中考数学分类讨论题型整编
【知识整合创新】
整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：
1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 中考高分解密：
题型1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。 考题1．求函数2
51
()(3)2
2
y k x k x =-+-+
的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52
k -分类讨论.
解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为11
22
y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0）
（2）当5502
2k k -≠≠
，即时，此函数为二次函数，2251
(3)4()(2)22
k k k ?=--?-?=-.①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.21211
0,122
x x x x -+===，交点坐标为（1，
0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1
(1,0)(,0)52k
-和.
综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当5
2
k ≠且2k ≠时，
函数图像与x 轴有两个不同交点1
(1,0),(
,0)52k
-. 变式思考1已知关于x 的方程2
2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围
（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.
易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况. 题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
考题2．（2004，河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.
（1）当t 取何值时，S ＝3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.
名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD ＝2时，1MDN S ?=，那么3ABCD MDN S S S =-=W V ，此时求得42t =-，第（2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.
解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ， ∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等. ∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN
∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ?=-=?-= 又∵211
22
DMN S MD ND ND ?=
?= ∴MD ＝ND ＝2，∴ON ＝OD －DM ＝4－2， 即D 点的坐标为（0，4－2）
∴42t =-，即当42t =-时，S ＝3. （2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t
∴当0≤t ＜2时，21122
S B B t =M ?N = 当2≤t ＜4时，2
1(4)42
ABCD DMN S S S t ?=-=--+
当t ≥4时，S ＝4
根据以上解析式，作图如下图（图2）
变式思考2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =，
∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.
（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上
以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2. ①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值.
易误点睛：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
考题3．（2004 上海）在ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图所示，若点O 在BC 边上运动，（与点B 和C 不重合）， 设BO ＝x ，ΔAOC 的面积为y .
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域. （2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.
名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22 ∴AD ＝AB sin 45??=2
图（2）
445AB
BC Sin =
=? ∴OC=BC －BO=4－x ，故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为
12y OC AD =?即1
(4)242
y x x =-?=- （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，
故解题中须分类讨论.
解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.
∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝1
2
BC ＝2 ∴11
2(4)422
AOC S OC AD x x ?=
?=??-=- 即4(04)y x x =-+<<
（2）当点O 与点D 重合时，圆O 与圆A 相交，不合题意；当点O 与点D 不重合时，在Rt ΔAOD 中，2
2
2
2
2
4248AO AD OD x x x =+=+-=-+
∵⊙A 的半径为1，⊙O 的半径为x ∴①当⊙A 与⊙O 外切时
22(1)48x x x +=-+ 解得7
6x =
此时，ΔAOC 的面积717
466
y =-=
②当⊙A 与⊙O 内切时，2
2
(1)48x x x +=-+ 解得72
x = 此时ΔAOC 的面积71422
y =-
= ∴当⊙A 与⊙O 相切时，ΔAOC 的面积为17162
或. 变式思考3（2003 南京）如图，直线4
43
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N （1）求M ，N 两点的坐标； （2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，
125为半径的圆与直线4
43
y x =-+相切，求点P 的坐标. 易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）
小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类. 题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类
规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
考题4（2004 福州）如图所示，抛物线2
()y x m =--的顶点为A ，直线:33l y x m =-与
y 轴的交点为B ，其中m ＞0.
（1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 （用含有m 的代数式表示）
（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数.
（3）动点Q 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明
理由.
