第十章 曲线曲面积分
§10．1对弧长的曲线积分
一、选择题
1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).
(A)
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =-??； (B)
(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =?
?
；
(C)(,)d (,)d 0AB
BA
f x y s f x y s +=??
；
(D)(,)d (,)d AB
BA
f x y s f x y s =--?
?
． 答(B).
2. 设有物质曲线23
:,,(01),23
t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它
的质量M =( ).
(A)10t ?; (B)10
t t ?
;
(C)
t ?
; (D)
t ?
. 答(A).
3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OM
I s
=?不相等的积分是( ).
(A)
10
x ?; (B)
10
y ?;
、
(C)
d r r ?
; (D)
10
e r ?
答(D).
4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L
x y s -=?( ).
(A)
4
03d 4x x x ??- ????; (B)303d 4y y y ??
- ????;
(C)3034y y y ?- ??; (D)4034x x x ?- ?
?. 答
(D).
5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分
s =?
( ).
(A)x ?; (B)y ?;
(C)
10
x ?
; (D)
y ?
. 答(C).
6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d L
x y s +=?( ).
(A); (B)2; (C) (D) 答(D).
二、填空题
{
1. 设L 是圆周22
1x y +=,则31d L
I x s =
?
与52d L
I x s =
?
的大小关系是
.
答:12.I I =
2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L
x y s +=
?.
.
3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n L
x y s +=
?. 答：212a a π+.
4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L
x y s -=?
.
答：0.
5. 设L 是圆周2
2
1x y +=,则2d L
I x s =
=
?
.
答：π.
6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L
x y s -=
?.
-
答:
2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,
则L
s =
?.
答：3. 三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)
d L
x s ?
其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.
答： 11)12.
(2)
22
d x y L
e
s +?
其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内
所围成的扇形的整个边界.
答： 2 2.4a a e π?
?+- ??
?
#
(3)
2d x yz s Γ
?
，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).
答：9. (4)
2d L
y s ?
其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.
答： 34232.53
a ??
(5)
22
()d L
x y s +?其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+??=-?
(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+
§10．2对坐标的曲线积分
一、选择题
1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d AB
y x x y +=?( ).
(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).
@
2. 设C 表示椭圆22
221x y a b
+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=? ( ).
(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则
(3)d (2)d C
x y x y x y +++=?
( ).
(A)21
[(2)(23)]d x x x x x +++?
； (B)
21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+? (C)
2
1
[(73)2(51)]d x x x -+-?
; (D)
21
[(73)(51)]d x x x -+-?
. 答(C).
4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2
t π
≤≤,
则22d d C
x y y y x x -=?( )
(A)20
[cos sin t π?
； (B)
2220
(cos sin )d t t t π
-?
(C)
22
0cos sin π
π
-?
?(D)201d 2t π
?.答(D).
·
5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).
(A)22()(d d )0L
f x y x x y y ++=?
；(B)22()(d d )0L
f x y x y y x ++=?
(C)
22()(d d )0L
f x y x y y ++=?
; (D)
22()(d d )0L
f x y x x y ++=?
.答(A).
6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=?
( )
(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).
二、填空题
1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d L
P x y x =
?.
答：0.
2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d L
x y x -=
?.
答：56
15
-
. （
3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d L
x y y -=
?.
答：403
-
.
4．L 为圆弧y (2,2)A 的一段弧,则d L
xy y =? .
答：
4
3
. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d L
xy y =?
.
答：3
2
a π-.
6．设
(2)d (23)d 9L
x y x x y y -++=-?
,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方
向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于
.
答：
32
. 三、解答题
1．计算()d ()d L
x y x y x y ++-?,其中L 为:
（
(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;
(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1)
;(2)11;(3)14;(4)
.3
3
2．计算d d L
y x x y +?其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到
2
π
的一段弧.
答：0. 3．计算22()d ()d L x y x x y y x y
+--+?
,其中L 为圆周222
x y a +=(方向按逆时针). 答：2π-.
4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ
+++-?其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直
线段.
)
答：13.
5. 计算22(2)d (2)d L
x xy x y xy y -+-?,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点
(1,1)的一段弧.
答：1415
-
. §10．3 格林公式
一、选择题
1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d C
x y x xy y -+?
用格
林公式计算可化为( ).
(A)23
d d R
r r πθ?
