符号函数及其微积分
一、符号函数计算 MA TLAB 中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。
实例1、求()()12sin ,3
-==x u u u f 的复合函数
>> syms x y z u t %定义符号变量
>> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compose(f,g) %求f,g 的复合函数 ans =
sin(2*x-1)^3
>> compose(f,g,t) %求f,g 的复合函数,再将自变量x 换为t ans =
sin(2*t-1)^3 实例2、求
x 2x
1
,22+--e
x
的反函数。
>> finverse(exp(2*x)-2) %求22-e x
的反函数
ans =
1/2*log(2+x)
>> finverse((1-x)/(2+x)) %求x 2x
1+-的反函数 ans =
-(2*x-1)/(1+x)
二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MA TLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口,而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作,也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。
(1) 图形窗口操作命令
对图形窗口的控制和操作的命令很多,这里主要介绍常用的figure 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplot 等常用命令。它们的调用格式及有关说明了见表2—2。
(2)坐标轴、刻度和图形窗口缩放的操作命令
MA TLAB中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是axis,坐标刻度的操作命令是xlim、ylim、zlim等,其使用方法见表2—3,表2—4。
不管是在二维绘图还是在三维绘图当中,在所有能产生线条的命令中一律用参数S来定义线条的线型、点型和颜色。在绘图命令中参数S的输入采用字符串形式,两端加单引号。有关线型、点型和颜色的定义见表2—5、表2—6、表2—7。例如:
plot(x,y,'-*k)表示绘制的曲线用实线,数据点(x,y)用星号*绘出,曲线和数据点都用黑色。fplot('fun',lim,'-.r')表示绘制参数fun决定的函数在参数lim给定范围内的曲线,曲线用红色的点划线绘出。
当参数S省略时,则使用系统默认的线型和颜色绘制图形。
2、二维图形的绘制 MA TLAB 具有强大的图形处理功能,不管是二维图形还是三维图形,作图方法都非常简便。绘制二维图形有很多,现在把常用的四个绘图函数的函数名、功能列表如下(见表2—2):
(1)向量作图
在利用向量作图时,首先要创建一个有值的向量,然后对这个向量的每一个元素求另一向量函数值,最后画出向量图形。
实例3、画出x y 2
=在[0,2]上的图象,操作如下:
>> X=[0:1/10:2]; %创建向量X ,确定X 的范围 >> Y=X.^2; %创建向量Y ,确定Y 的范围 >> plot(X,Y) %绘图 绘制出的图形见图2—1。
图2—1 y=x 2
在[0,2]上的图形
(2)函数作图 利用MA TLAB 自带的作图函数作二维或三维图形,既方便又快捷。
实例4、作
x y 1
sin
在[-2,2]上的图形,操作及结果如下: >> fplot('sin(1/x)',[-2,2]) 绘制出的图形见图2—2。
图2—2 y=sin1/x 在[-2,2]上的图形
(3)极坐标绘图
实例5、绘制心形线r=2(1-cos θ)的极坐标图形。 在命令窗口输入以下命令:
>> theta=[0:0.01:2*pi]; %建立数据点向量theta
>> polar(theta,2*(1-cos(theta)),'-k') %绘制r=2(1-cos θ)的极坐标图形 绘制的心形线如图2—3所示。
图2—3 心形线r=2(1-cos θ)的极坐标图形
实例6、绘制e y x
2
-=在[-3,3]上以0.3为步长各数据点的条形图。操作如下:
>> X=[-3:0.3:3]; %创建向量X ,并设置数据点 >> bar(X,exp(-X.^2)) %绘制函数在各数据点的条形图 绘制出的图形见图2—4。
图2—4 e y x
2
-=在[-3,3]上的条形图
实例7、在同一窗口用不同的线型绘制y=sinx,y =cosx 在[0,2π]上的图象,并加上标注。 在命令窗口输入如下命令:
>> [x,y]=fplot('sin',[0 2*pi]); %计算[0,2π]上sinx 的数据 >> [x1,y1]=fplot('cos',[0 2*pi]); %计算[0,2π]上cosx 的数据 >> plot(x,y,'-r',x1,y1,'-.k') %绘制不同线型的两根曲线 >> legend('y=sinx','y=cosx') %加图形标注 绘制出的图形见图2—5。
图2—5 在同一窗口不同线型绘制的y=sinx,y =cosx 在[0,2π]上的图象
三、符号函数的极限
函数的极限是微积分的基础,它的概念贯穿微积分的始终。在MA TLAB7.0中,系统给出了多种求函数极限的运算函数,使得原本在高等数学中较为复杂的函数极限的求解变得简单容易。现将符号函数的极限的运算函数列于表2—3。