名师点拨：（1）对称轴x m =，顶点A （m,0）（2）把x ＝m 代入33y x m =
-得
330y m m =-= ∴点A （m,0）在直线l 上，直线l 与y 轴相交，则B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -，由三角函数知识可得：3tan 3OB m
OAB OA m
∠=
== 即∠OAB ＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。
解：（1）对称轴为直线x m =，顶点A （m ，0）
（2）把x m =代入函数33330y x m y m m =-=-=得 ∴点A （m,0）在直线l 上.当x=0时，3y m =-
∴3(0,3),tan 3m
B m OAB m
-∠=
= ∴∠OAB=60°
(3)如图，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与ΔOAB 全等，共有以下4种情况：
①1111190,3,PQ A PQ m Q A m ∠=?== ∴1P 点的坐标为
(3,)m m m --，代入抛物线解析式得：2
3,0m m m -=-> ∴1
3
m =
∴1
131(,)33P --
②22290,B P Q A P ∠=?点与点重合 ∴2
,0m m =->
∴m =
∴2(0,3)P -
③3333390,,Q P A Q P m P A ∠=?= ∴3P 点的坐标为
3
(,)2
m m --代入抛物
线解析式得：233
,024
m m m -
=-> ∴2m = ∴3(23)P -
④4444490,,Q P A Q P P A m ∠=?= ∴4P 点的坐标为
1
(,)2
m m -，代入抛
物线解析式得：213,024m m m -
=-> ∴2
3
m = ∴41)3P - 分析可知，1234,,,P P P P 关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；
综上所述，符合条件的P 点分别为1111
)3333
----；
（0，3），3)-，(23)-，(23)+-.
变式思考4（2003宁波）已知抛物线2
2
ax bx c ++y ＝的顶点坐标为（4，－1）与y 轴交于点C （0，3），O 是原点.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）设此抛物线与x 轴的交点A 、B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点1P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与ΔAOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
易误点睛：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.
中 考 零 距 离
一、选择题
1．若m 为实数，则点P （m －2，m+2）不可能在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为5，则这两圆的圆心距等于（ ）
A ．1
B ．2或6
C ．7
D ．1或7
3．（2004，河南）如果关于x 的方程2
10x mx ++=的两个根的差为1，那么m 等于（ ）
A ．2±
B ．
C ．
D ．
4．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是22则线段AB 的中点C 到直线l 的距离是（ ）
A ．2
B
C ．2
D ．不能确定 5．已知2
2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．－3
B ．10
C ．－4
D ．10或－4 二、填空题
6．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是弦，且AB ＝2，AC ，AD ＝1，则∠CAD ＝＿＿＿＿＿＿＿.
7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行线，AB ＝12，CD ＝16，⊙O 的直径为20，则AB 与CD 之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿.
8．方程560x x x ?-+=的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.
9．（2004 上海）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于＿＿＿＿＿＿＿＿.
10．（2004 沈阳）已知ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C ，且⊙C 与直线AB 不相交，⊙A 与⊙C 相切，设⊙A 的半径为r ，那么r 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
11．已知2
2
25,7x y x y +=+=，则x y -的值等于＿＿＿＿＿＿＿.
12．在平面直角坐标系内，A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第＿＿＿＿＿象限. 三、解答题
13．（2004 广东）已知实数a ，b 分别满足2
2
11
22,22,a a b b a b
+=+=+求
的值. 14．（2004 黑龙江）在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.
15．（2004 芜湖）在钝角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点，且Ad 与DC 的长度为
27120x x -+=方程的两个根，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果BD 长为(0)a a >.求△ABC
的外接圆⊙O 的面积.
16．（2003 烟台）在直角坐标系中，有以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线y ＝x 上方及直线 y=－x+2a 上方部分的面积为S ，（1）求1
2
a =时，S 的值.（2）a 在实数范围内变化时，求S 关于a 的函数关系式.
17．(2004 黄冈)在直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （5，0），B （0，4），C （－1，0），点M 和点N 在x 轴上，（点M 在点N 的左边）点N 在原点的右边，作MP ⊥BN ，垂足为P （点P 在线段BN 上，且点P 与点B 不重合）直线MP 与y 轴交于点G ，MG ＝BN.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.（2）求点M 的坐标.
