高一年级试题（120分钟）
一、 填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）
1．函数f (x 的值域是______．
2．方程x 2?31x +220=2x (31?2x ?2x )所有实根的平方和等于______．
3．边长等于10厘米的正六边形ABCDEF 中，H 为DE 的中点，G 为BC 边上一点，且满足∠AGB =∠CGH ，如图所示，则五边形AFEHG 的面积是______平方厘米．
4．已知甲、乙两个施工队各有若干工人，如果甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将是甲队的2倍；如果乙队借调给甲队若干工人，则甲队的工人总数将是乙队的6倍．甲施工队原来最少有______名工人．
5．在平面上有200个点，任何三个点都不共线，且每个点都标注了数1,2, 3中的一个数，将标有不同数的所有点对都用线段连接，每条线段上都标注一个数1,2或3，这个数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1,2或3中的每一个均恰有n 次，则n 的值是______．
二、（满分15分）能够选出10个连续的偶数，且分它们为5个对子：(a 1, b 1),(a 2, b 2),(a 3, b 3),(a 4,
b 4),(a 5, b 5)，使得方程x 2+a 1x +b 1=0, x 2+a 2x +b 2=0,x 2+a 3x +b 3=0, x 2+a 4x +b 4=0,x 2+a 5x +b 5=0 都具有整数根吗？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．
三、（满分15分）D 为锐角三角形ABC 内一点，使得∠ADB =∠ACB +90°且AC ·BD =AD ·BC ．延长AD ，BD ，CD 分别交三角形ABC 的外接圆于点G ，E ，F ，如图所示．求证：
（1）EF=FG ；
（2）
1=EFG ABC π
三角形的面积三角形外接圆的面积．
四、（满分15分）
（1）证明：2018可以表示为两个正整数的平方和．
（2）证明：存在这样的三角形，可以把它分割为2018个全等的三角形．
五、（满分15分）已知n元正整数集A={a1, a2,…, a n}，对任意一个i {1, 2, …, n}，由集合A
去掉元素a i后得到的集合A i可以分成两个不交的子集之并，且两子集元素之和相等，我们称这样的数集A为“好数集”．
（1）求证：“好数集”的元素个数n是奇数；
（2）求“好数集”的元素个数n的最小值．
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及 答案 一、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ，] 6、49/4 7、1/16 8、62
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答 一、填空题（满分40分，每小题答对得8分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 N (0.5, 0.25) 321 37 + -509031.5 31 8 - 8194 1．在P (1, 1), Q (1, 2), M (2, 3), N (0.5, 0.25) 四个点中，能成为函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是 ． 答：因为10.5 2 1110.2541616???? === ? ?????，且111616 110.25log log 0.542===，所以N (0.5, 0.25) 可以是函数116x y ?? = ???的图像与其反函数116 log y x =的图像的公共点.易知，其余三点均不 可能是函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点． 2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于 CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ．则长方形纸片ABCD 的面积为 cm ． 解：由对称性知：AE =PE =2cm ，BG =PG =1cm ，所以 AB = AE +EG +GB = PE +EG +PG = 2+7+1 = 3+7 (cm)， 又由PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ，由余弦定理可知，在△PEG 中，∠EPG =120o，AD 等于△PEG 中边EG 上的高h ，易由△PEG 的面积求得 AD = h = sin12021sin1203 77 PE PG EG ???==(cm)． 所以，长方形纸片ABCD 的面积为 33321 (271)(37)3777 ++?=+?=+(cm)2． 3．二次函数f (x )满足f (–10) = 9，f (–6) = 7和f (2) = –9，则f (2008) = ． 解：设f (x ) = ax 2+bx +c ，则由题意可得 910010(1)7366(2)942(3)a b c a b c a b c =-+?? =-+??-=++? 由(1)减(3)得18 = 96a – 12b ，即3 = 16a – 2b ； 由(2)减(3)得16 = 32a – 8b ，即4 = 8a – 2b ； 解最后两式，得a = –1 8 ，b = – 52． 以a = –1 8 ，b = –52代入 –9 = 4a +2b +c ，得c = –72． A D F E G B C P H C D
