的。 （2）棱柱、棱锥是多面体，而圆锥、球体都不是多面体。 2.下列几何体中，不是多面体的是（ C ） A．四棱柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．六棱锥 举一反三： 第二部分：立体图形的视图 一、重难点梳理 重点简单识别物体的三视图，会画简单组合体的三视图 难点由三视图描绘物体的形状 二、知识点梳理 知识点一、认识三视图 (1)三视图法：从正面、上面和侧面（左面和右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图。这样就把一个物体转化为平面的图形。 （2）从立体图形的正面看到的图形叫做主视图；从上面看到图形叫做俯视图；从侧面看到的图形叫做视图，依观擦方向不同，有左视图、右视图。通常将主视图、俯视图与左视图称作一个物体的三视图。 要点诠释： 三视图都是平面图形，与物体的摆放有关。同一物体，不同的摆放会出现不同的视图。所以要想反映物体的总体形象，就要多角度观擦。 3.如图所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。 图3 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 举一反三： 2.如图是一个圆柱体，请指出它的三视图。
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题） 一、坐标与面积： 【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD. 图2 （1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段； （2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；
（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由； 【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACP ABC S S =V V ； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ ABC S S =V V ． 【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y -1)2＝4 和圆C 2：(x －4)2＋(y -5)2＝4 （1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程 （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标. 解：（1）由于直线x ＝4与圆C 1不相交； ∴ 直线l 的斜率存在，设l 方程为：y ＝k (x －4) 圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∵ l 被⊙C 1截得的弦长为23 ∴ d ＝22)3(2-＝1 d ＝21| )43(1|k k +---从而k (24k ＋7)＝0即k ＝0或k ＝－24 7 ∴直线l 的方程为：y ＝0或7x ＋24y －28＝0 （2）设点P （a , b ）满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ), k ≠0 则直线l 2方程为：y －b ＝－k 1(x －a ) ∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长 相等， ∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等 即21| )3(1|k b a k +----＝211|)4(15|k b a k +--+ 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk | ∴1＋3k ＋ak －b ＝±（5k ＋4－a －bk ）即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5 因k 的取值有无穷多个，所以???=+-=-+0302a b b a 或???=-+=+-0508b a b a 解得???????-==2125b a 或??? ????=-=21323b a 这样的点只可能是点P 1(25, －21)或点P 2(－23, 2 13)
平面直角坐标系知识点归纳 1 、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2 、 坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对 （ a,b ） 一一对应；其中， a 为横坐标， b 为纵坐标坐标； 3 、 x 轴上的点，纵坐标等于 0 ； y 轴上的点，横坐标等于 0 ； Y 坐标轴上的点 不属于 任何象限； b P(a,b) 4 、四个象限的点的坐标具有如下特征： 1 象限 横坐标 x 纵坐标 y -3 -2 -1 0 1 a x -1 第一象限 正 正 -2 第二象限 负 正 -3 第三象限 负 负 第四象限 正 负 小结：（ 1 ）点 P （ x, y ）所在的象限 横、纵坐标 x 、 y 的取值的正负性； （ 2 ）点 P （ x, y ）所在的数轴 横、纵坐标 x 、 y 中必有一数为零； y 5 、在平面直角坐标系中，已知点 P (a,b) ，则 a 点 P 到 x 轴的距离为 b P （ a, b ） （1 ） b ； （ 2 ）点 P 到 y 轴的距离为 a ； （3 ） 点 P 到原点 O 的距离为 PO ＝ a 2 b 2 b 6 、平行直线上的点的坐标特征： O a x a) 在与 x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； Y A B 点 A 、 B 的纵坐标都等于 m ； m X b) 在与 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； Y C 点 C 、 D 的横坐标都等于 n ； n D X
六年级下册《图形的认识》教学设计 六年级下册《图形的认识》教学设计 教学内容：北师版小学数学第十二册第89页：图形的认识 教学目标： 1. 系统整理学过的图形，沟通各种图形间的联系，体会“点、线、面、体”之间的关系，构建各种图形之间的关系网络。 2．复习所学的各种图形的特征，总结探索图形特征的方法，巩固所学的识图、画图等技能。 教学重、难点： 1、系统整理学过的图形，形成知识网络。 2、用网络图表示出各种图形间的关系。 养成教育训练点：进一步培养学生独立思考、作业认真、学以致用的良好习惯。 教学用具：实物投影 教学过程： 一、创设情景，导入复习。 我当裁判：图形王国要举行国王选举大会，各图形都争着要当王国，经过激烈的竞争，最后大家选举平面图形中的长方形为平面图形的首领；把长方体选为立体图形王国的首
领，你们觉的这样的选举结果有道理吗？ 生发表自己的见解。 教师：同学们都有自己的理解，回顾一下：我们小学阶段学过哪些图形？ 生：三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形……生：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球…… 二、回顾整理，构建网络 1、你们能用自己学过的整理方法，把学过的这些图形分类整理形成自己的知识网吗？ 2、生各自整理。 3、展示交流：对学生展示的知识网进行评价 4、完善自己的知识网。 结合知识网，进一步让学生找各部分知识间的包含关系 三、重点复习，强化提高。 1．仔细观察，连一连。 让学生通过观察，动手连线，理解平面图形和立体图形之间的联系。 通过练习让学生理解面在体上，面围成体 2．完成书上的第2题。 （1）小组交流 （2）全班交流 （3）师生总结