（3）设ON ＝t ，△MOG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围. （4）过点B 作直线BK 平行于x 轴，在直线BK 上是否存在点R ，使△ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出R 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式思考答案
1．解：（1）∵方程有实数根.∴①当k ＝0时，原方程变为1
840,2
x x -==，方程有实数根. ②当0k ≠时，2
4(4)4(4)k k k ?=+--≥0，解之得43-k ≥，∴403
k k -≠≥且 故
k 的取值范围是4
3
-k ≥.
（2）①若b=c ，则2
4(4)4(4)0k k k ?=+--=，解得43
k =-，此时方程的根为b ＝c
＝2，又∵a ＝3，满足三角形三边关系，∴2237ABC C a b c ?=++=++=
②若a=b 或a=c ，则92(4)3(4)0k k k ++?+-=，∴5
4
k =-
，此时方程另一根为：77
55
c b ==或，满足三角形三边关系，∴737
3355
ABC
C a b c ?=++=++=.
2．（1）当点P 运动2秒时，AP ＝2cm ，由∠A ＝60°，知AE ＝1，PE ＝3.∴32
APE S ?=
.
（2）①（i ）当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝
2t ，QF
＝2，AP ＝t+2，AG ＝1+2
t
，PG
2.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD
的面积为22
S =
+. （ii ）当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝
2t ，DF ＝4－2
t
，QF
，BP ＝t －6， CP ＝10－t ，PG ＝（10－t
而BD
＝ABCD
的面积为2
S =+（iii ）当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ ＝20－2t ，OF ＝（20－2t ），CP ＝10－t ，PG ＝（10－t
∴此时两平行线截平行四边形ABCD
的面积为2
8
S =
-. 故S 关于t 的函数关系式为
22
+t 6)S =t 8)t -t 10)8?????
????
≤≤≤≤≤≤ ②（附加题）当0≤t ≤6时，S
当6≤t ≤8时，S
的最大值为当8≤t ≤10时，S
的最大值为所以当t ＝8时，S
有最大值为
3．解：（1）当x ＝0时，y ＝4. 当y ＝0时，4
403
x -
+=，∴x ＝3. ∴M （3，0），N （0，4）
（2）①当1P 点在y 轴上，并且在N 点的下方时，设⊙1P 与直线4
43
y x =-+相切于点A ，连接1P A ，则1P A ⊥MN.
∴∠1P AN ＝∠MON ＝90°，∵∠1P NA=∠MNO ，∴△1P AN ∽△MON ，∴11P A P N MO MN
=
在Rt △OMN 中，OM ＝3，ON ＝4，∴MN ＝5. 又∵112
5
P A =
，∴14P A =，∴1P 点坐标是（0，0） ②2P 点在x 轴上，并且在M 点的左侧时，同理可得2P 点坐标是（0，0） ③当3P 在x 轴上，并且在M 点的右侧时，设⊙3P 与直线4
43
y x =-
+相切于点B ，连接3P B ，则3P B MN ⊥ ∴OA//3P B . ∵OA ＝3P B ，∴33P M OM ==.
∴36OP =，∴3P 点坐标是（6，0）
④当4P 点在y 轴上，并且在点N 上方时，同理可得44P N ON ==. ∴48OP =. ∴4P 点坐标是（0，8） 综上，P 点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.
4．解：（1）可设2
(4)1y a x =--. ∵交y 轴于点C （0，3），∴3＝16a －1，∴1
4
a =
. ∴抛物线的解析式为21(4)14y x =-－，即21
234
y x x+=－. （2）存在 当y ＝0时，则
21
(4)104
x --=，∴122, 6.x x ==∴A （2，0）
，B （6，0）. 设P （0,m ），则OP ＝m . 在△AOC 与△BOP 中， ①若∠OCA ＝∠OBP ，则△BOP ∽△COA ，∴OB OP
OC OA
=. OP ＝
62
43
?=，∴4m =±. ②若∠OCA ＝∠OPB ，则△BOP ∽△AOC ，∴
OP OB
OC OA
=.