实例8、求极限11
lim
2
1--→x x x 的操作过程和结果如下:
>> syms x a ; %定义符号变量x 和a
>> limit((x^2-1)/(x-1),x,1) %求函数(x 2-1)/(x-1)当1→x 时的极限 ans = 2
实例9、求极限x x
x sin lim
0→和x
x a
x sin lim
→
>> limit(sin(x)/x,x,0) ans = 1
>> limit(sin(x)/x,x,a) ans = sin(a)/a
实例10、求arctanx 当+∞→x 和-∞→x 时的极限,求tanx 当
2π
→
x 时的左、右极限。 >> syms x t y %定义符号变量 >> f=atan(x); %定义符号函数
>> limit(f,x,-inf) %计算-∞→x 时的极限,-inf 表示负无穷大
-1/2*pi
>> limit(f,x,inf) %计算+∞→x 时的极限,inf 表示正无穷大 ans = 1/2*pi
>> f=tan(x) %定义符号函数 f = tan(x)
>> limit(f,x,pi/2,'left') %求2π→
x 时的左极限
ans = Inf
>> limit(f,x,pi/2,'right') %求2π
→
x 时的右极限
ans = -Inf
实例11、按系统默认自变量求函数y x t
x --22自变量趋近于0和3时的极限值。 >> f=(x^2-t^2)/(x-y); %定义符号函数
>> limit(f) %求自变量趋近于0时的极限值 ans = t^2/y
>> limit(f,3) %求自变量趋近于3时的极限值 ans =
(-9+t^2)/(-3+y)
实例12、求符号矩阵()()()??
???
???
??????+++---x x x x x x e e e e x
x x
x 3ln 2ln 1ln 2sin cos sin 2
当0→x 时的左极限。 >> A=[exp(x) exp(-x) (exp(x)-exp(-x))/2;sin(x) cos(x) sin(2*x);log(1+x) log(2+x) log(3+x)]; %定义符号矩阵A
>> limit(A,x,0,'left') %求符号矩阵每一个元素当0→x 时的左极限 ans =
[ 1, 1, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, log(2), log(3)]
四、符号函数的导数 在MA TLAB 中求符号函数的导数是使用微分函数diff 实现的,该函数的调用格式如下表(见表2—4)。
实例13、求函数1cos 2-=x a y 和x a y 3
sin =的一阶导数的操作如下: >> diff(cos(a*x^2-1),'x')
-2*sin(a*x^2-1)*a*x >> diff(sin(a*x^3)) ans =
3*cos(a*x^3)*a*x^2
实例14、求函数(
)
2x
x
x e
+和x ln ln ln 的一阶和三阶导数。 >> syms x y t u v z a b %定义符号变量 >> S=exp(x)*(sqrt(x)+2^x); %定义符号函数
>> diff(S) %计算符号函数的一阶导数 ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))
>> diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数 ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+3*exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))+3*exp(x)*(-1/4/x^(3/2)+2^x*log(2)^2)+exp(x)*(3/8/x^(5/2)+2^x*log(2)^3)
>> S=log(log(log(x))); %定义符号函数
>> diff(S) %计算符号函数的一阶导数 ans =
1/x/log(x)/log(log(x))
>> diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数 ans =
2/x^3/log(x)/log(log(x))+3/x^3/log(x)^2/log(log(x))+3/x^3/log(x)^2/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))+3/x^3/log(x)^3/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))^3
实例15、求隐函数xy y x 33
2
=+的一阶导数。
>> S=x^2+y^3-3*x*y; %定义符号表达式
>> -diff(S,x)/diff(S,y) %由dy/dx=-F x /F y 计算表达式中y 对x 的导数 ans =
(-2*x+3*y)/(3*y^2-3*x) 五、符号一元函数的积分 MA TLAB 中对符号函数的积分是通过调用函数int 实现的。调用格式如下表(见表2—11)。
表2—11 符号积分函数int 的调用格式
实例16、计算不定积分??