平面直角坐标系动点问题 （一）找规律 1．如图1，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（） 图1 A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5） 图2 2、如图2，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（） A、（13，13） B、（﹣13，﹣13） C、（14，14） D、（﹣14，﹣14） 3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点， 其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2）， （2，2），…的规律排列，根据这个规律，第2015个点的横坐标 为． 4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、 向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。 图3
（1）填写下列各点的坐标： 1 A（____，____）， 3 A（____，____）， 12 A（____，____）； （2）写出点 n A 4 的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点 100 A到 101 A的移动方向． 5.观察下列有序数对：（3，﹣1）（﹣5，）（7，﹣）（﹣9，）…根据你发现的规律，第100个有序数对是． 6、观察下列有规律的点的坐标： 依此规律，A11的坐标为，A12的坐标为． 7、以0为原点，正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2，再向正西方向走9米到达A3，再向正南方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是． 8、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点1232008 P P P P ，，，，的位置，则点 2008 P的横坐标为. 9、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是．点P第2009次跳动至点P2009的坐标是． 1 P A O y x P
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1。 （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ。 收藏答案 数学【解答题】ID： 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。 （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。 收藏答案 数学【解答题】ID： 已知双曲线C1：。 （1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程； （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当时，求实数m的值。在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。 （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的
距离是定值。 收藏答案 数学【填空题】ID： 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为（）。 收藏答案 数学【解答题】ID： 已知双曲线C1：。 （1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程； （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当时，求实数m的值。 收藏答案 数学【填空题】ID： 如图，双曲线=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D。 则：（1）双曲线的离心率e=（）； （2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=（）。
《平面直角坐标系》 考点1：点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.）1、在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、在平面直角坐标系中，点P(－2，2x＋1)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、若点P（a，a-2）在第四象限，则a的取值范围是（）．A．-2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0 4、点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（） A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 5、若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12) A x x -- ，在第四象限，则实数x 的取值范围是． 7、对任意实数x，点2 (2) P x x x - ，一定不在 ．．（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 x轴上的点纵坐标为0, y轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 4、已知点P(m，2m－1)在y轴上，则P点的坐标是。 考点3：对称点的坐标 知识解析： 1、关于x轴对称A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）。 2、关于y轴对称A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b）。 3、关于原点对称A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）。 1、点M（2 -，1）关于x轴对称的点的坐标是（）． A． (2 -，1 -）B． (2，1） C．（2，1 -） D． (1，2 -） 2、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点 是（）． A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－2，3） D．（2，3） 3、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为 (2，1).如果将矩形OABC绕点O旋转180°，旋转后的图形为矩形OA1B1C1， 那么点B1的坐标为( ). A. (2，1) B.(-2,l) C.(-2,-l) D.(2，-1) 4、若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，－3）则ab的值 是 . 5、在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于y轴对称的点为点 B（a，2），则a＝． 6、点A（1-a，5），B（3，b）关于y轴对称，则a+b=______． 7、如果点(45) P- ，和点() Q a b ，关于y轴对称，则a的值 为．