?； (B)
2200
d d R
r r πθ??;
(C)
230
d 4sin cos d R
r r πθθθ-?
?; (D)
220
d d R
R r r πθ?
?. 答(A).
2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向, 则
3223()d ()d L
x x y x xy y y -+-?
= ( ).
）
(A)
323a π; (B)4a π-; (C); (D)42
a π
-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则
d d C
x y y x -=?
( )
(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).
4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则
d d L
P x Q y +?
在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).
(A)0Q P x y ??+=??; (B)0Q P
x y
??-=??; (C)
0P Q x y ??-=??; (D)0P Q x y
??+=??. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则
22d d 4L x y y x
x y -=+?( ).
(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).
6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y x
I x y -==+?( ).
：
(A)因为
Q P x y ??=??,所以0I =; (B)因为,
Q P
x y
????不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为
Q P
x y
??≠
??,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C). 7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件
是( ).
(A)P Q x y ??=??; (B)P Q
y x
??=
??; (C)
P Q x y ??=-??; (D)P Q
y x
??=-
??. 答(D). 8. 已知
2
()d d ()
x ay x y y
x y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ). (A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,
则(3)d (3)d L
x y x y x y +++=?( ).
(A)
23
1
1
(3)d (6)d x x y y +++?
?; (B)
21
[(6)(23)]d x x x x x +++?
;
）
(C)
23
1
1
1
(31)d (3)d 2
y x x y y ++++?
?
?; (D)21
[(31)(51)]d x x x -++?
.
答(A).
10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分
(,)43(0,0)
()tan d ()d I yf x x x f x y ππ
=-?
与路径无关,则()f x =( ).
(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).
二、填空题
1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则
d d L
x y y x -=?
.
答: 2σ.
2. 设(,)f x y 在2
2:14
x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,
则
(,)d [3(,)]d y x L
f x y y y f x y x -+=
?
.
—
答: 6π.
3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则
2(2)d (4)d L
xy y x x x y -+-=
?
.
答: 27π-.
4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则
d d L ax y by x x y -+?=
.
答: 4()a b +.
5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d L
x y
x y
++?=
.
答: 0.
6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则
2
d y L
e y =
?
.
-
答: 0. 7.
(2,2)2(0,0)
2d (3)d xy x x y +-=
?
.
答: 2.
8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则2
2
d 2d y y L
e x xye y +=
?.
答: 42e .
9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d L
P x y x Q x y y +?化为对弧长
的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.
答:
22d 14L P xQ s x ++?.
10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分
[()]sin d ()cos d x L
f x e y x f x y y --?
与路径无关,则()f x =
.
]
答: 2
x x
e e --.
三、解答题
1. 计算22d d 2()
L y x x y x y -+?，其中L 为圆周22
(1)2x y -+=的正向. 答:π-. 2. 计算
(24)d (536)d L
x y x y x y -+++-?
，其中L 是顶点分别为(0,0)、
(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.
答:12. 3. 计算
3
222(2cos )d (12sin 3)d L
xy
y x x y x x y y -+-+?,其中L 为抛物线
22x y π=上由点(0,0)到,12π??
???
的一段弧.
答:
2
4
π.
4. 计算
22()d (sin )d L
x y x x y y --+?
，其中L 是圆周y 上由
(0,0)到(1,1)的一段弧.
答:7sin 2
64
-+
. `
5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)
()d ()d x y x x y y ++-?
.
答:52
. (2)
(2,1)423(1,0)
(23)d (4)d xy y x x xy y -++-?
.
答: 5.
6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .
(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.
(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.
答: (1) 22
222
x y xy ++
; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +. -
7. 用格林公式计算223()d (2)d L
x x y x xy y y -+-+?，其中L 是圆周
y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.
答:324
π-.
8. 用格林公式计算423(23)d (4)d L
xy y x x x xy y -+++-?，其中L 是圆周
y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.
答:62
π
-.
§10．4 对面积的曲面积分
一、选择题
1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑
??与
二重积分(,)d d xy
D f x y x y ??的关系是 ( ).
。
(A)(,,0)d f x y S ∑
??=(,)d d xy
D f x y x y ??;(B)(,,0)d f x y S ∑
??=(,)d d xy
D f x y x y -??;
(C)
(,,0)d f x y S ∑
D f x y x y ??;(D)(,,0)d f x y S ∑
>??(,)d d xy
D f x y x y ??.
答(A).
2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).
