第10讲学习一笔画
【专题简析】
一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？
一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。
【例题1】
一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
①②③④
（1）与一条线段相连的点有：
（2）与两条线段相连的点有：
（3）与三条线段相连的点有：
（4）与四条线段相连的点有：
归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。
练习1
1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
2.下面图形中有哪几个单数点？
B
3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？
B
【例题2】
下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
A
C C
（1） O （2）
B D
F
（3）
D
【思路导航】图（1）中A 、B 、C 、D 、O 五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。
画时可以从任意一点出发。图（2）中A 、C 、D 、F 四个点都是双数点，B 和E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中A 、D 是双数点，B 、
C 、E 和F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。
备课说明：这讲在一年级春季班讲过，孩子吸收不错；若有新生，建议老师将例4和练4删除。 教学目标：1、准确的数出图形中的单数点 和双数点的个数（例1）； 2、学会如何判别是否能够一笔画（例2）； 3、不能一笔画的图形应该几笔可以画成（例3）； 4、了解添加几笔能够一笔画（例4）。 备注：为了防止单数点和双数点太多而混乱，建议老师可以让孩子将所有的单数点用1表示，所有的双数点用2表示，写在图上的每个点上，更有助于数清点数。 一笔画：笔不离纸，不重不漏走完每条线。
双数点：把两条、四条、六条等双数条线相连的点叫双数点。 单数点：把一条、三条、五条等单数条线相连的点叫单数点。 判断一笔画： 不连通的图不能一笔画。 单数点=0个，可以一笔画；从任何点出发，还能回到这个点。 单数点=2个，可以一笔画；从一个单数点出发，回到另一个单数点。 单数点>2个，不能一笔画。 最少几笔画成：当单数点的个数大于2时，单数点个数是2的几倍，那么所需最少笔数就等于几。 下面的各个小图形都是由点和线组成的，请小朋友仔细观察后说出每个图形中有几个单数点和几个双数点，是不是连通图形？ （1）（2）（3） 【知识点：数点】【难度：★】（1）（2）（3） 连通图 双数点 单数点 （1）（2）（3）连通图是是不是
解： 写出下面图形中有几个单数点和几个双数点？哪些图形是连通的图形？ 解： 下面哪些图形可以一笔画成？ （1）（2）（3）（4） 【知识点：判断图形是否可以一笔画】【难度：★★】 解： 双数点 5 6 12 单数点 4 4 0 （1）（2）（3）（4） 连通图是是是不是 双数点 1 3 12 4 单数点0 2 0 0
2019-2020年小学三年级奥数下册多笔画及应用问题教案发布:佚名时间:-9-25 15:39:00 来源:京翰教育中心录入:杨人气:1380 【文字：大小】多笔画及应用问题 上一讲中，我们主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题.然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论不能直接用来解决这些问题.因此，在一笔画的基础上，我们有必要对这一类的问题作一些深入研究。 一、多笔画 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.首先，我们来考虑一个不能一笔画成的图，至少用几笔才能画完呢？（为了研究的方便，我们仍然只研究连通图，非连通图可转化为连通图.） 下面，我们就用简单熟悉的图来研究这个问题.通过前面的学习我们已经知道：当奇点个数不是0或2时，图不能一笔画出.因此，我们可以猜想；奇点个数是研究多笔画问题的关键。 观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。 为了表示得清楚一些，我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，第二笔画出的部分用虚线表示，第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出.
