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控制系统课程设计--哈工大-倒立摆

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计说明书（论文）

课程名称：控制系统设计课程设计

设计题目：直线一级倒立摆控制器设计

院系：航天学院自动化专业

班级：

设计者：

学号：

指导教师：

设计时间：09.08.31 ——09.09.18

哈尔滨工业大学

1.任务书-----------------------------------------------------------2

2.理论模型建立和分析-----------------------------------------4

3.PID控制器设计与调节--------------------------------------9

4.状态空间极点配置控制器设计----------------------------15

5.问题的进一步讨论-------------------------------------------24

6.设计结论与心得体会----------------------------------------25

*注：此任务书由课程设计指导教师填写。

第一章理论模型的建立及分析

1.1直线一阶倒立摆数学模型的推导

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。

b p

I θ

图1-1（a ）小车隔离受力图（b ）摆杆隔离受力图

本系统相关参数定义如下：

M : 小车质量 m ：摆杆质量

b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力

x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角

θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向受到的合力，可以得到下面等式：

Mx F bx N =--&&& （1-1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

()

2sin d N m x l dt θ=+

（1-2）

2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&& （1-3）

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

()2cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-=&&&&&&

（1-4）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

()

2cos d P mg m l dt θ-=-

（1-5）

2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+&&&

（1-6）

力矩平衡方程如下：

sin cos Pl Nl I θθθ--=&&

（1-7）

注意：此方程中力矩的方向，由于错误!未找到引用源。

,cos cos ,sin sin θπφφθφθ=+=-=-错误!未找到引用源。，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

()2

sin cos I ml mgl mlx θ

θθ++=-&&&&

（1-8）

1.1.1微分方程模型

设错误!未找到引用源。（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小,即1φ=，则可以进行近似处理：错误!未找到引用源。

cos 1,sin ,(

)0d dt

θθθφ=-=-=错误!未找到引用源。。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：

()()2M m x bx ml u I ml mgl mlx φφφ?++-=??+-=??&&&

&&&&&& （1-9）

1.1.2传递函数

对以上微分方程组进行拉普拉斯变换，得到

()()22

222

()()()()()()()M m X s s bX s ml s s U s I ml s s mgl s mlX s s ?++-Φ=??+Φ-Φ=?? （1-10）

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度为φ，求解方程组上述方程组的第一个方程，可以得到

()22()()

I ml g X s s ml s ??

+??=-Φ???? （1-11）

或者

()222()()s mls X s I ml s mgl

Φ=

+- （1-12）

如果令x

ν=&&，则有

()222()0.06

()0.0240.588

s ml V s s I ml s mgl Φ==

-+- （1-13）

把上式代入10式，则有：

()()()222222()()()()I ml I ml g g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s ????

++?

???+-Φ+-Φ-Φ=????????

（1-14）整理得到以输入力为输入量，摆杆角度为输出量的传递函数：

()()2

12432()()()

ml s s q G s U s b I ml M m mgl bmgl s s s s

Φ=

=+++

- （1-15）

其中()()

()22

q M m I ml ml ??=++-?

1.1.3状态空间数学模型

由现代控制原理可知，控制系统的状态方程可写成如下形式：

AX Bu Y CX Du =+=+&

（1-16）

可得代数方程，得到如下解：

()()()()()()()()()2222222222x x I ml b I ml m gl x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mgl M m mlb ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ=??-++?=++?++++++??=??+-?=++?++++++?

&&&&&&&&&& （1-17）

整理后得到系统状态空间方程：

()()()()()()()()()2

010000

100010000010x x I ml b I ml m gl x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml

x y φφφφφ-++++++++=+-+++++++==??

???

?????????????

??????????????????????????????

???

???????

???????????&&&&&

&&&00x x

u φφ+????????????????????????????

??????

（1-18）

由(1-9)的第二个方程为:

()2

I ml mgl mlx φ

φ+-=&&&& 对于质量均匀分布的摆杆有:

I ml 于是可以得到:

2213ml ml mgl mlx φφ??+-= ???

&& 化简得到:

44g x

l l

φφ==

+&&&& （1-19）

设T

X x x φφ??=????

g g

，'

u x =g g ，则有：

'0100000

001000

100001

000000

003344x x x x x x x

y u u g

l φφφ

φφφφ=+==

+???

?????

??????

