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北师大版23确定二次函数的表达式教案

第二章二次函数

2.3 确定二次函数的表达式（2）

一、知识点

用待定系数法求解二次函数表达式

二、教学目标

知识与技能：

经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想

方法，培养数学应用意识.

过程与方法：

会用待定系数法求二次函数的表达式.

情感与态度：

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

三、重点与难点

重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.

难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.

四、引入新课(放幻灯片2、3）

1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把

________________________叫做二次函数的一般式.

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化成：y＝a(x-h)2＋k，顶点是(h，k).

配方: y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x

＋ )2＋ .对称轴是x＝，顶点坐标是 ,其中 h＝，k= , 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式.

3、已知A（2，1）、B（0，-4），求经过A、B两点的一次函数表达式.

解：设过A、B两点的一次函数表达式为

把、代入

解得k= ,b= 所以表达式为 .

我们把这种方法叫做待定系数法.

提出问题：确定二次函数y=ax2+bx+c需要哪些条件?

设计意图：引入利用三元一次方程组确定二次函数的表达式.

五、探究新知

例1 (放幻灯片4）已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二

次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

分析：（1）本题可以设函数的表达式为？

（2）题目中有几个待定系数？

（3）需要代入几个点的坐标？

（4）用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？

解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2

由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 ??

???++=++=+-=c b a c b a c b a 247410

解这个方程组，得

???=-==532c b a ∴ 所求函数表达式为5322+-=x x y

∴ 8

31)43(253222

+-=+-=x x x y ∴ 二次函数对称轴为直线43=x ，顶点坐标为)831,43( 设计意图：通过解决此问题，让学生体会求二次函数表达式的一般方法------待定系数法，此问题解决后及时引导学生总结解法.

探究活动：(放幻灯片5、6、7）一个二次函数的图象经过点 A （0，1），B （1，2），C （2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．

方法一

解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2

由已知，将三点（0，1），（1，2），（2，1），分别代入表达式，得 ??

???++=++==c b a c b a c 24121

解这个方程组，得

???==-=121c b a ∴ 所求函数表达式为122++-=x x y

方法二

解：Θ A （0，1）与C （2，1）的纵坐标相同

∴ A, C 两点关于二次函数的对称轴对称

根据对称轴性质可得对称轴的横坐标1220=+=

x ∴所以B （1,2）为二次函数的顶点

∴可设 2)1(2+-=x a y ，将A （0，1）代入

解得1-=a

∴2)1(2+--=x y

思考：在完成第一个例题后，第一个问题对大部分学生是比较容易用待定系数法来解决的.第二个问题引导学生从学过的二次函数的顶点式出发，观察三个点具有的特点，从而找到解决问题的办法.

由学生自主探究后小组交流，对有困难的学生教师可适当点拨.在运用用猜想、比较、方法选择等方法引导学生探究问题，从而大大的提高学生分析问题、解决问题的能力.

探究一：观察三个点坐标，找出特点.

探究二：如何说明B 点是顶点.

探究三：如何用我们学过的方法求这个二次函数的解析式.

探究四：总结一下如何根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式.

设计意图：让学生掌握根据不同的条件，恰当地选用二次函数解析式的形式，尽量使解题简捷.

六、课堂练习

七、课堂小结(放幻灯片8）

1.掌握求二次函数的解析式的方法——待定系数法；

2.能根据不同的条件，恰当地选用二次函数解析式的形式，尽量使解题简捷；

3.解题时，应根据题目特点，灵活选用，必要时数形结合以便于理解.

八、课后作业

人教版九年级数学上册二次函数教案

教材分析本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容二次函数教学设计一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。二、教材分析本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。三、教学过程教学过程：一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注：（1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。（2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。

九年级数学下册26_2_3求二次函数表达式教案新版华东师大版

26.2.3求二次函数表达式教学内容：课本P21~23 教学目标 1、会用待定系数法求二次函数的表达式； 2、能够利用实际问题中的数量关系求二次函数表达式；教学重难点：重点：会用待定系数法求二次函数的表达式；难点：能够利用实际问题中的数量关系求二次函数表达式；教学准备：课件教学方法：讲练法一、复习写出二次函数的一般形式和顶点形式；二、学习（一）学习问题2 问题2、某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB）的薄壳屋顶。它的拱宽AB 为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板。怎样画出模板的轮廓呢？分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数表达式，然后根据这个函数表达式画出图形。解：以点O为原点，以AB的垂直平分线为y轴，以1m为单位长度，建立平面直角坐标系。设这个二次函数的表达式为y=ax2.把B（2，-0.8）代入，得 -0.8=ax2. a=-0.2 因此，函数表达式是y=-0.2x2. （二）学习例6