?+++-xdx
e x x dx
dx x x
x x 3cos ,1 ,25
1247
222
4
2
>> syms x y z a b %定义符号变量 >> S=(2*x-7)/(4*x^2+12*x+25); %定义符号表达式
>> int(S) %对符号表达式求不定积分 ans =
1/4*log(4*x^2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4)
>> S=1/(x^4*sqrt(1+x^2)); %定义符号表达式
>> int(S) %对符号表达式求不定积分 ans =
-1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2)
>> S=exp(2*x)*cos(3*x) %定义符号表达式 S =
exp(2*x)*cos(3*x)
>> int(S) %对符号表达式求不定积分ans =
2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x)
实例17、求定积分
?
?
?
∞
+
∞
-
+ -
dx
x
xdx
x
dx
x
x
2
2
2
2
1
2
2
4
1
1
,
sin
,
1
及广义积分
π
>> syms x y z a b %定义符号变量
>> S=x^2/sqrt(1-x^2); %定义符号表达式
>> int(S,0,1/2) %计算符号表达式在区间[0,1/2]上的定积分ans =
-1/8*3^(1/2)+1/12*pi
>> S=x*sin(x)^2; %定义符号表达式
>> int(S,0,pi/2) %计算符号表达式在区间[0,π/2]上的定积分ans =
1/16*pi^2+1/4
>> S=1/(1+4*x^2); %定义符号表达式
>> int(S,-inf,inf) %计算符号表达式在区间()
+∞
∞
-,上的广义积分
ans = 1/2*pi
数学符号及读法大全 常用数学输入符号:≈≡≠=≤≥<>≦≧∷±+-× ÷/∫?∝∞??∑∏∪∩∈∮?//?‖∟?≌∽√()【】{}ⅠⅡ⊕?∠αβγδεδεζΓ
i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作e x a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数; b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于 1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即 x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即 x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即 x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即 x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即 x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即 x = csc y ζ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ 表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。 如j从1到100 的和可以表示成:。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量,即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 大写小写英文注音国际音标注音中文注音 Ααalpha alfa 阿耳法Ββbeta beta 贝塔 Γγgamma gamma 伽马 Γδdeta delta 德耳塔Δεepsilon epsilon 艾普西隆Εδzeta zeta 截塔 Ζεeta eta 艾塔 Θζtheta ζita西塔 Ηηiota iota 约塔 Κθkappa kappa 卡帕 ∧ιlambda lambda 兰姆达Μκmu miu 缪 Νλnu niu 纽 Ξμxi ksi 可塞 Ονomicron omikron 奥密可戎∏πpi pai 派 Ρξrho rou 柔 ∑ζsigma sigma 西格马 Τηtau tau 套 Υυupsilon jupsilon 衣普西隆Φθphi fai 斐 Φχchi khai 喜 Χψpsi psai 普西 Ψωomega omiga 欧米伽 符号表符号含义i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作ex a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 ax 同a^x logba 以b为底a的对数;blogba = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即x = csc y ζ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ 表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。如j从1到100的 和可以表示成:。这表示 1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 常用数学输入符号:≈ ≡ ≠ =≤≥ <>≮≯∷ ±+-× ÷/∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√()【】{}ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔ αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩ абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作e x a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同a^x log b a 以b为底a的对数;b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即x = csc y θ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。