(A)
(,,)d f x y z S ∑??
=
22224
(,,)d d x y f x y x y x y +≤+??
;
(B)
(,,)d f x y z S ∑
??
=22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+??
;
(C)
(,,)d f x y z S ∑
=
??22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+??
;
(D)
(,,)d f x y z S ∑
=
??22224
(,,d x y f x y x y x y +≤+??
. 答(D).
3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).
(A)
1
d 4d x S x S ∑
∑=????;
(B)
1
d 4d y S x S ∑
∑=????;
<
(C)
1
d 4d z S z S ∑
∑=????;
(D)
1
d 4d xyz S xyz S ∑
∑=????. 答(C).
4. 设∑
是锥面1)z z ≤≤,则22()d x y S ∑
+=??( ).
(A)
22
()d x y S ∑
+=??21
20
d d r r r πθ??
?;
(B)22()d x y S ∑
+=??1
20
0d d r r r πθ??
?;
(C)
22
()d x y S ∑
+=
??21
200d d r r π
θ?;
(D)2
2
()d x y S ∑
+=
??21
20
d d r r r πθ??;. 答(D).
5. 设∑为平面
1234
x y z
++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑?
?++= ??
???( ).
(A)4d d xy
D x y ??;
(B)4d d xy
D x y ??;
(C)23004d d x y ?;
(D)
3
200
4d d x y ?;. 答(B). （
6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑
=??( ).
(A)22220
0d (2)d r r r r πθ--??
?
;
(B)
22
20
d (2d r r r πθ-?
?;
(C)
220
d )d r r r πθ-??
?
;
(D)
220
d d r r r πθ-?
. 答(D).
7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).
(A)22()d 0x y z S ∑
+=??; (B)22()d 0y y z S ∑+=??
;
(C)
22()d 0z x y S ∑
+=??; (D)2
()d 0x y z S ∑
+=??
. 答(C). 二、填空题
1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑
++=
??.
答: 44a π.
2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑
=
??.
$
答: 0.
3. 设∑
为上半球面z =,则d z S ∑
=
??.
答: 3a π.
4. 设∑
为下半球面z =则d z S ∑
=
??.
答: 3a π.
5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑
=
??.
答: 23a π.
6. 设∑
为上半球面z =,则d x S ∑
=
??.
答: 0. 7. 设∑为平面
1232x y z ++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑??
++=
??
???.
#
答
:
8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑
=
??.
答
:
. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑
---=
??.
答: 272
-
. 三、解答题
1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑
??,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面
上方部分,(,,)f x y z 分别如下:
(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)
13
6
π; (2) 14930π; (3) 11110π. |
2. 计算
2
2()d x
y S ∑
+??,其中∑
是锥面z =1z =所围成的区
域的整个边界曲面.
答
:
. 3. 计算22()d x y S ∑
+??,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.
答: 9π.
4. 计算42d 3z x y S ∑?
?++ ??
???,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部
分.
答
:
5. 计算()d x y z S ∑
++??,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)
z h h a ≥<<的部分.
答: 22()a a h π-.
§10．5 对坐标的曲面积分
一、选择题
,
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的
是( ).
(A) 2d d z x y ∑
=??2
22()d d xy
D a
x y x y --??;
(B)2d d z x y ∑
=??2222
()d d xy
D a x y x y --??; (C)
2
d d z x y ∑
=??0; (D) (A)(B)(C)都不对. 答(C). 2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则
d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++=??( ).
(A) 3d d z x y ∑
??; (B)3d d x y z ∑
??;
(C)3d d y x z ∑
??0; (D)
d d d d x y z y x z ∑
+??. 答(D).
3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑
++=??( ).
(A) 30
3d y x ??
; (B)30
2d z y ??
;
(C)
30
d z x ?
?
; (D)
30
d z x ?
?
. 答(B).
(
4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下
列结论正确的是( ).
(A) 1
2
222()d d d d x
y z x y a x y ∑
∑++=????;
(B)1
2
222()d d 2d d x
y z x y a x y ∑∑++=????;
(C)
222
2222()d d 2d d x y a x y z x y a x y ∑
+≤++=??
??
; (D) 0. 答(D).
5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑
=??( ).
(A) 110
0d (1)d x x x y y ----??
; (B)
110
d (1)d x x x y y ---?
?
;
(C)
110
d (1)d x
y x y x ---?
?