奇点个数与笔画数的关系可列表如下： 容易看出，笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n。 细心的同学可能会问：2n是表示一个偶数，但假若有奇数个奇点怎么办？实际上，这种情况不可能出现，连通图中，奇点的个数只能是偶数.想一想，这是为什么呢？ 例1 观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析解答 （1）图中有8个奇结点，因此需用4笔画成。 （2）图中有12个奇点，需6笔画成。 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成。 例2 判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析解答
第10讲学习一笔画 【专题简析】 一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？ 一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。 【例题1】 一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。 思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。 ①②③④ （1）与一条线段相连的点有： （2）与两条线段相连的点有： （3）与三条线段相连的点有： （4）与四条线段相连的点有： 归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。 练习1 1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。
2.下面图形中有哪几个单数点？ B 3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？ B 【例题2】 下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ A C C （1） O （2） B D F （3） D 【思路导航】图（1）中A 、B 、C 、D 、O 五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。 画时可以从任意一点出发。图（2）中A 、C 、D 、F 四个点都是双数点，B 和E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中A 、D 是双数点，B 、 C 、E 和F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。
二年级奥数一笔画
第三讲神奇的一笔画（一） 【本讲知识点】 一笔画是一种有名是数字游戏。所谓一笔画，就是从图形的某一点出发，沿着图上线路，笔不离纸，连续不断而又不重复地经过所有线段画成的图形。总所周知，任何图形都是由点和线组成的，根据从某点出发的线的多少，图形中的点可以分为两类： 1、从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点，也叫偶点。 2、从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点，也叫奇点。 一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点（奇点）的多少。 1、图形中没有单数点（奇点），可一笔完成。画时，任意一个双数点（偶点）既是起点，又是终点。 2、图形中有两个单数点（奇点），可一笔完成。画时，以一个单数点（奇点）为起点，另一个单数点（奇点）为终点。 其他情况的图形都不能一笔完成。 【例题】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？ 2、下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。
3、黑色的鱼和白色的鱼所能游动的河道如下图所示。黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 4、某儿童公园游乐场平面图如下图所示，其中A、B、C、…、I、J表示园中的十处景色。为了方便游客，今打算修出（入）口两处。为了让游客可以从某入（出）口进去后，可以不重复地走完图中所有通道后从另一出（入）口出园。问游乐场的两个出（入）口应修在何处？ 5、下图至少要画几笔才能画成？ 6、邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程有多少千米？
【课堂练习】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？ 2、下图的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、下图是某居民住宅小区的平面图。甲、乙两人分别从P、Q两处出发，沿途参观小区的建设。问甲、乙两人谁先游览完所有的景色？ 4、下图是某新区花圃平面图。如果你想带领客人不重复地参观新区内路旁的每一处的鲜花。你应该带领客人从哪一点开始参观？ 5、下列各图至少要用几笔画完？
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成． 【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点 是偶点？哪些点是奇点？ 【解析】 奇点：J D H F 偶点：A E B C G I 【例 2】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画． N M L K F D E C B A 图b O D C B A 图c G F E D C B A 【解析】 图a 能，因为有2个奇点， 图b 不能，因为图形不是连通的， 例题精讲 奇妙的一笔画
图c能，因为因为图中全是奇点 【例 3】下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 【解析】图1能因为图中全是偶点， 图2能因为图中全是偶点， 图3不能因为有4个奇点． 【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 【解析】第1个能，2、3不能 【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图． 【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出． 【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？ 该怎样爬？ 【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够． 【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 【解析】可以． 【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？
二年级一笔画问题习题及答案 1.下面的各个小图形都是由点和线组成的。请你仔细观察后回答： ①与一条线相连的有哪些点？ ②与二条线相连的有哪些点？ ③与三条线相连的有哪些点？ ④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？ 2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回答： ①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？ ②有2个奇点的图形有哪些？ ③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？
④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？ 3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画画看，然后回答： ①哪些图形能够一笔画成？ ②哪些图形不能一笔画成？ 4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答： ①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形，那么能一笔画出的图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出。这句话说得对吗？ ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？ ③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？ ④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来。这句话对吗？ 5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律。 解答 1.解：见下图 ①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同。）
②与两条线相连的点有： ③与三条线相连的点有： ④与四条及四条以上的线相连的点有： 2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）； ②有2个奇点的图形是： （2）、（3）、（6）、（7）；
人教版小学奥数系列4-1-4奇妙的一笔画A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的! 一、 (共20题；共100分) 1. （5分）从有小黑点的地方出发，用一笔画出下面的图形．(不能重复经过同一条线) 2. （5分）下面是有规则排列的九个点，请你用四条首尾相连的线段 将这九个点连接起来，你能做到么？试试看！ 温馨提示：因为答卷不能涂改请你先在草稿上尝试，不妨用笔沿着你自己创作的折线走一次，（这条路线的结束点可以不与起始点相连）如果笔没有离开纸面你便成功了！ 3. （5分）下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 4. （5分）下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
5. （5分）下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图． 6. （5分）下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？ 7. （5分）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 8. （5分）下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？ 9. （5分）邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？
10. （5分）观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 11. （5分）判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形． 12. （5分）18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来（如图a）．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？
2019年小学二年级奥数下册第六讲七座桥问题练习答案 二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了. 今天，我们小学生也要大胆地研究研究它. 这个问题叫做“七座桥问题”. 当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？ 好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走. 你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！ 可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”. 这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要. 也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想
像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！ 让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来. 在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响. 在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质. 在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂. 在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥. 这样七桥问题就得到了圆满的解决. 这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.