如j从1到 100 的和可以表示成:。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量,即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 线性代数意义符号 ... 矩阵,B,C,A m×n阶矩阵A A的第i 行第j列元素为a(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) ij 矩阵A的转置矩阵 矩r(A的 矩阵A的逆矩阵 AX B 矩阵方程, 线性方程组= 的行列式矩阵A A*A的伴随矩阵 A的增广矩阵线性方程组系数矩阵 集合与逻辑 符号意义符号意义 具有性质p(x全体实数的集合,同)的对象x组成的集R )} xp({x?合(?? ,+??? b}x,开区间?全体整数的集合{ x a Z ? ( a , b ) [ a , b ] { x?N a?x?b}全体正整数的集合,闭区间 ( a , b ] { x?a? x?b},左开右闭区间x是集合X的元素X x?x不是集合X的元素?a [ , b ) { x? a x?b},左闭右开区间X x?B?A空集,若A蕴涵命题B A则B命题?B→A或B等价 于命题命题AB,A蕴涵A?BΩ全集蕴涵AB?或AB且A∪B与的并集B逻辑加集合A ∨ A A集合与B逻辑乘的交集∧∩B B包含A逻辑非┐A是B的子集合, B ?A 集合A的补集 数列、函数与极限符号意义符号意义 u,…u,u,…,n21 n趋于无穷大时数列{y} 的极n 为通项的数列以u n限} {u或n x 趋于无穷大时函数 u为通项的无穷级数和以n f(x)的极限 趋于正无穷大时函 的和uu++…+u有限项n12极限 x趋于负无穷大时函数fx在对应规律f下对应到(x)的 y极限ff 函数:X为定义域, )(x的极限为自变量, x趋于a时函数fx为对应规律,y为因变量a时函数 x>a且x 趋于 D的定义域函数f f的右极限(x)f ax 目录 数学符号起源 (1) 数学符号种类 (2) 数学符号读法 (10) 数学符号起源 数学除了记数以外,还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚,但是数量多得多。现在常用的有200多个,初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。 例如加号曾经有好几种,现在通用"+"号。 "+"号是由拉丁文"et"("和"的意思)演变而来的。十六世纪,意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"(加的意思)的第一个字母表示加,草为"δ"最后都变成了"+"号。 "-"号是从拉丁文"minus"("减"的意思)演变来的,简写m,再省略掉字母,就成了"-"了。 到了十五世纪,德国数学家魏德美正式确定:"+"用作加号,"-"用作减号。 乘号曾经用过十几种,现在通用两种。一个是"3",最早是英国数学家奥屈特1631年提出的;一个是"2",最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为:"3"号象拉丁字母"X",加以反对,而赞成用"2"号。他自己还提出用"п"表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。 到了十八世纪,美国数学家欧德莱确定,把"3"作为乘号。他认为"3"是"+"斜起来写,是另一种表示增加的符号。 平方根号曾经用拉丁文“Radix”(根)的首尾两个字母合并起来表示,十七世纪初叶,法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中,第一次用“ⅳ”表示根号。“ⅳ”是由拉丁字线“r”变,“——”是括线。 "÷"最初作为减号,在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用":"表示除或比,另外有人用"-"(除线)表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里,才根据群众创造,正式将"÷"作为除号。 常用数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ~∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ? 3运算符号 ×÷√ ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ∑ π(圆周率) 6推理符号 |a| ??△ⅶ??≠ ? ±≥ ≤ ⅰ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ~?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ(圆周率) 6推理符号 |a| ??△ⅶ????a??ⅰ ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΓΘΛΞΟΠ?ΦΥΦΧ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ﹪ ﹫ ? ? ? ? ? ? ? ? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ??????????????????? ??? 指数0123:o123 上述符号所表示的意义和读法(中英文参照) + plus 加号;正号 - minus 减号;负号 a plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 = is equal to 等于号 ? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号< is less than 小于号 > is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于? is more than or equal to 大于或等于% per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ? circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并,合集 ? union of 交,通集 线性代数 符号意义 A,B,C,... 矩阵 m×n阶矩阵A A的第i 行第j列元素为a ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 矩阵A的转置矩阵 r(A)矩阵A的秩 矩阵A的逆矩阵 AX= B 矩阵方程, 线性方程组 矩阵A的行列式 A*A的伴随矩阵 线性方程组系数矩阵A的增广矩阵 集合与逻辑 符号意义符号意义 R 全体实数的集合,同 (∞- ,+∞) {x∣p(x)} 具有性质p(x)的对象x组成的集 合 Z 全体整数的集合( a , b ) { x∣a 数列、函数与极限 符号意义符号意义u1,u2,…,u n,… 或{u n} 以u n为通项的数列 n趋于无穷大时数列{y n} 的极 限 以u n为通项的无穷级数和 x 趋于无穷大时函数 f(x)的极限 有限项u1+u2+…+u n的和 x趋于正无穷大时函数f(x)的 极限 x在对应规律f下对应到 y x趋于负无穷大时函数f(x)的 极限 函数f :X为定义域,f 为对应规律,x为自变量, y为因变量 x趋于a时函数f(x)的极限 D f函数f的定义域 x>a且x趋于a时函数 f(x)的右极限 R f函数f的值域 x 数学符号读法与含义大全 符号含义 i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作e x a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同a^x log b a 以b为底a的对数;b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即x = csc y 角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、ζ z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。 常用符号 1 几何符号 ?‖∠??≡ ?△ 2 代数符号 ∝∧∨~∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π(圆周率) 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙‖∧∨ &; § ????≈???≌? Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣‖∧∨∩ ∪∫ ∮∴∵∶∷?≈ ?≈ ≠ ≡ ≤ ≥ ≤ ≥ ??⊕?? ⊿?℃ 指数0123:o123 符号意义 ∞ 无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪集合并 ∩ 集合交 ≥ 大于等于 ≤ 小于等于 ≡ 恒等于或同余 ln(x) 以e为底的对数 lg(x) 以10为底的对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分 ∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分 P为真等于1否则等于0 ∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况 如:∑[n is prime][n < 10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 f(z) f关于z的m阶导函数 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n m?n m与n互质 a ∈A a属于集合A #A 集合A中的元素个数 ∈∏ ∑ √ ∞ ∠∣‖∧∨∩ ∪∫ ∮∴∵?? ? ? ~ ∽ ? ∽ ? ⊕ ? ? ? 常用数学符号大全 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 常用数学输入符号:~~≈ ≡ ≠ =≤≥ <>≮≯∷ ±+- × ÷/∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√()【】{}ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩ абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作e x a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同 a^x log b a 以b为底a的对数; b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于 sin x/cos x cot x 余切函数的值或 cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于 1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于 1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即 x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即 x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即 x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即 x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即 x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即 x = csc y θ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 ab a、b向量的点积 (ab) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。 