?????????????????????????????????????????????????

???????????????????????????????

&&&&&&&&&& （1-20）实际系统参数如下：

M : 小车质量 0.5kg m ：摆杆质量 0.2kg

b ：小车摩擦系数 0.1N/m/se

c l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m I ：摆杆惯量 0.006kg*m*m

把上述参数带入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：

2()0.06()0.0240.588

s s X s s Φ=- （1-21）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：

()0.06

()0.0240.588

s V s s Φ=- （1-22）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数

432()50()11237349s s U s s s s s

Φ=+-- （1-23）以外界作用力作为输入的系统状态方程：

010********-0551100001503430-0111110000001

002

11511x x x x u x x

y u φφφφφφφ=+==+???

??????????????????

????

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

??&&&&&&&&&&

（1-24）以小车加速度作为输入系统的系统状态方程：

1000000010001000

0000

0024.5 2.5x x x

x x x

y u u φφφφφφφ=+==

+??????

????????????????????????

???????????

?????

????????????????????????????

&&&&&&&&&& （1-25）

1.2系统阶跃响应分析

在matlab 中键入以下命令：

得到如下结果：

图1-2 直线一阶校正前倒立摆单位阶跃响应仿真

可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。

第二章直线一级倒立摆PID 控制器设计

本章主要利用PID 控制算法对直线一级倒立摆系统进行控制器设计。在设计的过程中，要求熟悉控制参数P K 、I K 、D K 对系统性能的影响，然后按照所要求的控制指标并综合实际响应结果恰当地调整参数。运用MATLAB 仿真软件可以快捷地进行系统仿真和参数调整，本章第2节的内容即是运用MATLAB 软件对PID 控制系统的设计和仿真。第3节中，将对控制系统进行实际的运行和参数调试，以获得一组最佳的PID 控制参数。

设计目的：

学习PID 控制器的设计方法，了解控制器各个参数对系统性能的影响，学会根据控制指标要求和实际响应调整PID 控制器的参数。

设计要求：

设计PID 控制器，使得当在小车上施加0.1N 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；

（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。设计报告要求：

（1）给出系统摆杆角度和小车位置的仿真图形及控制器参数，并对各个参数对系统控制效果的影响进行说明；

（2）给出实际控制曲线和控制器参数，对响应的动态和静态指标进行分析。

D 控制系统原理框图如下所示，系统由模拟PID 控制器KD （S ）和被控对象G （S ）组成。 PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差e(t)

()()()e t r t y t =-

将偏差的比例（P ），积分（I ）和微分（D ）通过线性组个构成控制量，对被控对象进行控制，谷称为PID 控制器。其控制规律为：

1()

()[()()]t

p D I de t u

t K e t e t dt T T dt

=++?

或写成传递函数的形式：

()1()[1]()p D I U s G s K T s E s T s

=++ 在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成：

()

()()I p D K U s G s K K s E s s

=++ 简单来说,PID 控制器各个校正环节的作用如下:

（1）比例环节：成比例的反应控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。

（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数T1，T1越大，积分作用越弱，反之则越强。

（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。

这个控制问题，输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统一个扰动，观察摆杆的响应，系统框图如下：

图2-1直线一级倒立摆PID 控制系统框

图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递函数。考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成

图2-2 直线一级倒立摆PID 控制简化系统框图

该系统的输出为

)())(())(()

()

)(())((1)()

()(1)()(s F num numPID den denPID denPID num s F den denPID num numPID den num

s F s G s KD s G s y +=+

=+=

其中，num ——被控对象传递函数的分子项 den ——被控对象传递函数的分母项

numPID ——PID 控制器传递函数的分子项 denPID ——PID 控制器传递函数的分母项通过分析上式可以得到系统的各项性能。

由（2-13）可以得到摆杆角度和小车加速度的传递函数：

()22()()s ml

V s I ml s mgl

Φ=

PID 控制器的传递函数为：

2()I D P I p D K K s K s K numPID

KD s K K s s s denPID

++=++==

只需调节PID 控制器的参数，就可以得到满意的效果。

小车的位置输出为：

2()()X s s V s =

通过对控制量双重积分可以得到小车的位置。

2.2 PID 控制参数设定及MATLAB 仿真

通过不断的调试，最后p K =80，I K =20，D K =15。系统MATLAB 仿真模型如下：

图2-3一阶倒立摆PID 控制MATLAB 仿真模型

其输入0.1N 的脉冲响应如下：

图2-4直线一阶倒立摆PID控制仿真结果图

可以看出，在3.68s的时候系统已经稳定了，并且在稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制小车摆杆的角度，并不能控制小车的位置。

