白噪声的产生

1 η1 = (− 2 ln ξ1 )2 cos 2πξ2 1 ( ) η 2 ln ξ = − 1 2 sin 2πξ 2 2

12

3
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
是相互独立、服从 N (0,1) 分布的随机变量。 ● 统计性质 1.2 M 序列（最长线性移位寄存器序列）的产生及其性质 ● 1.2.1 M 序列的概念 ● M 序列的作用 ▲ 辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 ▲ M 序列具有近似的白噪声性质，即 Const, τ = 0 1 T R M (τ ) = ∫ M ( t ) M ( t + τ )dt ≈ τ ≠0 T 0 0, ▲ M 序列“净扰动”小，幅度、周期、时拍易控制，实现简单。 1.2.2 M 序列的产生
σ 2 , ω ≤ ω0 （ ω0 为给定的远大于过程的截止频率） 谱密度： SW (ω ) = 0, ω > ω0 σ 2ω0 sin ω0τ 相关函数： RW (τ ) = ⋅
π
ω0τ
讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为 高斯白噪声。 n 维白噪声：一个 n 维随机过程 W (t ) 满足： E{W (t )} = 0 Cov{W (t ),W (t + τ )} = E{W (t )W (t + τ )} = Qδ (τ ) 其中 Q 为正定常数矩阵，则称 W (t ) 为 n 维白噪声过程。 ● 白噪声序列 白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 {W (k )} 满足： 相关函数： RW (l ) = σ 2δ l , l = 0,±1,±2,L 则称为白噪声序列。 谱密度： SW (ω ) =
xi∗ M
2
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
可以证明 {ξi∗} 是周期为 2k 的伪随机数。 2.5.4 正态分布随机数的产生 ● 理论基础：定理 2.2 设 ξ 是（0，1）均匀分布的随机变量， F ( x) 是给定的连续分布函数，它的逆 函数记做 F −1 ( x) ，则η = F −1 (ξ ) 是服从 F ( x) 分布的随机变量，即： Fη ( x) = P{η ≤ x} = F ( x) 以此定理为基础，可以产生任意分布的随机数。 注意：若 ξ ~ (0,1) ，则 1 − ξ ~ (0,1) ，因此 F −1 (1 − ξ ) 也是服从 F ( x) 分布的随机 变量。 ● 统计近似抽样法 由于正态分布函数的逆函数的解析式无法求得，我们利用中心极限定理产生 正态分布的随机数。 设 {ξi } 是（0，1）均匀分布的随机数序列，则有：
− ∆t ≤ τ ≤ ∆t ∆t < τ < ( N P − 1)∆t
Hale Waihona Puke 1.2.6 M 序列的谱密度 (1) ( 2) (τ ) + R M (τ ) ● R M (τ ) = RM
5
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
2 τ 1 + a 1 1 − (1) ∆t , RM (τ ) = N P 0,
● 重要结果： G ( s ) =
注意 3：不是任何多项式都可以作为生成 M 序列的特征多项式，它必须满足以
4
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
下条件。 ● 必要条件：特征多项式 F ( s ) 是既约多项式 ● 充分必要条件： 特征多项式 F ( s ) 是本原多项式， 即 F ( s ) 是多项式 s N P ⊕ 1 的 一个因子。 ● 满足以上两个条件的部分特征多项式见表 2.11，注意表的使用 1.2.4 M 序列的性质 ● M 序列的循环周期 N P = ( 2 P − 1) bit ● M 序列的“游程” M 序列中某种状态连续出现的段称为“游程”。一个 P 级 M 序列的“游程”总 数为 2 P −1 ，其中“0”游程与“1”游程各占一半。长度为 i bit（ 1 ≤ i ≤ P − 2 ）的 游程占 1 / 2 i ，即有 2 P −1−i 个，但长度为 ( P − 1) bit 的游程只有一个，为“0”游程， 长度为 P bit 游程也只有一个，为“1”游程。 ● M 序列的可加性 所有 M 序列都具有移位可加性（模 2 和）。 1.2.5 M 序列的自相关函数 幅度的选取：作变换： M (i ) = a(1 − 2 xi ) ，幅度变为 a 和 − a 。 ● 计算式： R M (τ ) =