一笔画 【知识要点】 1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。 2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。 3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。 【题目】 1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。 2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？ 3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ A D B E A B A C A B A D E F A C B B C A
5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？ 6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。 7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。 8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？ 9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？ 10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。 A B H C G F E D
11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。 12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。 13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？ 14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B 点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？ 16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？ 17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？ 18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？ A B A B A B C F E A B C E F H I A B
二年级奥数一笔画集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
第三讲神奇的一笔画（一） 【本讲知识点】 一笔画是一种有名是数字游戏。所谓一笔画，就是从图形的某一点出发，沿着图上线路，笔不离纸，连续不断而又不重复地经过所有线段画成的图形。总所周知，任何图形都是由点和线组成的，根据从某点出发的线的多少，图形中的点可以分为两类： 1、从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点，也叫偶点。 2、从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点，也叫奇点。 一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点（奇点）的多少。 1、图形中没有单数点（奇点），可一笔完成。画时，任意一个双数点（偶点）既是起点，又是终点。 2、图形中有两个单数点（奇点），可一笔完成。画时，以一个单数点（奇点）为起点，另一个单数点（奇点）为终点。 其他情况的图形都不能一笔完成。 【例题】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点哪些是偶点 2、下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、黑色的鱼和白色的鱼所能游动的河道如下图所示。黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 4、某儿童公园游乐场平面图如下图所示，其中A、B、C、…、I、J表示园中的十处景色。为了方便游客，今打算修出（入）口两处。为了让游客可以从某入（出）口进去后，可以不重复地走完图中所有通道后从另一出（入）口出园。问游乐场的两个出（入）口应修在何处？ 5、下图至少要画几笔才能画成？ 6、邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短全程有多少千米 【课堂练习】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点哪些是偶点 2、下图的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、下图是某居民住宅小区的平面图。甲、乙两人分别从P、Q两处出发，沿途参观小区的建设。问甲、乙两人谁先游览完所有的景色？ 4、下图是某新区花圃平面图。如果你想带领客人不重复地参观新区内路旁的每一处的鲜花。你应该带领客人从哪一点开始参观？ 5、下列各图至少要用几笔画完？ 【课后练习】
一笔画与多笔画 知识框架 一、一笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题 （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 三、多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成. 重难点 （1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。 （2）知道什么样的图形可以一笔画出。 （3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？
【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪 些点是偶点？哪些点是奇点？ J O I H G F E D C B A 【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？ G F E D C B A 【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指 明画法. 例题精讲
第八讲一笔画前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲 后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲 把里面的人物换成相应红字标明的人物. EK gzj J i f-2 J J J i* f J /. j i / Al i\VN 1 'l p III 11* 1 1 nil ■' t■ ；＜(* j JT /—
一笔画，是指从连通图的一点出发，笔不离纸，每条线都只画一次，不能重复. 一笔画能解决很多实际问题.那么什么样的图形能够一笔画成，什么样的图形不能一笔画 成呢？试着画一画下面的图形吧！ 例题1 （ ） （ ） （ ） 【提示】动手画一画，你知道什么样的图形一定不能一笔画成吗? 练习1 观察下列图形，能一笔画成的打“/”，不能一笔画成的打“X” ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