; (D) 110
d (1)d x y x y x ----??
. 答(A).
6. 曲面积分2d d z x y ∑
??在数值上等于( ).
(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;
(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).
|
二、填空题
1. 设∑是xoy 平面上的闭区域01
01x y ≤≤??≤≤?
的上侧,
则()d d x y z y z ∑
++=
??.
答: 0.
2. 设∑是xoy 平面上的闭区域01
01x y ≤≤??≤≤?
的上侧,
则()d d x y z x y ∑
++=
??.
答: 1.
3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则2
22()d d x
y z x y ∑
++=??..
答: 0.
4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则
d d z x y ∑
=??.
.
}
答:
343
a π. 5. 设∑为球面2222()()()x a y
b z
c R -+-+-=取外侧, 则曲面积分
d d z x y ∑
=??.
.
答:
343
R π. 6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑
++=??.
答: 0. 三、解答题
1. 计算22d d x y z x y ∑
??,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.
答:
77426422453753105
R R π
π??
?-??= ???. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++??,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及
3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
答: 32
π.
^
3. 计算
d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑
++??,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及
1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
答:
18
. 4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
++??化成对面积的曲面积分,其中:
(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.
答:
(1)
32d 55P Q S ∑??
++ ? ???
??;
(2) S ∑
.
§10．6 高斯公式
一、选择题
1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).
(A)
1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++??; (B)1
d d d d d d 3x y z y z x z x y ∑
++??; <
(C)
1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++??; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑
++??.答(B). 2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则
222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=??( ).
(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).
3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
(A)
d d d P Q R x y z x y z Ω?????++= ?????
????(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑
++??;
(B)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=
??d d d P Q R x y z x y z Ω??
???++ ?????
????; (C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=
??d d d R Q P x y z x y z Ω?????++ ?????
????; (D)
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++=??(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑
++??.答(C).
4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).
(A)
2
d d (2)d d x y z z y x y ∑
++=??(22)d d d x x y z Ω
+???;
:
(B)3
()d d 2d d d d x
yz y z xy z x z x y ∑--+=
??2
(321)d d d x
x x y z Ω
-+???;
(C) 2
d d (2)d d x y z z y z x ∑
++=??(21)d d d x x y z Ω
+???;
(D)
2d d (2)d d x x y z y y z ∑
++=??(22)d d d x x y z Ω
+???. 答(B).
二、填空题
1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑
=
??.
答:
343
a π. 2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=??.
答:
5
25
a π. 3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y
b z
c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
??.
答: 3abc .
!
4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的
外侧,则
222
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++=
??.
答: ()a b c abc ++.
5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=
.
答: 0.
6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面
222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=
.
答: 108π. 三、解答题
1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及
x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.
、
答: 43a . 2. 计算
333d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??,其中∑为球面2
222x
y z a ++=外侧.
答:
525
a π. 3. 计算
22
32d d ()d d (2)d d xz y z x
y z z x xy y z x y ∑
+-++??,其中∑为上半球体
222x y a +≤,0z ≤.
答:
525
a π. 4. 计算
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱
体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.
5. 计算
2
4d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑
-+??,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与
平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:
32
. 6. 计算
22d d (2)d d d d 2
z
x y z z xy z x x y ∑
+-+??
,其中∑为曲面22z x y =+与平
面1z =所围成的立体的表面外侧.
,
答:
4
π. 7. 计算曲面积分
3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑
+++-??,其中∑为曲面
z =z .
答: 32
6(1cos2)5
π?
?-. 8. 计算曲面积分
222
d d d d (1)d d xy y z z z x z x
x y ∑
++-??,其中∑
为由曲面
z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.
答: 322161625335
πππ?
?-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2
()d d d d z
x y z z x y ∑
+-??,其中∑是旋转抛物
面2
21()2
z x y =
+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.
§10．7 斯托克斯公式
一、选择题
1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).
<
(A) d d d P x Q y R z Γ++=?d d d d d d y z z x x y x y z P Q R ∑
???
?????; (B) d d d P x Q y R z Γ++=?cos cos cos d S x y z P
Q R
αβγ∑
?
??
?????; (C)
d d d P x Q y R z Γ
++=
?
{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R
αβγ∑
???
??????
; (D)
d d d P x Q y R z Γ
++=
?
{}d ,d ,d i j k x y z x y z P
Q
R
∑
???
??????
. 答(D).