2.3 PID控制实验

MATLAB版实验软件下的实验步骤：

(1) 打开直线一级倒立摆PID控制界面如图2-5所示：（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ PID Experiments”中的“PID Control Demo”）2) 双击“PID”模块进入PID 参数设置，如图2-6所示，把仿真得到的参数输入PID控制器，点击“OK”保存参数。

图2-5直线一级倒立摆MATLAB 实时控制界面

图2-6 参数设计调整

(3) 点击编译程序，完成后点击使计算机和倒立摆建立连接。

(4) 点击运行程序，检查电机是否上伺服。缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，在程序进入自动控制后松开，当小车运动到正负限位的位置时，用工具挡一下摆杆，使小车反向运动。

(5) 实验结果如下图所示：

图2-7 PID控制实验结果1

图2-8 PID控制实验结果2（施加干扰）

从图2-7中可以看出，倒立摆可以实现较好的稳定性，摆杆的角度在3.14（弧度）左

右。PID控制器并不能对小车的位置进行控制，小车会沿滑杆有稍微的移动。在给定干扰的情况下，小车位置和摆杆角度的变化曲线如图2-8所示，可以看出，系统可以较好的抵换外界干扰，在干扰停止作用后，系统大约3.2s达到稳态，稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化远小于0.1弧度。最后，选择实验室结果的最佳数据取100,40,10。

2.4 PID系统的优缺点

优点：PID控制优点明显，应用广泛。PID能消除稳态误差；同时可以减少超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高；并且能加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。

缺点：PID控制的过度期比较长，上升过程中波动明显；当然，较好的PID控制效果是以已知被控对象的精确数学模型为前提的，当被控对象的数学模型未知时，PID控制的调试将会有很大的难度。

第三章状态空间极点配置控制器设计

经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。

设计目的：

学习状态空间极点配置控制器的设计方法，分析各个极点变化对系统性能的影响，学会根据控制指标要求和实际响应调整极点的位置和控制器的参数。

设计要求：

设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：

（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒

（2）x的上升时间小于1秒

（3）θ的超调量小于20度（0.35弧度）

（4）稳态误差小于2%。

设计报告要求：

（1）给出系统摆杆角度和小车位置的仿真控制图形及控制器参数，并对极点的位置和各个参数对系统控制效果的影响进行分析；

（2）给出实际控制曲线和控制器参数，并对响应的动态和静态指标进行分析。

3.1 状态空间分析

状态反馈闭环控制系统原理图如图3-1所示。

图3-1 状态反馈闭环控制原理图

状态方程为：

AX Bu =+& 式中：X 为状态向量（n 维），u 为控制向量（纯量），A 为n n ?维常数矩阵，B 为1n ?维常数矩阵。

选择控制信号：

u KX =-

求解上式，得到

()()()x t A BK x t =-&

方程解为：

()(

)()0A BK t

x t e x -=

可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t 趋于无穷时，都可以使()x t 趋于0。

极点配置的设计步骤：

(1) 检验系统的可控性条件。 (2) 从矩阵A 的特征多项式

111n n n n sI A s a s a s a ---=++++L

来确定12,,n a a a L 的值。

(3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵T ：

T MW = 其中M 为可控性矩阵，

1n M B AB A B -??=??M M L

212

3111001001000n n n n a a a a a W a ----??

????

??=??

??????

L M

M M M M L L (4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式

()()()111111n n n n s s s s s s μμμααα-----=++++L L

并确定12,,n αααL 的值。

(5) 需要的状态反馈增益矩阵K 由以下方程确定：

[]1112211n n n n K a a a a T αααα---=----L

3.2 极点配置及MATLAB 仿真

前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状

态方程为：

0000001000100

024.50 2.5x x x x u φφφφ????????

????????????????'=+????????

????????

&&&&&&&&

10000

00100x x x y u φφφ????????????'==+??????????????

??????

&& 于是有：

0000000

024.50A ?????

?=??????，0102.5B ??

????=????

，10000010C ??=????

，00D ??=????

