集合专题复习
【例题解析】
题型1． 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x 2
＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A ．（0，1），（1，2）
B ．{（0，1），（1，2）}
C ．{y|y=1,或y=2}
D ．{y|y≥1}
例2.若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）
A ．P
B ．Q
C ．
D ．不知道
例3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）
A ．P∩Q=∅
B ．P Q
C ．P=Q
D ．P Q
集 合
定 义 特 征 一组对象的全体形成一个集合
确定性、互异性、无序性
表示法 分 类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
有限集、无限集
数 集 关 系 自然数集N 、正整数集+*N 或N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ
元素和集合的关系是”
或“∉∈如N 3M 2∉∈或 集合与集合之间的关系是",,,,, ,"A C u =⊄⊆⊂
运 算 性 质
交集 A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}； 补集 A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集 A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A 方 法 韦恩示意图 数轴分析 注意：① 区别∈与⊂、⊂与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ4.
③ 对于任意集合B A ,，则 =B C A C U U )(B A C U ；B C A C U U )(B A C U =； ④ 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是12-n ，所有非空子集的个数是12-n ，所有非空真子集的个数是22-n 。
例4若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ⋂= （ ）
A ．{3}
B ．{1}
C ．∅
D ．{－1}
题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12
(a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．
例6. 已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c 2
}．若A=B ，则c 的值是______．
例7.已知集合A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|x 2－a x ＋a －1=0}，且A∪B=A，则a 的值为______．
题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．
例9若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（ ）
A . C A ⊆
B .A
C ⊆ C .C A ≠
D . A =∅
例10．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）
A . 1
B .3
C .4
D . 8
例11． 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ；
（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A∪B=A，则实数a 组成的集合C 是____．
例13．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ．
例14. 已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．
例15.已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B
A ，则实数p 的取值范围是________．
题型5．要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16．设全集U={x|0例17.集合A={x|x 2＋5x －6≤0},B={x|x 2＋3x>0}，求A ∪B 和A ∩B ．
例18．设A={x|－21}，B={x|x2＋a x ＋b≤0}，已知A ∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1