63
92
OP ?=
=，∴9m =±. ∴存在符合题意的点P ，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9）
中考零距离答案
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 二、填空题
6．15°或105° 7．14或2 8．3 9．4或5 10．3
27r <33 ≤或≤ 11．1± 12．三 三、解答题程 13．解：若a b ≠，则可知,a b 为方程2 220x x +-=的两实数根，由韦达定理得a+b ＝－2，ab ＝－2. ∴ 11212 a b a b ab +-+===- 若a b =，则解关于a ，b 的方程分别得1313a b a b ==-+==--或 11 3113a b +=+-或. 14．解：分三种情况计算： （1）当AE ＝AF ＝10cm 时，（如图1）， 21 50()2 AEF S AE AF cm ?= ?= （2）当AE ＝EF ＝10cm 时（如图2）， 222 8() 140() 2 AEF BF EF EB cm S AE BF cm ?=-==?= （3）当AE ＝EF ＝10cm 时（如图3）， 2251()DF EF ED cm =-= 21 551()2 AEF S AE DF cm ?= ?=. 15．解：∵AD 与DC 的长度为2 7120x x -+=的两根 ∴有两种情况 ①AD ＝3，DC ＝4 ②AD ＝4，DC ＝3 由勾股定理：求得AC ＝5，连接AO 并延长交⊙O 于E 点， 第15题图 连接BE ∴∠ABE ＝90° 又∵∠E ＝∠C ∴△ABE ∽△ADC ， ∴ AB AE AB AE AC AD AC AD =?=? 16．解：（1）当1 2 a =时，如图1， 直线1y x y x ==-+与的交点是11 (,)22 E ∴1111224 S =??= （2）①当1a <-时，如图2， △ADC 的面积就是S ， ∴1 2222 S = ??= ②当－1≤a ＜0时，如图3， 直线2y x y x a ==-+与的交点是E （a ，a ） ∴EG ＝（1－a ）＝1+a AF ＝2（1+a ） 2 1 2(1)2(1)2 2(1)ADC AEF S S S a a a ??=-=-+?+=-+∴ ③当0≤a ＜1时，如图4， 直线2y x y x a ==-+与的交点是E （a ，a ） ∴EG ＝1－a CF ＝2（1－a ） ∴21(1)2(1)(1)2 CEF S S a a a ?== -?-=- ④当a ≥1时，如图5，S ＝0 ∴S 关于a 的函数关系式为 22 2(a <1)2(1+a)1a <0S =(1a)0a 10a 1??????? －－ （－≤） － （≤＜） （≥） 17．（1）设所求抛物线的解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠. 由题意，得：255004a b c a b c c ++=??-+=??=? 解得：4516 54 a b c ? =-?? ?=?? =??? ∴所求的解析式为2416 455 y x x =- ++. （2）依题意，分两种情况： ①当点M 在原点的左边（如图1）时， 在Rt △BON 中，∠1+∠3＝90° ∵MP ⊥BN ，∴∠2+∠3＝90° 在Rt △BON 和Rt △MOG 中， 12 BON MOG BN MG ∠=∠?? ∠=∠??=? ∴Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OM ＝OB ＝4 ∴M 点坐标为（－4，0） ②当点M 在原点的右边（如图2）时，同理可证：OM ＝OB ＝4. 此时M 点的坐标为（4，0） ∴M 点的坐标为（－4，0）或（－4，0） （3）图1中，Rt △BON ≌Rt △MOG . ∴OG ＝ON ＝t. ∴S ＝ 11 4222 OM OG t t ?=??=（其中0＜t ＜4） 图2中，同理可得S ＝2t ，其中t ＞4. ∴所求的函数关系式为S ＝2t. t 的取值范围为t ＞0且t ≠4. （4）存在点R ，使△ORA 为等腰三角形. 其坐标为：123455(3,4),(3,4),(2,4),(,4),(8,4)2 R R R R R .
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