直线一级倒立摆的极点配置转化为：

选2

10.1p e π

ζ-

-?==，42n ts w ζ=

=，解得ζ=0.59，wn=3.39，21r n t w ζ

=-=0.804，

符合要求。

求得闭环主导极点为：2 2.74i -±，选取另两个极点为-14，-14。则：

对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约3秒）和合适的阻尼。

方法一：

倒立摆极点配置原理图如图3-2所示。

图3-2 倒立摆极点配置原理图

极点配置步骤如下：

(1) 检验系统可控性（略） (2) 计算特征值

根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2秒），我们选取期望的闭环极点

()1,2,3,4i s i μ==，其中：

123414,142 2.74,2 2.74j j μμμμ=-=-=-+=--

其中，34,μμ是一对具有0.59, 3.39n ζω==的主导闭环极点，12,μμ位于主导闭环极

点的左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为：

()()()()()()()()123443214142 2.742 2.7432319.511106.212255.49

s s s s s s s j s j s s s s μμμμ----=+++-++=++++

因此可以得到：

123432,329.51,1106.21,2255.49αααα==== 由系统的特征方程：

421

0000024.50010024.5s s sI A s s s s s -??????-=

=-??-??-??

因此有

12340,24.5,0,0a a a a ==-== 系统的反馈增益矩阵为：

[]144332211K a a a a T αααα-=----

(3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵T ：

T MW = 式中：23010

010000 2.5061.252.50

61.250M B AB A B A B ??

??????==????

??M M M 3212

1110

24.5011024.5010100010010001

000a a a a a W a -????????-????==????

???

????? 于是可以得到：

24.5

010024.50100 2.50000 2.5T MW -????-??==

??????

10.0408

00.0163000.040800.0163000.4000000.40T --????-??=????

?? (4) 状态反馈增益矩阵K 为：

[][][]

3322

110.0408

00.01630

0.0408

00.01632255.490

1106.210319.5124.5

320*000.400

0.4092.0240

45.1334174.3685

30.8231K a a a a T αααα-=----?-?????

?-??

?=--+-??????

????

???=--

得到控制量为：92.02445.1334174.368530.8231u KX x x φφ=-=+--&&；以上计算可以采用

MATLAB编程计算。直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程序1：

clear;

A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];

B=[0 1 0 2.5]';

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0 0]';

J=[-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];

pa=poly(A);pj=poly(J);

M=[B A*B A^2*B A^3*B];

W=[pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0];

T=M*W;

K=[pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)]*inv(T);

Ac=[(A-B*K)];

Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];

T=0:0.005:5;

U=0.2*ones(size(T));

Cn=[1 0 0 0];

Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);

Bcn=[Nbar*B];

[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);

plot(T,X(:,1),'-');hold on;

plot(T,X(:,2),'-.');hold on;

plot(T,X(:,3),'.');hold on;

plot(T,X(:,4),'-');hold on;

legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd')

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inve rted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Experiments”中的“Poles Control M File1”）运行得到以下结果：

运行结果如下：

K = [-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]

可以看出，给定系统干扰后，倒立摆可以在2s 内很好的回到平衡位置

方法二：

矩阵（A －BK ）的特征值是方程式()0sI A BK --=的根：

[]1

40000

10000000

000100000

00100

000

00s s k

k k k s s a b ??????

????????????--=??????

???

????????????

这是s 的四次代数方程式，可表示为

()()4322413210s k bk s a k bk s ak s ak +++-++--=

适当选择反馈系数1234,,,k k k k 系统的特征根可以取得所希望的值。

把四个特征根1234,,,λλλλ设为四次代数方程式的根，则有

()()()432123412233441132412323434141212340

s s s s λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++++++-++++=

比较两式有下列联立方程式

()241234k bk s λλλλ+=-+++

13122334411324a k bk λλλλλλλλλλλλ-++=+++++

()2123234341412ak λλλλλλλλλλλλ-=-+++

11234ak λλλλ-=

如果给出的1234,,,λλλλ是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数1234,,,k k k k 。

当将特征根指定为下列两组共轭复数时 1234,,,2 2.74,14,14j λλλλ=-±-- 又 24.5, 2.5a b ==

利用方程式可列出关于1234,,,k k k k 的方程组： 24332k k +=

1324.53319.51k k -++= 224.51106.21k -= 124.52255.49k -=

利用如下直线一级倒立摆状态空间极点配置MATLAB 程序2。

clear;

syms a s b k1 k2 k3 k4;