如j从1到100 的和可以表示成:。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量,即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 高等数学所有符号的写法与读法 ̄ hyphen 连字符 ' apostrophe 省略号;所有格符号 — dash 破折号 ‘ ’single quotation marks 单引号 “ ”double quotation marks 双引号 ( ) parentheses 圆括号 [ ] square brackets 方括号 Angle bracket {} Brace 《》French quotes 法文引号;书名号 ... ellipsis 省略号 ¨ tandem colon 双点号 " ditto 同上 ‖ parallel 双线号 / virgule 斜线号 & ampersand = and ~ swung dash 代字号 § section; division 分节号 → arrow 箭号;参见号 + plus 加号;正号 - minus 减号;负号 ± plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 = is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is equal to or approximately equal to 等于或约等于号≈ is approximately equal to 约等于号 < is less than 小于号 > is more than 大于号 ≮ is not less than 不小于号 ≯ is not more than 不大于号 ≤ is less than or equal to 小于或等于号 ≥ is more than or equal to 大于或等于号 常用数学符号大全 1、几何符号 ?‖∠??≡ ≌△° |a| ??∠∟ ‖| 2、代数符号 ? ∝∧∨~∫ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶〔〕〈〉《》「」『』】【〖 3、运算符号 × ? √ ± ≠ ≡ ≮≯ 4、集合符号 ∪∩ ∈Φ ? ¢ 5、特殊符号 ∑ π(圆周率)@#☆★○●◎◇◆□■▓⊿※ ¥Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ω ∏ 6、推理符号 ← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∴∵∶∷T ? ü 7、标点符号` ˉ ˇ ¨ 、· ‘’ 8、其他 & ; §℃№ $£¥‰ ℉♂ ♀ ?????????? Γ Δ Θ ∧Ξ Ο ∏ ∑ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣‖∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≈ ≠≡ ≤ ≥ ≤ ≥ ≮≯ ⊕??⊿? 指数0123:o123 〃? ? ? 符号意义 ∞ 无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ∪集合并 ∩ 集合交 ≥ 大于等于 ≤ 小于等于 ≡ 恒等于或同余 ln(x) 以e为底的对数 lg(x) 以10为底的对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分x - floor(x) ∫f(x)δx 不定积分 ∫[a:b]f(x)δx a到b的定积分 ∑[1≤k≤n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况,如:∑[n is prime][n < 10]f(n) ∑∑[1≤i≤j≤n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n (m,n)=1 m与n互质 a ∈A a属于集合A Card(A) 集合A中的元素个数 |a| ??△∠∩ ∪≠ ∵∴≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙‖∧∨ 常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 ⊥∥∠⌒⊙≡≌△ 2、代数符号 ∝∧∨~∫≠≤≥≈∞∶ 3、运算符号 如加号(+),减号(-),乘号(×或·),除号(÷或/),两个集合的并集(∪),交集(∩),根号(√),对数(log,lg,ln),比(:),微分(dx),积分(∫),曲线积分(∮)等。 4、集合符号 ∪∩∈ 5、特殊符号 ∑π(圆周率) 6、推理符号 |a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈← ↑→↓↖↗↘↙∥∧∨ &; § ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ αβγδεζηθικλμν ξοπρστυφχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮ ∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥ ⊿⌒℃ 指数0123:o123 7、数量符号 如:i,2+i,a,x,自然对数底e,圆周率π。 