例 6 、一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的表达式。分析：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为（8，9），因此，可以设函数的表达式为顶点式。解：设这个二次函数的表达式为y=a(x-8)2+9.把点(0,1)代入，得 1=a(0-8)2+9 a ＝1 8 - 因此，这个二次函数的表达式为y=18 - (x-8)2+9. 学生练习：课本P23练习第1题的（1）和（2）（三）学习例7 例7、一个二次函数的图象经过（0，1），（2，4），（3，10），三点，求这个二次函数的表达式。解：设所求二次函数的表达式为y=ax 2 +bx+c,则 14249310c a b c a b c =??++=??++=? 解得13232 c a b ??=??=???=-?? 因此，所求二次函数解析式为233122 y x x = -+ 学生练习：课本P23第1题（3）课本P23页第2题。

北师大版二次函数经典总结与典型题

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成

初中数学二次函数专题复习教案

初中数学二次函数专题复习教案〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。〖大纲要求〗 1．理解二次函数的概念; 2．会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3．会平移二次函数y=a ｘ2 （ａ≠0)的图象得到二次函数y=a(ax ＋ｍ)２ +k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与ｘ轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。内容 (1）二次函数及其图象如果y=ａx 2+ｂx+c （a,b ，c 是常数，a ≠0),那么,ｙ叫做x 的二次函数。二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线ｙ＝ａx 2 +bx ＋c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=,当a>0时，抛物线开口向上,当ａ<0时,抛物线开口向下。抛物线y ＝a （x+h)2+ｋ(a ≠０)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=－h. 〖考查重点与常见题型〗 1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y ＝（m-2)ｘ2＋m ２－m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝k ｘ＋ｂ的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2+ｂx －1的图像大致是（） y 0 -1 x

北师大版二次函数测试题及答案

北师大版二次函数测试题一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0

的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1

两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题：

九年级数学一元二次函数教案

个性化教学辅导

设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课后作业１.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是（） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

北师大版二次函数的应用教案

第二章二次函数二次函数的应用（1）一、知识点 1. 利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2. 求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标知识与技能：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．过程与方法： 1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2. 通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2. 能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3. 进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

三、重点与难点重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知( 放幻灯片2、3、4) 1.(1) 请用长20 米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； ⑵当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3) 若墙的最大可用长度为8 米，求围成花圃的最大面积. 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知( 放幻灯片5、6、7)

初三数学二次函数优秀教案

初三数学二次函数教案二次函数在初三阶段会学习到，而且是数学学习重点，那么同学们应该如何掌握好二次函数的学习呢?教师又应该如何设计教案帮助同学们更好第学习二次函数呢? 教学目标: 1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。 2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。 3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。教学重点:二次函数y=ax2的图象的作法和性质教学难点:建立二次函数表达式与图象之间的联系教学方法:自主探索，数形结合教学建议: 利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。教学过程: 一、认知准备: 1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么? 2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)

你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。二、新授: (一)动手实践:作二次函数y=x2和y=-x2的图象 (同桌二人，南边作二次函数y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成) (二)对照黑板图象议一议:(先由学生独立思考，再小组交流) 1.你能描述该图象的形状吗? 2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么? 3. 当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢? 4.当x取什么值时，y值最小?最小值是什么?你是如何知道的? 5.该图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。 (三) 学生交流: 1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的概念，由问题2引出抛物线的顶点) 2.二次函数y=x2 和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点? 3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2 和y=-x2 图象，根据图象回答: (1)二次函数y=x2和y=-x2 的图象关于哪条直线对称? (2)两个图象关于哪个点对称? (3)由y=x2 的图象如何得到y=-x2 的图象? (四) 动手做一做:

初中数学二次函数复习求函数解析式优质课教案优质课教案教学设计

二次函数专题（一）——求二次函数表达式教学目标会通过待定系数法求二次函数的关系式；教学过程二次函数是初中数学的一个严重内容，也是高中数学的一个严重基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的严重保证。二次函数的解析式有三种基本形式： 1、大凡式：y=ax2 +bx+c (a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2 +k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x轴的交点的横坐标。求二次函数的解析式大凡用待定系数法，但要根据例外条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设大凡式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数的解析式。例2、已知二次函数的图象经过(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．练习1：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1) (3)抛物线过原点，且过点(3,－27),(-1,1) (4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。例4、已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．练习2：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。 (2)已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5） (3)二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6课堂小结本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据例外的条件选择适合的解析式形式