且 C ( z −1 ), D( z −1 ) 的根都在 z 平面的单位圆内。 ● 例子 设平稳有色噪声序列 {e(k )} 的自相关函数为：
1 − a2 则相应的功率谱密度函数为：
Re (l ) =
σ 2a l
, l = 0, ± 1, ± 2,L;
a <1
1 − 2a 2 cos ω + a 2 成型滤波器的脉冲传递函数为：
1 k t ω sin ∆ 2 0 a 1 2 ck = 1+ NP N P 1 kω 0 ∆ t 2 2 2πa S ( 2 ) (ω ) = − δ (ω )
M
NP
1 sin ω∆t 2 2πa ( N P + 1) 2 ● S M (ω ) = 2 NP 1 ω∆t 2
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
白噪声的产生方法
1.1 白噪声及其产生方法 1.1.1 白噪声的概念 ● 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： RW (τ ) = σ 2δ (τ ) 谱密度： SW (ω ) = σ 2 − ∞ < ω < +∞ 近似白噪声过程
xi , i = 1,2,3,L M 可以证明 {ξi } 是伪随机数，循环周期为 2k − 2 。
第二步： ξi = 计算机上的实现：令 L{x} 为取数 x 的小数部分，则有 ξi = L{ Aξi −1}, ξ 0 = x0 / M ● 混合同余法 第一步：递推式 xi∗ ≡ Axi∗−1 + c (mod M ), i = 1,2,3L 其中： M = 2k , k > 2 ， A ≡ 1(mod 4 ) ，即 A = 2n + 1, 2 ≤ n ≤ 34 ， c 为正整数， ∗ 初值 x0 为非负整数。 第二步： ξi∗ =
● M 序列的定义: xi = ∑ a j xi − j ，i = P + 1, P + 2,L ，注意求和为模 2 求和，且
j =1
P
a P = 1 ，适当选取 a1 , a 2 , L , a P −1 （反馈通道的选择）就可以使序列以 (2 P − 1) bit 的最长周期循环，即 x N P + k = x k , 1 ≤ k ≤ N P = 2 P − 1 。
l = −∞
∑R
∞
W
(l )e − jω l = σ 2
1.1.2 表示定理与成形滤波器 ● 表示定理 设平稳噪声序列 {e(k )} 的谱密度 Se (ω ) 是 ω 的实函数， 或是 cos ω 的有理函数， 那么必定存在一个渐近稳定的线性环节，使得如果环节的输入是白噪声序列，则 环节的输出是谱密度为 Se (ω ) 的平稳噪声序列 {e(k )} 。 ● 成形滤波器 表示定理中所涉及到的线性环节称为成型滤波器。 白噪声 w(k ) 线性环节（成型滤波器） 有色噪声 e(k )
xi +1 = Axi , (mod M ) x ξi = i ~ U [0,1] M 其中, M = 215 = 32768, (循环周期2k − 2 ) A = 179 ≡ 3 (mod 8) x0 = 11, (奇数)
● 利用 U[0,1]均匀分布的随机数生成正态分布的白噪声 12 v ( k ) = σ v ∑ ξ i − 6 ~ N ( 0, σ v2 ) i =1 其中，标准差 σ v 分别取 0,0.1,0.5。 ● 编程语句
Se (ω ) =
σ2
, −π < ω < π;
a <1
H ( z −1 ) =
假定 e(0) = 0 ，则有： 相关函数计算可得：
σ
1 − az −1
,
a <1
e(k ) = σ [ w(k ) + aw(k − 1) + L + a k −1w(1)] Re (l ) = σ 2 a l 1 − a 2k al 2 ≈ σ 1 − a2 1 − a2
µξ = E{ξi } = 1 / 2 2 σ ξ = Var{ξ i } = 1 / 12
由中心极限定理，有
x=
2 若η ~ N ( µη ,σ η ) ，则有
∑ ξi − Nµξ
i =1
N
Nσ ξ2
N 2 ~ N (0,1) = i =1 N / 12
∑ξ
N
i
−
η − µη σ η2
即有
可以证明：如果 {e(k )} 的谱密度 Se (ω ) 是 cos ω 的有理函数，那么一定存在一个
1
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
成型滤波器，它的脉冲传递函数为：
−n −1 D( z −1 ) 1 + c1 z + L + cnc z c = H (z ) = C ( z −1 ) 1 + d1 z −1 + L + d nd z − nd −1
N P ∆t 1 M (t ) M ( t + τ )dt N P ∆t ∫0