2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2018年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛 （第十八届天原杯）复赛试题 试题说明：1.本试卷共8页，满分100分。（附加题供选用） 2.可能用到的相对原子质量： H:1 C:12 N:14 O:16 F:19 Na:23 Al:27 S:32 Cl:35.5 K:39 Ca:40 Mn:55 Fe:56 Cu:64 Zn:65 Ba:137 3.考试时间：2小时 一、选择题(本题包括15个小题，每小题2分，共30分。每小 题有1个或2个选项符合题意。若有两个答案的错1个不得分， 1．2018年10月24日，我国使用“长征三号甲”运载火箭将“嫦娥1号”送上月球轨道，其任务之一是探测月球上氦–3（质子数为2， 中子数为1的原子）资源。下列氦–3原子的原子结构示意图中正确的是（ ） 2．第29届奥林匹克运动会将于2018年8月8日在北京举行。下列措施不符合绿色奥运理念的是（ ） A ．奥运场馆周围的路灯采用太阳能光伏发电技术 B ．在奥运场地使用电动汽车和新型清洁燃料汽车 C ．场馆附近的绿化采用微灌或滴灌智能控制技术 D ．将奥运村的生活垃圾全部集中深埋 3．1991年碳纳米管被发现。碳纳米管是由石墨中的碳原子层卷曲而成的管状的材料，管的直径一般为几纳米到几十纳米，管的厚度仅为几纳米。碳纳米管由于其独有的结构和奇特的物理、化学特性以及潜在的应用前景而受到人们的关注。下列有关碳纳米管的说法中正确的是（ ） A ．碳纳米管是一种新型的高分子化合物 B ．碳纳米管的化学性质常温时很稳定 C ．碳纳米管导电属于化学变化 D ．碳纳米管的结构和性质与金刚石均相同 4．闪电时空气中有臭氧（O 3）生成。下列说法中正确的是（ ） A ．O 3和O 2混合得到的是纯净物 B ．O 2比O 3稳定 C ．等质量的O 3和O 2含有的氧原子数之比是2︰3 D ．O 3与O 2的相互转化是物理变化
No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min
2013年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛(第23届天原杯)复赛试题 可能用到的相对原子质量:H-1 C-12N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56 Cu-64 Zn-65 Ag-108 Sn-119 Hg-201 Pb-207 一、选择题(每小题2分,共30分,有1个或2个选项符合题意) 1、2013年世界地球日的主题是"多样的物种,唯一的地球,共同的未来".下列描述符合这一主题的是( ) A.为粮食增产,多施高效化肥、农药 B.霾是一种自然现象,对人体健康影响不大 C.大力推广新型材料 D.努力实施绿色化学,把化学对环境的负面影响减少到最低 2、化学概念相互间存在如下3种关系,下列对概念间关系的说法正确的是( ) A.纯净物与混合物属于包含关系 B.化合物与氧化物属于包含关系 C.单质与化合物属于交叉关系 D.氧化反应与化合关系属于并列关系 3、过氧化氢是常见的过氧化物,下列物质也属于过氧化物的是( ) A.MnO 2 B.CaO 2 C.NO 2 D.SiO 2 4、晋代葛洪的《食肉方》(去除黑痣的药方)中记载:"取白炭灰(石灰)、 荻灰(草木灰)等分煎合……"可去黑痣.起到食肉作用的主要物质是( ) A.碳酸钙 B.熟石灰 C.碳酸钾D.苛性钾 5、生物体死亡后,体内含有的碳-14会逐渐减少,(称为衰变)因此科学家可通过测量生物体遗骸中碳-14的含量,来计算它存活的年代,这种方法称之为放射性碳测年法.碳-14原子核中含6个质子与8个中子,在衰变时,一个中子变成质子,形成新的原子核.下列关于新原子核的说法正确的是( )A.碳原子核,含7个质子,8个中子 B.氮原子核,含7个质子,7个中子 C.碳原子核,含6个质子,7个中子 D.氧原子核,含7个质子,8个中子 6、取4份等质量的KClO 3,向其中3份中分别加入少量等质量的KMnO 4、MnO 2和Mn,分别在某温度下加热至质量不再改变,测定产生的氧气的质量.然后,将剩余固体溶于足量水中,添加过物质的组别中均有相同组成的不同物.测定结果如下: 已知m1＞m2＞m3,下列关于此实验的说法一定正确的是( ) A.3种物质的加入都有利于KClO 3分解制氧气 B.残留不溶物的质量关系为m1＜m2＜m3 C.KMnO 4是KClO 3分解制氧气效果最好的催化剂 D.