第四章图形的初步认识 第1课时 教学目的： 1、通过学习能认识常见的图形，并能对常见的图形进行分类、分辨； 2、能够对实际中的物体进行抽象化为图形； 3、能了解多面体中的欧拉公式。 教学分析： 重点：基本图形的认识与分辨； 难点：欧拉公式的应用与认识。 教具准备：每个小组准备相关的立体图形及实际生活物品。 教学设想：强调几何学与实际生活的理论联系实际。 教学过程： 教学过程设计分析备注 一、知识导向： 本节从学生的生活周围入手，通过观察认识到生活以生活的周围存在着规则的 和不规则的物体，规则物体是我们进一步学习和研究的对象。对于教材中出现的一 些概念，如圆柱、棱柱等，都不是定义，仅是描述性的说法。教学中不要求学生掌 握严格的概念，只要求能通过具体图形进行识别或判断。在教学中注意引导学生观 察、体验数学概念的抽象和形成的过程。 二、新课讲授： 1、知识基础： 我们都知道，我们的生活空间是一个三维的世界，我们生活中的生活中的物体都是立体的物体，而这些物体中有一部分是较有规则的，如： 生活物体苹果、球天坛顶端塔顶粉笔盒笔筒类似图形球体圆锥棱锥棱柱圆柱 2、知识形成： 图1 图2 图3 图4 图5 在上面的图形中： （1）图1所表示的立体图形是柱体（圆柱体）； （2）图2所表示的立体图形是柱体（棱柱体）； （3）图3所表示的立体图形是锥体（圆锥体）； （4）图4所表示的立体图形是球体； （5）图5所表示的立体图形是锥体（棱锥体）； 另外，棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……等； 棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥……等；数学的学习应是与实际相联系的数学，才是有用的数学，如何从实际物体中抽象出几何图形是重要的第一步。
七下培优训练平面直角坐标系综合问题压轴题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题） 一、坐标与面积： 【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD . （1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段； （2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标； （3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标； （4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由； 【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3， 0）． （1）求△ABC 的面积； （2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到 △A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACP ABC S S =； （4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ ABC S S =． 【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足 2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ． （1）求三角形ABC 的面积；
图形的旋转》教学设计 【教学内容】 【教学目标】 1．让学生进一步认识图形的旋转，认识按顺时针或逆时针方向旋转90 度 的含义，能在方格纸上把简单图形旋转90 度。 2．让学生通过学习活动，进一步增强空间观念，发展形象思维。 3．让学生在认识旋转的过程中，产生对图形与变化的兴趣，并进 一步感受旋转在生活里的应用。 【教学重点】 认识按顺时针或逆时针方向旋转90 度的含义，能在方格纸上把简单图形旋转90 度。 【教学难点】 学生掌握在方格纸上将一个简单图形沿顺时针或逆时针旋转90 度的方法。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课，自主探究 1、根据口令：向右转、向左转，向后转，向后转，向右看去，向前看，师生问好。师：同学们，刚才我们做了这些简单的动作，其实我们今天要学习的知识就躲在这里面呢！你能猜出我们今天要学习什么吗？根据学生的回答，揭示课题：图形的旋转。 2、 通过课件演示旋转的摩天飞轮、风车、木马，引出生活中的旋转现象，唤醒旧知提问：你能举出生活中物体旋转的例子吗？ 过渡句：三年级已经学习过“图形的旋转”了，今天为什么还要再学习呢？其实啊，图形的旋转还有很多的知识有待我们的同学去发
现、研究呢。 3、教学“中心点”和“旋转方向”。 课件出示：（1）比眼力：你能看出图中的旋转有什么相同和不同的地方吗？相同点：图形的旋转都围绕一个固定的点旋转。我们把这个相对固定的点 叫做中心点，板书：中心点：相对固定（指出：绕的这个点是相对固定的，同学们在操作时，绕的点不能随意移动。）不同点：图形旋转的方向不一样。 根据学生的回答，板书：旋转方向引导学生用手势表示旋转的两种方向。 （2）出示：风车、水车、时钟、转动的图片。提问：你又能发现什么相同和不同的地方吗？通过课件引出顺时针和逆时 针的概念。 指出：与时针旋转方向相同的是顺时针旋转。板书：顺时针追问：与时针旋转方向相反，叫什么旋转呢？根据学生的回答，指出：与时针旋转方向相反的是逆时针旋转。板书：逆时针。 介绍：“顺”与“逆”两字的含意，帮助学生加深认知。 在判断时我们一般以什么为依据？（时针的旋转方向）（3）训练一：你能说出图中三角形分别以哪个点为中心旋转的吗？（4）训练二：出示三个齿轮链接旋转的动画，引导学生说一说，大 齿轮和小齿轮分别是怎样旋转的。 （5）小结：通过刚才的学习，我们知道了，要研究图形的旋转，必 须要考虑... （中心点、方向） 4、教学“角度”。 （1）提问：除了以上所说的，还有什么值得我们继续研究吗？（2）议一议：向后转与向右转有什么相同之处？有什么不同之处？向右转是顺时针旋转90 度，向后转
专题：平面直角坐标系中的变化规律 ——掌握不同规律，以不变应万变 ◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究 1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3， 2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________． 2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________． ◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究 3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个 C．40个D．80个 第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2 ︵ ，P2P3 ︵ ，P3P4 ︵ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()
