数学模拟试卷02
第I 卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·昆明市官渡区第一中学高一期中）已知集合{}35M x x =-<≤，{}
3N x x =>，则M N ?=（ ） A ．{}
3x x >- B ．{}
35x x -<≤ C ．{}35x x <≤
D ．{}
5x x ≤
2．（2020·江苏海安市·高三期中）已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．（2020·全国高三专题练习）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ） A ．40
B ．30
C ．20
D ．10
4．（2020·山东滕州市第一中学新校高二开学考试）为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）
A ．22.5%
B ．27.5%
C ．32.5%
D ．375%.
5．（2020·全国高三专题练习）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ?N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）
A ．MN ∥平面ADD 1A 1
B ．MN ⊥AB
C ．直线MN 与平面ABC
D 所成角为45° D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°
6．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量()mg/L P 与时间()h t 的关系为0kt
P P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）
A ．13小时
B ．15小时
C ．17小时
D ．19小时
7．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知P ，Q 是圆O ：228x y +=上的两个动点，且
4OP OQ -=，S 是线段PQ 的中点，若31
22
OT OQ OP =-，则OS OT ?的值为（ ）
A ．82+
B ．822-
C ．8
D ．4
8．（2020·河南高三月考（理））已知函数()f x 的定义域为R ，且()()6f x f x +-=，当0x >时，
()223f x x x =--+，若()350f m -≤，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(],2-∞
B ．[)2,+∞
C ．(],3-∞
D ．[
)3,+∞
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中）已知曲线C 的方程为()22
126x y k R k k
+=∈--，则下
列结论正确的是（ ） A ．当k =4时，曲线C 为圆
B ．当k =0时，曲线
C 为双曲线，其渐近线方程为3y x = C ．“5
6k ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分不必要条件
D ．存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为2
10．（2020·全国高三其他模拟）已知函数()()sin f x A x =+ω?（0A >，0>ω，?π<）的部分图象如图示，且()506f f π??
=
???
，则下列说法正确的为（ ）
A ．函数23
y f x π??
=- ??
?
为奇函数 B ．要得到函数2sin 2g x
x 的图象，只需将函数()f x 的图象向右平移
3
π
个单位长度 C ．函数()f x 的图象关于直线12
x π
=-对称
D ．函数()f x 在区间511,1212ππ??
?
???
上单调递增 11．（2020·江苏海安市·高三期中）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ） A ．2a b +≤
B ．
1
222
a b -<< C ．2
21
log log 2
a b -
D ．221a b ->-
12．（2020·浙江高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为
1,2,
,n ，且1
()0(1,2,,),1n
i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21
()log n
i i i H X p p ==-∑.（ ）
A ．若n =1，则H (X )=0
B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C ．若1
(1,2,
,)i p i n n
==，则H (X )随着n 的增大而增大
D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )
第II 卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2020·山西平城区·大同一中高三期中（文））已知M 是抛物线2
4y x =上一点，F 为其焦点，点A 在
圆2
2
:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.
14．（2020·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））数列{}n a 的通项公式2
2cos 4
n n a n n π
=-，其前n 项和为n S ，则2021S =______.
15．（2020·江苏南通市·高三三模）海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式
S △ABC 其中2
a b c
p ++=，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC
的内切圆的半径r 的值是_______．
16．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为6的正方形，点E 在线段AD 上，且满足2AE ED =，过点E 作直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π，则直四棱柱1111ABCD A B C D -外接球的半径为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2020·河南高三月考）)cos sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin 2
A C
b A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BD 为AC 边上的高，若b =______，求BD 的最大值.
18．（2020·河南高三月考（理））已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且11333n n n n
S S a +=++． （1）若32
n
n a n b ?=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（2）求n S ．
19．（2020·全国高三其他模拟）产品质量是企业的生命线，企业非常重视产品生产线的质量，为提高产品质量，某企业引进了生产同一种产品的A ，B 两条生产线，为比较两条生产线生产的产品的质量，从A ，B 生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品进行检测，将产品等级结果和频数制成了如下的统计图：
（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为产品是否为一级品生产线有关．
一级品
非一级品 A 生产线
B 生产线
（2）以样本估计总体，若生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品亏损20元．
①分别估计A ，B 生产线生产一件产品的平均利润； ②你认为哪条生产线的利润较为稳定？说明理由．
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
()20P K k ≥ 0.15
0.10
0.05
0.01
0k
2.072 2.706
3.841 6.635
20．（2020·浙江下城区·杭州高级中学高三期中）已知三棱锥,A BCD ABD -和BCD △是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD
（1）求证：AC BD ⊥；
（2）设G 为BD 中点，H 为ACD △内的动点(含边界)，且//GH 平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围.
21．（2020·河南高三月考）已知函数()()ln 2f x a x x a a R =++∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若04e a <<，求证：()x
e f x x x
<+
. 22．（2020·江苏宿城区·宿迁中学高三期中）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，
一条准线为直线2x =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点P 作不过原点的直线l 交椭圆于C ，D 两点（均不与点A 重合），直线AC ，AD 与直线OP 分别交于E ，F 两点，若OE OF =，证明：点P 在一条确
定的直线上运动.