我们画了这么多图形，不难发现，不连通的图形一定不能一笔画成， 能一笔画成的图形必定是连通图. 连 通图，指的是如果一个图形中的任意两点都是连通的，那么这个图形就是连通图?一个图形可以一笔画成， 除了必须是连通图，还有没有其它的规律和特点呢？我们一起找找吧！ 首先，我们先来认识下面的两个名词： 从一点出发的线条数目是奇数，女口 1、3、5、7、……我们称它为奇点. 从一点出发的线条数目是偶数，如 2、4、6、8、……我们称它为偶点. 奇点、偶点的个数与一个图形能否一笔画成有什么关系呢？我们来看一看下面的题目吧！ 【例题2】下面的各个图形都是由点和线组成的?请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别 【提示】从某一点发出奇数条线，这个点是奇点；从某一点发出偶数条线，这个点是偶点. 有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在 士丁 1 □ (1) (2) 奇点数： () () 偶点数： () () 能否一笔画成： () () ()”里打“V”，不能的在“()”里 宙田 (3) (4) () () () () () () F 面的各个图形都是由点和线组成的?请你仔细观察后回答，各图中的交叉点分别 【练习2】 有几个奇点？几个偶点？能否一笔画成？能的在 里打“x”. ()”里打“V”，不能的在“() (1) (2) 奇点数： () () 偶点数： () () 能否一笔画成： () ()
二年级奥数一笔画Prepared on 21 November 2021
第三讲神奇的一笔画（一） 【本讲知识点】 一笔画是一种有名是数字游戏。所谓一笔画，就是从图形的某一点出发，沿着图上线路，笔不离纸，连续不断而又不重复地经过所有线段画成的图形。总所周知，任何图形都是由点和线组成的，根据从某点出发的线的多少，图形中的点可以分为两类： 1、从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点，也叫偶点。 2、从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点，也叫奇点。 一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点（奇点）的多少。 1、图形中没有单数点（奇点），可一笔完成。画时，任意一个双数点（偶点）既是起点，又是终点。 2、图形中有两个单数点（奇点），可一笔完成。画时，以一个单数点（奇点）为起点，另一个单数点（奇点）为终点。 其他情况的图形都不能一笔完成。 【例题】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点哪些是偶点 2、下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、黑色的鱼和白色的鱼所能游动的河道如下图所示。黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 4、某儿童公园游乐场平面图如下图所示，其中A、B、C、…、I、J表示园中的十处景色。为了方便游客，今打算修出（入）口两处。为了让游客可以从某入（出）口进去后，可以不重复地走完图中所有通道后从另一出（入）口出园。问游乐场的两个出（入）口应修在何处？ 5、下图至少要画几笔才能画成？ 6、邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短全程有多少千米 【课堂练习】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点哪些是偶点 2、下图的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、下图是某居民住宅小区的平面图。甲、乙两人分别从P、Q两处出发，沿途参观小区的建设。问甲、乙两人谁先游览完所有的景色？ 4、下图是某新区花圃平面图。如果你想带领客人不重复地参观新区内路旁的每一处的鲜花。你应该带领客人从哪一点开始参观？ 5、下列各图至少要用几笔画完？ 【课后练习】
一笔画问题 知识定位 一笔画的问题源于著名的“哥德斯堡七桥问题，故事发生在18世纪的哥德斯堡城。流经那里的一条河中优两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游子众多，在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？一笔画问题就是从这个问题演变而来的，也是小学奥数中较为经典较为有趣的内容。 知识梳理 1. 什么是一笔画？ 就是指能一笔画出的话，也就是说笔不离纸能一次把它画出来，图上的每条边都要画到而且不能重复。 2. 什么是奇点，什么是偶数 奇点就是表示从这个点出发的线段为奇数条； 偶数就是表示从这个点出发的线段为偶数条。 3.判断可以一笔画的原则： （1）图形为连通图， （2）奇数点的个数为0或者2. 4. 怎么画一笔画 奇数点个数为0的时候，起点与终点在任意的同一个点上。当奇数点个数为2的时候，起点与终点分别在两个奇点上。 5. 判断几笔画 笔画数=奇点数/2 例题精讲 【试题来源】 【题目】你能试着用一笔把下列图形画出来吗？如果可以，说说你是怎样画的？
【试题来源】 【题目】下图中，说一说哪些点是偶点，哪些点是奇点，再画一画看看它们能不能一笔画出？ 【试题来源】 【题目】下列图形能一笔画成吗？为什么？并试着画一画。 【试题来源】 【题目】下图中的每一个图形，最少需要几笔画出？ 【试题来源】 【题目】下面的图形，要求画过的线段不能重复画，那么这个图形最少多 少笔才能画出。
【试题来源】 【题目】奥迪车的标志是四个环扣在一起的样子： 这个图形能不能一笔画画出呢？ 【选项】A．能B．不能 C．不确定D．以上答案都不对 【试题来源】 【题目】下图中有( )个奇点？ 【选项】A．7个B．6个C．5个D．4个 【试题来源】 【题目】下列图形能一笔画成吗？下面说法正确的是( ) 【选项】A．能一笔画出，因为有偶数个奇点。 B．能一笔画出，因为没有奇点。 C．不能一笔画出，因为有6个奇点。 D．不能一笔画出，因为有4个奇点。 【试题来源】 【题目】下面这座小屋子能不能一笔画出呢？下面说法正确的是( )
小学三年级奥数28一笔画 本教程共30讲 第28讲一笔画(一) 如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重 复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。 同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。 所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？ 当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，A，B，C，E，F，G，I是偶点，D，H，J，O是奇点。 欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)； (2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。 利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。 顺便补充两点： (1)一个图形的奇点数目一定是偶数。 因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。 (2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
第五讲一笔画问题 一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图） 这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图） 经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？
能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？ 先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.
