课时作业(九)[利用二次函数解决营销等最值问题]
一、选择题
1.鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天所获利润y(元)与销售单价x(元/顶)满足关系y=-x2+70x-800,要想获得最大利润,则销售单价为()
A.30元/顶
B.35元/顶
C.40元/顶
D.45元/顶
2.某类产品按工艺共分为10个档次,最低档次产品每件利润为8元,每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是()
A.第7档次
B.第8档次
C.第9档次
D.第10档次
3.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是()
A.12.5cm2
B.25cm2
C.20cm2
D.40cm2
4.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产,现有一生产季节性产品的企业,每个月获得的利润y(万元)与月份n之间的函数表达式是y=-n2+15n-36,那么该企业一年中应停产的月份是()
A.1月,2月
B.1月,2月,3月
C.3月,12月
D.1月,2月,3月,12月
二、填空题
5.[2019·天门]矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是.
6.某种商品每件进价为20元,经调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,则可卖出(30-x)件.若要使利润最大,则每件的售价应为元.
7.如图K-9-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开
始沿边AB向终点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B
开始沿边BC向终点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分
别从点A,B同时出发,那么经过s,四边形APQC的面积最小.图K-9-1
8.为净化水源,某水产养殖企业在净化水源的同时,为谋求养殖利润最大化,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y1=-x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图K-9-2所示.五一之前,月份出售这种水产品每千克的利润最大.
图K-9-2
三、解答题
9.[2020·广元]某网店正在热销一款电子产品,其成本为10元/件,销售过程中发现,该电子产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在如图K-9-3所示的关系.
(1)请求出y与x之间的函数关系式;(不必写自变量的取值范围)
(2)该款电子产品的销售单价为多少元/件时,每天的销售利润最大?最大销售利润是多少元?
图K-9-3
10.如图K-9-4,有长为24m的篱笆,现利用一面墙(墙的最大可用长度a为9m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD,设AB边的长为x m,面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数表达式及x的取值范围;
(2)要围成面积为36m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)当AB的长是多少米时,围成的花圃面积最大?
图K-9-4
11.[2019·通辽]书店为满足广大顾客对同名科幻小说《流浪地球》的需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当每本售价为25元时,每天的销售量是250本;每本售价每上涨1元,每天的销售量就减少10本.书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与每本售价x(元)之间的函数表达式及自变量的取值范围;
(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠a(0 [分类讨论][2019·咸宁]某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的函数关系如图K-9-5所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=-2x+120. (1)第40天,该厂生产该产品的利润是元. (2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元. ①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少; ②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天? 图K-9-5 教师详解详析 [课堂达标] 1.[解析]B∵y=-x2+70x-800=-(x-35)2+425,∴当x=35时,y取得最大值,最大值为425,即销售单价为35元/顶时,销售利润最大.故选B. 2.[解析]C档次提高时,带来每件利润的提高,产量下降,第k档次时,每件利润为[8+2(k-1)]元,产量为[60-3(k-1)]件,根据利润=每件利润×产量列函数表达式,利用配方法求函数的最值,即可得到结论. 由题意,得第k档次时,可获利润y=[8+2(k-1)]·[60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10,且k为整数),配方,得y=-6(k-9)2+864, ∴当k=9时,获得利润最大.故选C. [点评]本题考查学生利用二次函数的知识解决实际问题的能力.当档次提高时,带来每件利润的提高,及产量的下降,列函数表达式时,要注意这“一增一减”. 3.[解析]A设其中一段铁丝的长为4x cm,则另一段的长为(20-4x)cm.两个正方形的面积之和 S=x2+2=2x2-10x+25=2x-2+12.5,即当x=时,两个正方形的面积之和最小,为12.5 cm2. 4.D 5.[答案]100 [解析]设矩形的宽为x,则长为20-x, 面积S=x(20-x)=-x2+20x=-(x-10)2+100,当x=10时,S有最大值为100,故答案为100. 6.[答案]25 [解析]设利润为y元,则y=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25.因为a=-1<0,所以当x=25时,y有最大值. 7.3 8.[答案]4 [解析]设这种水产品每千克的利润为y元. 由题意,得 解得∴y2=x2-x+, ∴y=y1-y2=-x+36-x2-x+=-x2+x+6=-(x-6)2+11. ∵a=-<0,∴抛物线开口向下,由函数图像知:在对称轴直线x=6的左侧,y随x的增大而增大. 又∵1≤x<5,∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.故答案为4. 9.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0), 将(20,100),(25,50)代入y=kx+b, 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+300. (2)设该款电子产品每天的销售利润为w元, 由题意得w=(x-10)·y=(x-10)(-10x+300)=-10x2+400x-3000=-10(x-20)2+1000. ∵-10<0,∴当x=20时,w有最大值,最大值为1000, ∴该款电子产品的销售单价为20元/件时,每天的销售利润最大,最大销售利润为1000元. 10.解:(1)根据题意,得S=x(24-3x), 即所求的函数表达式为S=-3x2+24x, 又∵x>0,0<24-3x≤9, ∴5≤x<8. (2)根据题意,得-3x2+24x=36. 整理,得x2-8x+12=0, 解得x1=2,x2=6. ∵5≤x<8,∴x=6, ∴AB的长为6m. (3)S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48. ∵5≤x<8,函数图像的对称轴为直线x=4,且开口向下, ∴当x=5时,花圃面积最大, 最大面积为-3×(5-4)2+48=45(m2). 故当AB的长是5m时,围成的花圃面积最大. 11.解:(1)根据题意,得y=250-10(x-25)=-10x+500(30≤x≤38). (2)设每天扣除捐赠后获得的利润为w元. 根据题意,得w=(x-20-a)(-10x+500)=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30≤x≤38). 函数图像开口向下,对称轴为直线x=35+a,且0 则当x=35+a时,w取得最大值,∴35+a-20-a-1035+a+500=1960, 解得a1=2,a2=58(不合题意,舍去),∴a=2. [素养提升] 解:(1)由图像可知,第40天的成本为40元/件,产量为z=-2×40+120=40(件), 则第40天的利润为(80-40)×40=1600(元). 故答案为1600. (2)①设0 解得 ∴当0 当0 2450. ∴当x=25时,w 最大值= 当30 2320. ∵w随x的增大而减小,∴当x=31时,w 最大值= ∴w= 第25天的利润最大,最大利润为2450元. ②当0 ∵抛物线w=-2(x-25)2+2450开口向下, 由其图像可知,当20≤x≤30时,w≥2400, 此时,当天利润不低于2400元的天数为30-20+1=11(天). 当30 综上所述,在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有11天.
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