8、关系符号 如“=”是等号,“≈”是近似符号,“≠”是不等号,“>”是大于符号,“<”是小于符号,“≥”是大于或等于符号(也可写作“≮”),“≤”是小于或等于符号(也可写作“≯”),。“→”表示变量变化的趋势,“∽”是相似符号,“≌”是全等号,“∥”是平行符号,“⊥”是垂直符号,“∝”是成正比符号,(没有成反比符号,但可以用成正比符号配倒数当作成反比)“∈”是属于符号,“??”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“()”中括号“[]”,大括号“{}”横线“—” 10、性质符号 如正号“+”,负号“-”,绝对值符号“| |”正负号“±” 11、省略符号 如三角形(△),直角三角形(Rt△),正弦(sin),余弦(cos),x的函数(f(x)),极限(lim),角(∠), ∵因为,(一个脚站着的,站不住) ∴所以,(两个脚站着的,能站住)总和(∑),连乘(∏),从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数(C(r)(n) ),幂(A,Ac,Aq,x^n)等。 ├断定符(公式在L中可证) ╞满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)┐命题的“非”运算 ∧命题的“合取”(“与”)运算 ∨命题的“析取”(“或”,“可兼或”)运算 → 命题的“条件”运算 A<=>B 命题A 与B 等价关系 A=>B 命题A与B的蕴涵关系 A* 公式A 的对偶公式 wff 合式公式 iff 当且仅当 ↑ 命题的“与非” 运算(“与非门” ) ↓ 命题的“或非”运算(“或非门” ) □模态词“必然” ◇模态词“可能” φ 空集 ∈属于(??不属于) P(A)集合A的幂集 |A| 集合A的点数 R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合” ∪集合的并运算 ∩集合的交运算 - (~)集合的差运算 〡限制 [X](右下角R) 集合关于关系R的等价类 A/ R 集合A上关于R的商集 [a] 元素a 产生的循环群 I (i大写) 环,理想 Z/(n) 模n的同余类集合 r(R) 关系R的自反闭包 s(R) 关系的对称闭包 CP 命题演绎的定理(CP 规则) EG 存在推广规则(存在量词引入规则) ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则)UG 全称推广规则(全称量词引入规则)US 全称特指规则(全称量词消去规则) R 关系 r 相容关系 R○S 关系与关系的复合 domf 函数的定义域(前域) ranf 函数的值域 f:X→Y f是X到Y的函数 GCD(x,y) x,y最大公约数 LCM(x,y) x,y最小公倍数 aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集 Ker(f) 同态映射f的核(或称f同态核)[1,n] 1到n的整数集合 d(u,v) 点u与点v间的距离 d(v) 点v的度数 G=(V,E) 点集为V,边集为E的图 W(G) 图G的连通分支数 k(G) 图G的点连通度 △(G) 图G的最大点度 A(G) 图G的邻接矩阵 P(G) 图G的可达矩阵 M(G) 图G的关联矩阵 C 复数集 N 自然数集(包含0在内) N* 正自然数集 P 素数集 Q 有理数集 R 实数集 Z 整数集 Set 集范畴 Top 拓扑空间范畴 Ab 交换群范畴 常用数学符号大全 [标签:数学] 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ~????? ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ(圆周率) 6推理符号 |a| ??△ⅶ?? ??±??ⅰ? ???↖↗↘↙ ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ΓΔΘΛΞΟΠ ΣΦΧΨΩ αβγδεδε ζηθικλ μνπξζηυ θχψω Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ ?ⅷⅸⅹ???? ????????? ???????⊕????℃ 指数0123:o123 上述符号所表示的意义和读法(中英文参照)+ plus 加号;正号 - minus 减号;负号 ± plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 = is equal to 等于号 ? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号< is less than 小于号 > is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于 ? is more than or equal to 大于或等于% per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并,合集 高等数学所有符号的写法与读法  ̄ hyphen 连字符 ' apostrophe 省略号;所有格符号— dash 破折号 ‘’single quotation marks 单引号“”double quotation marks 双引号( ) parentheses 圆括号 [ ] square brackets 方括号 Angle bracket {} Brace 《》French quotes 法文引号;书名号... ellipsis 省略号 ¨ tandem colon 双点号 " ditto 同上 ‖ parallel 双线号 / virgule 斜线号 & ampersand = and ~ swung dash 代字号 § section; division 分节号 → arrow 箭号;参见号 + plus 加号;正号 - minus 减号;负号 ± plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 = is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is equal to or approximately equal to 等于或约等于号≈ is approximately equal to 约等于号 < is less than 小于号 > is more than 大于号 ≮ is not less than 不小于号 ≯ is not more than 不大于号 ≤ is less than or equal to 小于或等于号 ≥ is more than or equal to 大于或等于号 % per cent 百分之… ‰ per mill 千分之… ∞ infinity 无限大号 ∝ varies as 与…成比例 √ (square) root 平方根 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∷ equals, as (proportion) 等于,成比例 大写小写英文注音国际音标注音中文注音Ααalpha alfa 阿耳法Ββbeta beta 贝塔 Γγgamma gamma 伽马 Γδdeta delta 德耳塔Δεepsilon epsilon 艾普西隆Εδzeta zeta 截塔 Ζεeta eta 艾塔 Θζtheta ζita西塔 Ηηiota iota 约塔 Κθkappa kappa 卡帕 ∧ιlambda lambda 兰姆达 Μκmu miu 缪 Νλnu niu 纽 Ξμxi ksi 可塞 Ονomicron omikron 奥密可戎∏πpi pai 派 Ρξrho rou 柔 ∑ζsigma sigma 西格马 Τηtau tau 套 Υυupsilon jupsilon 衣普西隆 Φθphi fai 斐 Φχchi khai 喜 Χψpsi psai 普西 Ψωomega omiga 欧米伽 符号表符号含义i -1的平方根 f(x) 函数f在自变量x处的值 sin(x) 在自变量x处的正弦函数值 exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作ex a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 ax 同a^x logba 以b为底a的对数;blogba = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即x = csc y ζ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b) a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。如j从1到100 线性代数 符号意义 A,B,C,、、、矩阵 m×n阶矩阵A A的第i 行第j列元素为a ij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 矩阵A的转置矩阵 r(A)矩阵A的秩 矩阵A的逆矩阵 AX= B 矩阵方程, 线性方程组 矩阵A的行列式 A*A的伴随矩阵 线性方程组系数矩阵A的增广矩阵 集合与逻辑 符号意义符号意义 R 全体实数的集合,同 (∞- ,+∞) {x∣p(x)} 具有性质p(x)的对象x组成的集 合 Z 全体整数的集合( a , b ) { x∣a 符号意义符号意义u1,u2,…,u n,… 或{u n} 以u n为通项的数列 n趋于无穷大时数列{y n} 的极 限 以u n为通项的无穷级数与 x 趋于无穷大时函数 f(x)的极限 有限项u1+u2+…+u n的与 x趋于正无穷大时函数f(x)的 极限 x在对应规律f下对应到 y x趋于负无穷大时函数f(x)的 极限 函数f :X为定义域,f为 对应规律,x为自变量,y为 因变量 x趋于a时函数f(x)的极限 D f函数f的定义域 x>a且x趋于a时函数 f(x)的右极限 R f函数f的值域 x 常用数学输入符号:~~≈ ≡ ≠ =≤≥ <>≮≯∷ ±+-× ÷/∫ ∮∝∞ ∧∨∑ ∏ ∪∩ ∈∵∴//⊥‖ ∠⌒≌∽√()【】{}ⅠⅡ⊕⊙∥αβγδεζηθΔ αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΧΨΩ абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ exp(x) 在自变量x处的指数函数值,常被写作e x a^x a的x次方;有理数x由反函数定义 ln x exp x 的反函数 a x同a^x log b a 以b为底a的对数;b log b a = a cos x 在自变量x处余弦函数的值 tan x 其值等于sin x/cos x cot x 余切函数的值或cos x/sin x sec x 正割含数的值,其值等于1/cos x csc x 余割函数的值,其值等于1/sin x asin x y,正弦函数反函数在x处的值,即x = sin y acos x y,余弦函数反函数在x处的值,即x = cos y atan x y,正切函数反函数在x处的值,即x = tan y acot x y,余切函数反函数在x处的值,即x = cot y asec x y,正割函数反函数在x处的值,即x = sec y acsc x y,余割函数反函数在x处的值,即x = csc y θ角度的一个标准符号,不注明均指弧度,尤其用于表示atan x/y,当x、y、z用于表示空间中的点时 i, j, k 分别表示x、y、z方向上的单位向量 (a, b, c) 以a、b、c为元素的向量 (a, b) 以a、b为元素的向量 (a, b) a、b向量的点积 a?b a、b向量的点积 (a?b)a、b向量的点积 |v| 向量v的模 |x| 数x的绝对值 Σ表示求和,通常是某项指数。下边界值写在其下部,上边界值写在其上部。如j从1到 100 的和可以表示成:。这表示1 + 2 + … + n M 表示一个矩阵或数列或其它 |v> 列向量,即元素被写成列或可被看成k×1阶矩阵的向量 高等数学中特殊符号的读法及功能
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