A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 a 0]; B=[0 1 0 b]';

SS=[s 0 0 0;0 s 0 0;0 0 s 0;0 0 0 s]; K=[k1 k2 k3 k4];

J=[-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i]; ans=A-B*K; P=poly(ans) PJ=poly(J)

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum \Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Experiments”中的“Poles Control M File2”）

求解后得K = [-92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606]。即施加在小车水平方向的控制力u ：

92.060845.1515174.427430.8606u KX x x φφ=-=+--&&

可以看出，和方法一的计算结果一样。

3.3极点配置实验

实验步骤如下：

(1)进入MATLAB Simulink 中“ \\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\InvertedPendulum \ Linear Inverted Pendulum , ”目录，打开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下：

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum \Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\Poles

自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计

一、引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。

单级倒立摆系统的分析与设计

单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型

单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0

最优化方法课程设计实验报告_倒立摆

倒立摆控制系统控制器设计实验报告

成员：陈乾睿 2220150423 郑文 2220150493 学院：自动化倒立摆控制系统控制器设计实验一、实验目的和要求 1、目的（1）通过本设计实验，加强对经典控制方法（LQR控制器、PID控制器）和智能控制方法（神经网络、模糊控制、遗传算法等）在实际控制系统中的应用研究。（2）提高学生有关控制系统控制器的程序设计、仿真和实际运行能力. （3）熟悉MATLAB语言以及在控制系统设计中的应用。 2、要求（1）完成倒立摆控制系统的开环系统仿真、控制器的设计与仿真以及实际运行结果（2）认真理解设计内容，独立完成实验报告，实验报告要求：设计题目，设计的具体内容及实验运行结果，实验结果分析、个人收获和不足，参考资料。程序

清单文件。二、实验内容倒立摆控制系统是一个典型的非线性系统，其执行机构具有很多非线性，包括：死区、电机和带轮的传动非线性等。本设计实验的主要内容是设计一个稳定的控制系统，其核心是设计控制器，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真实验，并在倒立摆控制实验平台上实际验证。算法要求：使用LQR以外的其它控制算法。三、倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的应用开发前景。倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：非线性，不确定性，耦合性，开环不稳定性，约束限制。经过相关论文和文献的查询，我们决定采用模糊控制的方法进行倒立摆的控制。

哈工大自动控制原理大作业

自动控制原理大作业（设计任务书）姓名：院系：班级：学号： 5. 参考图5 所示的系统。试设计一个滞后-超前校正装置，使得稳态速度误差常数为20 秒-1，相位裕度为60

度，幅值裕度不小于8 分贝。利用MATLAB 画出已校正系统的单位阶跃和单位斜坡响应曲线。 + 一．人工设计过程 1.计算数据确定校正装置传递函数为满足设计要求，这里将超前滞后装置的形式选为 ) 1)(() 1)(1()(2 12 1T s T s T s T s K s G c c ββ++++= 于是，校正后系统的开环传递函数为)()(s G s G c 。这样就有 )5)(1()(lim )()(lim 00++==→→s s s K s sG s G s sG K c c s c s v 205 ==c K 所以 100=c K 这里我们令100=K ，1=c K ，则为校正系统开环传函) 5)(1(100 )(++= s s s s G