第三讲神奇的一笔画（一） 【本讲知识点】 一笔画是一种有名是数字游戏。所谓一笔画，就是从图形的某一点出发，沿着图上线路，笔不 离纸，连续不断而又不重复地经过所有线段画成的图形。总所周知，任何图形都是由点和线组成的，根据 从某点出发的线的多少，图形中的点可以分为两类： 1、从一点出发的线的条数是双数，这点称为双数点，也叫偶点。 2、从一点出发的线的条数是单数，这点称为单数点，也叫奇点。 一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点（奇点）的多少。 1、图形中没有单数点（奇点），可一笔完成。画时，任意一个双数点（偶点）既是起点，又是 终点。 2、图形中有两个单数点（奇点），可一笔完成。画时，以一个单数点（奇点）为起点，另一个 单数点（奇点）为终点。 其他情况的图形都不能一笔完成。 【例题】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？ 2、下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、黑色的鱼和白色的鱼所能游动的河道如下图所示。黑色的鱼在 A 点位置，白色的鱼在 B 点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？
4、某儿童公园游乐场平面图如下图所示，其中 A 、 B 、C、、 I 、 J 表示园中的十处景色。为了方便游客，今打算修出（入）口两处。为了让游客可以从某入（出）口进去后，可以不重复地走完图 中所有通道后从另一出（入）口出园。问游乐场的两个出（入）口应修在何处？ 5、下图至少要画几笔才能画成？ 6、邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，怎样走路程 最短？全程有多少千米？ 【课堂练习】 1、判断下列图中的点，哪些是奇点？哪些是偶点？ 2、下图的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。 3、下图是某居民住宅小区的平面图。甲、乙两人分别从P、Q 两处出发，沿途参观小区的建设。问甲、乙两人谁先游览完所有的景色？
第一讲一笔画问题 小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗? 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图 形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们 就一起来学习一笔画的规律。 分析 图（1） 一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画 到同一点结束。 经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。 图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔 画出，且从任何一点出发都可以。 例【1】 F 面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画 ? (1 ) （2） （3） （4）
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条
数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。 再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。 这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。 例【2】下面各图能否一笔画成？ （1）（2） （3） 分析图（1 ）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。 关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A —B —*C —A k D — C。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。 经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。 解图（1 ）、（2）可以一笔画。
(1) 例【4】 下图中，图（1） 至少要画几笔才能画成? D 这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关 系。 如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只 有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。 分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。 图（2）有10个奇点，大于2,不能一笔画成。 图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。 解图（1）的画法见下图 例【3】 F 面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出 ? C
一笔画问题 知识框架 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。 能否一笔画成，先看是不是连通图形，不连通图形一定不能一笔画成。 连通图形，关键在于判别奇点、偶点的个数。 一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。 二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形， 然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。 例题精讲 【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1）（2）（3）（4） 【例2】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？ （1）（2）（3）（4） 【例3】下面的各个小图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：
①与一条线相连的有哪些点? ②与二条线相连的有哪些点? ③与三条线相连的有哪些点? ④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点? 【例4】下面各图能否一笔画成？ （1）（2）（3）【例5】下面这几个字都能一笔写出来吗? 【例6】下面这几个字母都能一笔写出来吗? 【例7】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
【例8】下图中，至少要画几笔才能画成？ 【随练1】德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物 之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个 走法? 好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走． 【随练2】在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和 河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到 达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次) A O B C D 课堂检测
一、计算题。( 共101题) 1.图2-26是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填在8个小圆圈中。要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18。 答案： 2.在图2-24中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。 答案：15=1+2+5+7，15=1+3+4+7，15=1+3+5+6，15=2+3+4+6 其中1和3用的次数最多，图中最中间的部分被三个圆包围，所以1和3应该填在里面。但题目总3已填好，所以只能填1。1填好后其他的也就好确定了。答案见下图
3.图2-23中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈。请你把1、2、3、4、5、6六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14。 答案：案把14拆成4个自然数的和，如下 14=1+2+5+6; 14=1+3+4+6; 14=2+3+4+5。 先把一个数填入，然后试一下确定其他数的位置。 答案如下图 4.将2、4、6、8、10、12、14、16、18填在下面图表，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加的和都相等。
答案：案九宫格填九数的方法，确定中间是10最关键了，然后我们对这些数加和除以3，就有了相等的和应该是30，图形如下(有很多种，但是中间那个肯定是10) 5.仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图? 答案： 6.请看下图，共有多少个正方形? 答案：30 个正方形。 小结小方格16 个，4 个小方格为一个正方形共 9 个，9 个小方格为一个正方形共 4 个，最大的(16 个小方格)是 1 个。 16+9+4+1=30(个)共计 30 个正方形。 7.仔细观察这些图案可以发现，他们是按照下面这5个图案为一组，循环往复排列的，请问第52个图形是什么?