九年级数学二次函数教学案

第 14周第 1课时总第 43课时课题：二次函数的定义【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。【学习重难点】重点：二次函数的概念。难点：确定实际问题中二次函数的关系式。【学习过程】一、预习交流 1．思考：（1）已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。（2）已知一个矩形的周长是60m ，一边长是Lm ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？ 2.归纳：（1）函数解析式均为整式；（2）自变量的最高次数是2。 3.定义：一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。【注意】这里b ，c 没有限制，而a ≠0。练习一：下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？（1）y=2-3x 2；（2）y=x (x-4)；（3）y= 2 1x 2-3x-1；（4）y= 4 1x 2+3x-8；（5）y=7x （1-x ）+4x 2；（6）y=（x-6）（6+x ）。 (7 ) y= 2 2561 x x - （8）y=(x-2)2 - x 2 ；练习二：若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数，则m 为二、精讲点拨

例1．当k 为何值时，函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．例3.已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。当5x =-时，求y 的值．三、拓展延伸 1.考察下列函数：①2 13y x =+，②2 251y x x =-+，③3(1)y x x =-， ④3y x =-， ⑤234v t t =-（t 是自变量）中，二次函数是：。 2.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ，则 ___________y =，其中x 的取值范围是。 3.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数关系式：y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值．四、系统总结学生谈谈自己的收获五、限时作业

北师大版初三二次函数知识点及练习

二次函数知识回顾一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．例1（基础）.二次函数2 365 y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）习题精练 1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a x 与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） 2、若二次函数5 2+ + =bx x y配方后为k x y+ - =2)2 (则b、k的值分别为（）

A .0 5 B .0. 1 . 5 . 1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A ．22y x =- B ．22y x = C ．2 1 2y x =- D ．212 y x = 4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（） A ．223y x x =-+ B ．223y x x =-- C ．223y x x =+- D ．223y x x =++ 5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（）

第课时用待定系数法求二次函数的解析式教案

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式. 【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法. 【情感态度】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性. 教学重点待定系数法求二次函数的解析式. 教学难点选择恰当的解析式求法. 教学目标一、情境导入，初步认识问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件. 二、思考探究，获取新知在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式. 回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：

（1）顶点在原点，可设为y=ax2; （2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k; （3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2; （4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx; (5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k; （6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c; （7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2). 【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握. 三、典例精析，掌握新知例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式. （1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式. （2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）. 分析： (1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解. (2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解. （3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有 2b a - =-1, 2 4 4 ac b a - =3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式. 解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则

北师大版二次函数总结及典型题

北师大版二次函数总结及典型题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．

初中数学九年级《二次函数》公开课教学设计

22.1.1 二次函数一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念（2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式（3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾（1）．什么是变量，常量？（2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？（3）函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果

每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m

【新人教版】九年级数学上册第22章《二次函数》教案

第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一.创设情境，导入新课问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．

二.合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c

(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳 1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数. 2. 二次函数y ax 2的性质（1）抛物线y ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2）函数y ax 2的图像与a 的符号关系. ① 当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点； ② 当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）. 3. 二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4. 二次函数y ax 2 bx c 用配方法可化成： y ax h 2 k 的形式，其中h —， k 4ac _ . 2a 4a 2 2 2 2 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y ax 2 :②y ax 2 k :③y a x h 二④y a x h k ； 2 ⑤ y ax bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . ② 平行于y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线x 0. 如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为（h , k ），对称轴是直线 x h . （3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数, (1 )公式法：y ax 2 bx c b a x 2a 2 2 4ac b b 4a c b ,???顶点是( ，- ),对称轴是直线x 4a 2a 4a b 2a

确定二次函数的表达式习题

确定二次函数的表达式习题 Final revision on November 26, 2020

5.5确定二次函数的表达式一．选择题： 1．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（） A ．y=32(1)x -－2 B ．y=32(1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32(1)x +－2 2．已知二次函数y ax bx c =++2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（） A ．x =-3 B ．x =-1 C ．x =1 D ．x =3 3．一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（） A ．y x x =--+222 B ．y x x =-+222 C ．y x x =-+221 D ．y x x =--222 4．已知：抛物线y x x c =-+26的最小值为1，那么c 的值是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 二．填空题： 5．已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6．对称轴是x =-1的抛物线过点M （1，4），N （－2，1），这条抛物线的函数关系式为________________. 7．已知二次函数y x bx c =++2的图象过点A （1，0），B （0，4），则其顶点坐标是________________. 8．已知二次函数，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，它有最大值－1，则其函数关系式为________________. 9．抛物线y x =-+382向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是___________. 三．解答题： 10．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式。已知抛物线的顶点是（―1，―2），且过点（1，10） 11．根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).

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