首先绘制未校正系统的Bode 图由图1可知，增益已调整但尚校正的系统的相角裕度为? 23.6504-，这表明系统是不稳定的。超前滞后校正装置设计的下一步是选择一个新的增益穿越频率。由)(ωj G 的相角曲线可知，相角穿越频率为2rad/s ，将新的增益穿越频率仍选为2rad/s ，但要求2=ωrad/s 处的超前相角为? 60。单个超前滞后装置能够轻易提供这一超前角。一旦选定增益频率为2rad/s ，就可以确定超前滞后校正装置中的相角滞后部分的转角频率。将转角频率2/1T =ω选得低于新的增益穿越频率1个十倍频程，即选择2.0=ωrad/s 。要获得另一个转角频率)/(12T βω=，需要知道β的数值，对于超前校正，最大的超前相角m φ由下式确定 1 1 sin +-= ββφm 因此选)79.64(20 ==m φβ，那么，对应校正装置相角滞后部分的极点的转角频率为 )/(12T βω=就是01.0=ω，于是，超前滞后校正装置的相角滞后部分的传函为 1 1001 520 01.02.0++=++s s s s 相角超前部分：由图1知dB j G 10|)4.2(|=。因此，如果超前滞后校正装置在2=ωrad/s 处提供-10dB 的增益，新的增益穿越频率就是所期望的增益穿越频率。从这一要求出发，可以画一条斜率为-20dB 且穿过（2rad/s ，-10dB ）的直线。这条直线与0dB 和-26dB 线的交点就确定了转角频率。因此，超前部分的转角频率被确定为s rad s rad /10/5.021==ωω和。因此，超前校正装置的超前部分传函为 )1 1.01 2(201105.0++=++s s s s 综合校正装置的超前与之后部分的传函，可以得到校正装置的传递函数)(S G c 。即) 1100)(11.0() 15)(12(01.02.0105.0)(++++=++++= s s s s s s s s s G c 校正后系统的开环传递函数为

自动控制原理课程设计-倒立摆系统控制器设计

1 引言支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。 1.1 问题的提出倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.2 倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，

需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。 2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设： M小车质量m摆杆质量 b小车摩擦系数I 摆杆惯量

倒立摆实验报告

倒立摆实验报告机自82 组员：李宗泽李航刘凯付荣

倒立摆与自动控制原理实验一．实验目的: 1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、频率响应分析、PID 控制分析等内容. 2.运用现代控制理论中的线性最优控制LQR 方法实验控制倒立摆 3.学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统 4.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用 5.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。二. 实验设备计算机及等相关软件固高倒立摆系统的软件固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三．倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种

技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，本次实验采用的是直线一级倒立摆。倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性2) 不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5) 约束限制倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，本小组采用的控制方法有：PID 控制、双PID 控制、LQR控制、模糊PID控制、纯模糊控制四．直线一级倒立摆的物理模型：系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励

哈工大_控制系统实践_磁悬浮小球

研究生自动控制专业实验地点：A区主楼518房间姓名：实验日期：年月日斑号：学号：机组编号：同组人：成绩：教师签字：磁悬浮小球系统实验报告主编：钱玉恒，杨亚非哈工大航天学院控制科学实验室

磁悬浮小球控制系统实验报告一、实验内容 1、熟悉磁悬浮球控制系统的结构和原理； 2、了解磁悬浮物理模型建模与控制器设计； 3、掌握根轨迹控制实验设计与仿真； 4、掌握频率响应控制实验与仿真； 5、掌握PID控制器设计实验与仿真； 6、实验PID控制器的实物系统调试；二、实验设备 1、磁悬浮球控制系统一套磁悬浮球控制系统包括磁悬浮小球控制器、磁悬浮小球实验装置等组成。在控制器的前部设有操作面板，操作面板上有起动/停止开关，控制器的后部有电源开关。 2、磁悬浮球控制系统计算机部分磁悬浮球控制系统计算机部分主要有计算机、1711控制卡等；三、实验步骤 1、系统实验的线路连接磁悬浮小球控制器与计算机、磁悬浮小球实验装置全部采用标准线连接，电源部分有标准电源线，考虑实验设备的使用便利，在试验前，实验装置的线路已经连接完毕。 2、启动实验装置通电之前，请详细检察电源等连线是否正确，确认无误后，可接通控制器电源，随后起动计算机和控制器，在编程和仿真情况下，不要启动控制器。 3、系统实验的参数调试根据仿真的数据及控制规则进行参数调试（根轨迹、频率、PID等），直到获得较理想参数为止。四、实验要求