A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25) ◆类型三图形变化中的点的坐标探究 5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是() A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2) C．(14＋3π，2) D．(12＋3π ，0) 6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)． (1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________； (2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．
平面直角坐标系知识点归纳 1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,） 一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标； 3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0； 坐标轴上的点不属于任何象限； 4、 四个象限的点的坐标具有如下特征： 小结：（1）点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性； （2）点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零； 5、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 （1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a 6、 平行直线上的点的坐标特征： a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ； b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ； 象限 横坐标x 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限 正 负 P （b a ,） a b x y O -3 -2 -1 0 1 a b 1 -1 -2 -3 P(a,b) Y x X Y A B m X Y C D n a b
7、 对称点的坐标特征： a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数； 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 习题 1、在平面直角坐标系中，线段B C ∥x 轴，则 （ ） A ．点B 与C 的横坐标相等 B ．点B 与C 的纵坐标相等 C ．点B 与C 的横坐标与纵坐标分别相等 D ．点B 与C 的横坐标、纵坐标都不相等 2．若点P ),(y x 的坐标满足0=xy 则点P 必在 （ ） A ．原点 B ．x 轴上 C ．y 轴上 D ．x 轴或y 轴上 3．点P 在x 轴上 ，且到y 轴的距离为5，则点P 的坐标是 （ ） A ．(5,0) B ．(0,5) C ．(5,0)或(-5,0) D ．(0,5)或(0,-5) 4.平面上的点(2,-1)通过上下平移不能与之重合的是 （ ） A ．(2,-2) B ．(-2,-1) C ．(2,0) D ．2,-3) 5.将△ABC 各顶点的横坐标分别减去3，纵坐标不变，得到的△A 'B 'C '相应顶点的坐标，则 △A 'B 'C '可以看成△ABC （ ） A ．向左平移3个单位长度得到 B ．向右平移三个单位长度得到 X y P 1P n n - m O X y P 2P m m - n O X y P 3P m m -n O n - X y P m n O y P m n O X
精品文档 1、平面内，四条线段AB 、BC 、CD 、DA 首尾顺次相接，∠ABC =24°，∠ADC = 42°. ⑴∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小； ⑵ 点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 的平分线交于点N （如图2），则∠ANC =______. M D C B A 图1 N D C B A 图2 E 1、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）。 （1）求△ABC 的面积 （2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ??=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积， 2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C. (1)若∠A=∠AOC ，求 证：∠B=∠BOC ； (2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB=∠EOB ，∠OAE=∠OEA ，求∠A (3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P.当△ABO 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终相 交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P M
（5.23）.如图，A、B两点坐标分别为A（a,4），B（b,0） ，且a,b满足0 9 2 )8 2 (2= - + + + -b a b a,E是y轴正半轴上一点。（1）求A、B两点坐标 （2）若C为y轴上一点且S△AOC= 5 1S △AOB ，求C点的坐标 （3）过B作BD∥y轴，∠DBF= 3 1 ∠DBA，∠EOF= 3 1 ∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系 1、已知：如图，在△ABC中，A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a、b、c满足 b=2 - - + -a c c a,BD⊥AC于D，交y轴于E.（1）如图1，求E点的坐标； （2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°,求证：AG+GC=CB+BO. （3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA,连接CH,F为CH 的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C）, ∠OPF的大小是否发生变化，若不变，求其度数，若变化，求其变化范围. 1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D.（1）如图，点F在线段DEA上，过点F作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD. ①试判断线段DG与NG有怎样的位置关系，直接写出你的结论；②求证：∠1=∠2； （2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC,分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF,∠GDF=∠GFD.探究线段DG与NG的位置关系，并说明理由. 图1 图2 图3