1、学生上机前要求学生在实际上机调试之前，必须用自己的计算机，对系统的仿真全部做完，并且经过老师的检查许可后，才能申请上机调试。学生必须交实验报告后才能上机调试。 2、学生上机要求上机的同学要按照要求进行实验，不得有违反操作规程的现象，严格遵守实验室的有关规定。五、系统建模思考题 1、系统模型线性化处理是否合理，写出推理过程？答：磁悬浮系统的模型可描述如下 ()()()()()2221d x t m F i,x mg dt i F i,x K x di U t Ri t L dt ?=+??????=? ?????=+??? (1) 又有系统平衡的边界条件如下 ()0F i,x mg += (2) 由级数理论，将非线性函数展开为泰勒级数，在平衡点()00,i x 对系统进行线性化处理。对(1)式作泰勒级数展开并省略高阶项可得 0000(,)(,)(-)(-)i x F i x F i x K i i K x x =++ (3) 又由(2)式可知，对2i F(i,x )K()x =求偏导数得 2000000320022x x i i Ki Ki K F (i ,x )K F(i ,x )x x ==-==， (4) 则由(1)式可得 22000022300 22(-)(-)i x Ki Ki d x m K i i K x x i x dt x x =+=- (5) 对(5)进行拉普拉斯变换并带入编辑方程可得系统的开环传递函数 2001x(s )-i(s )a s -b = (6) 定义系统对象的输入量为功率放大器的输入电压也即控制电压in U ，系

倒立摆系统的控制器设计

摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 02()0.02725()()0.01021250.26705s G s V s s Φ==- ………… (1) 即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用Matlab 中的Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发

散的。最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID 控制法对倒立摆系统进行校正。针对目标一：调整时间0.5(2%)s t s =误差带，最大超调量%10%≤p σ，选取参数利用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为： 135.1547( 5.0887) ()135.1547c s G s s +=+ ………………………… (2) 针对目标二：系统的静态位置误差常数为10；相位裕量为 50 ；增益裕量等于或大于10 分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为： 1189.6(8.15) ()99.01c s G s s +=+ …………………………… ……………………(3) 针对目标三：调整时间误差带）%2(2s t s =，最大超调量，%15%≤p σ，设计或调整PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为： 150()21020c G s s s =++ ………………………………………. .(4)

一阶倒立摆控制系统

一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：

目录摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)

摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。第一部分单阶倒立摆系统建模

（一）对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）

控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2013.9.2——2013.9.13

哈尔滨工业大学课程设计任务书姓名：院（系）：英才学院专业：班号：任务起至日期：2013 年9 月 2 日至2013 年9 月13 日课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为： M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005 秒。设计要求： 1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab 进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；

（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。 3．设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）θ的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。

倒立摆的设计报告

摘要：倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。本论文在自动控制原理校正的基本思想上，通过采用根轨迹校正法，频域法，分别对倒立摆系统进行校正，使之满足性能要求。关键词：倒立摆，自动控制，根轨迹，频域法 1、引言倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。法控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定

哈工大现代控制理论复习题

《现代控制理论》复习题1 一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ √ ）4. 对系统Ax x =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2 33 )(2+++= s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。解：能控标准形为能观测标准形为对角标准形为三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统求其状态转移矩阵。解：解法1。容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵 A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是取变换矩阵 []???? ??--==-1112121ννT ，则 ? ? ????--=-21111 T 因此， ?? ? ???--==-20011 TAT D

从而，解法2。拉普拉斯方法由于故 ?? ? ???+-+---=-==Φ----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI L e t 222211 2222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-= 因此， ?? ? ???+-+---=+==Φ--------t t t t t t t t At e e e e e e e e A t a I t a e t 2222102222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=,&,是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。解观测器设计的框图：观测器方程：其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。观测器设计方法：由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统Ax x =&在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T -=+有惟一的对称正定解P 。

单级倒立摆经典控制系统

单级倒立摆经典控制系统摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。

至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念图1 一级倒立摆装置倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。

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控制系统综合设计倒立摆控制系统院（系、部）：组长：组员班级：指导教师： 2014年1月2日星期四

目录摘要----------------------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------------------3 一、整体方案设计--------------------------------------------------------------3 1、需求-----------------------------------------------------------------------------3 2、目标-----------------------------------------------------------------------------3 3、概念设计----------------------------------------------------------------------3 4、整体开发方案设计---------------------------------------------------------3 5、评估----------------------------------------------------------------------------4 二、系统设计--------------------------------------------------------------------4 （一）系统设计-----------------------------------------------------------------4 1、功能分析----------------------------------------------------------------------4 2、设计规范和约束------------------------------------------------------------6 3、详细设计----------------------------------------------------------------------7 （二）机械系统设计-----------------------------------------------------------8 三、理论分析---------------------------------------------------------------------9 1、控制系统建模----------------------------------------------------------------9 2、时域和频域分析------------------------------------------------------------13 3、设计PID或其他控制器---------------------------------------------------21 四、元器件、设备选型--------------------------------------------------------30

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