不加入其它物质时,KClO 3未发生分解反应 7、下列各组微粒中,属于同一种元素的是( ) 8、下列变化过程一定发生化学反应的是( )A.燃烧 B.爆炸 C.颜色发生了改变 D.状态发生了改变 9.将硅粉与镁粉混合后隔绝空气强热,得到一种暗蓝色的化合物.将此化合物投入水中,发生剧烈反应,产生气体,并伴有爆炸声与火光.此过程不可能发生的反应是( )A. B. C. D. 10、甲、乙两种固体物质的溶解度如图1所示.常温下,分别向装有适量甲、乙物质的两支试管中加入等量的蒸馏水,充分振荡后,两支试管底部都均有未溶解的固体;再将两支试管放入盛有冰水混合物的烧杯里,如图2所示.关于该实验,下列说法正确的是( ) A.乙溶液中溶质的质量分数增大 B.装有甲物质的试管中剩余的固体减少 C.甲、乙两物质的溶解度都增大 D.两支试管里剩余的固体都增多 11、如上右图下列CO 2的制备装置中,不能起到"随开随用,随关随停"效果的是 12、某同学想要知道10g 食盐的体积,他应该采用的方法是( ) A.将食盐放入空量筒中,观察表面对应刻度的变化 B.将食盐放入装有水的量筒中,观察液面对应刻度的变化 C.将食盐放入装有沙子的量筒中,观察表面对应刻度的变化 D.将食盐放入装有饱和食盐水的量筒中,观察液面对应刻度的变化 13、3种无色溶液,溶质分别为硫酸铵、氯化钠和碳酸钾.3位同学设计的鉴定方案如下: 甲:各加入少量盐酸,有气体产生的是碳酸钾.然后向明显现象的试管中滴加少量氯化钡溶液,有沉淀产生的是硫酸铵,无沉淀产生的是氯化钠 乙:各加入足量烧碱溶液,加热,的气体产生的是硫酸铵.然后向明显现象的试管中滴加少量硝酸银溶液,再加入少量稀硝酸,有沉淀产生的是氯化钠,无沉淀产生的是碳酸钾 丙:各加入少量氯化钡溶液,再加入少量稀硝酸,有沉淀产生的是硫酸铵,然后向明显现象的试管中滴加少量硝酸银溶液,有沉淀产生的是氯化钠,无沉淀产生的是碳酸钾 A.只有甲 B.甲和乙 C.乙和丙 D.甲和丙 14、现有失去标签的氯化钙、硝酸银、盐酸、碳酸钠4种无色溶液.将它们编号为甲、乙、丙、丁后,两两混合的现象如下表所示.根据实验现象判断甲溶液中的溶质的化学式是( ) A.CaCl 2 B.AgNO 3 C.HCl D.Na 2CO 3 15、将5.4g 金属铝投入一定量的混合盐溶液中,反应后可得到36.0g 金属单质(无气体产生).则原混合盐的组成可能为: ( ) A.Pb(NO 3)与2Hg(NO 3)2 B.Fe(NO 3)2和Zn(NO 3)2 C.AgNO 3与Cu(NO 3)2 D.Sn(NO 3)2与Mg(NO 3)2 二、填空题 16、(4分)生活与化学密切相关,处处充满着化学知识. (1)下列食物中,能提供大量维生素的是( )(填标号)A.牛奶 B.大米 C.蔬菜 (2)加钙牛奶中的钙是指钙元素,身体中一旦缺钙,可能患有的疾病是( )(填"骨质疏松"或"贫血") (3)下列物品中,所使用的主要材料属于天然纤维的是( )(填标号)A.橡胶手套B.棉布围裙 C.塑料保鲜膜 (4)我们常用洗涤剂清洗餐具上的油污,这是因为洗涤剂具有( )功能. 17、(6分)我们周围的物质世界是由100多种元素组成,为了便于研究元素的性质,常常需要寻找它们之间的内在规律.下表列出的是1-18号元素的部分最高正化合价和最低负化合价.请阅读并回答下列问题: (1)11号元素属于( )元素(填"金属"或"非金属"),它在化学反应中形成的离子与( )(填元素符号)原子具有相同的核外电子排布. (2)16号元素的原子核外电子数为( )推测该元素最低负化合价为( )最高正化合价的氧化物的化学式为( ) (3)从化合价角度分析,我们可以发现一些规律.请写出其中的一个: 18、某厂废水中含有质量分数为4.9%的H 2SO 4,需要中和后才能排放.某兴趣小组同学经过讨论,提出了两种中和方案,所用试剂的价格如下 : (1)请从经济与产物角度说明选择氢氧化钙的理由: ① ② (2)有同学建议用氨水进行中和,可以回收一种化肥,其化学式为 .该废水还会引起的环境问题是( )(填标号) A.重金属污染 B.有毒物质污染 C.富营养化污染D.悬浮物污染 19、(5分)一包白色粉末,由CuSO 4、CaCO 3、Na 2SO 4、NaOH 中的两种或两种以上的物质混合组成.为探究其组成,进行如下实验: (1)取少量白色粉末,向其中加入足量的水,充分搅拌后过滤,得到白色沉淀和无色滤液,则原白色粉末中一定不含有 (2)取实验(1)滤出的白色沉淀,向其中加入足量的盐酸,沉淀全部溶解,并产生无色气体 则原白色粉末中一定含有 根据上述实验可推断:原白色粉末的组成有( )种可能 为进一步探究原白色粉末的组成,取实验(1)得到的滤液,向其中通入CO 2,产生白色沉淀,则可推断原白色粉末中一定还含有 20、(3分)高氯酸(HClO 4)是最强酸,现有一种不常见的氯的化合物叫做高氯酸氯,其分子中氯的质量分数为0.526,且每个分子中含有4个氧原子.(1)高氯酸氯的化学式为( ) (2)高氯酸氯在室温下即发生分解,形成Cl 2、O 2和另一种氯的氧化物.已知该反应的化学方程式中3种产物的化学计量数相同,写出该分解反应的化学方程式: 21、(6分)FentOn 法常用于处理含难降解有机物的工业废水.其原理是利用Fe2+和H 2O 2的反应产生降解污染物的活性成分,现运用该方法降解有机污染物p-CP,探究有关因素对降解反应速率的影响.实验探究:控制p-CP 的初始浓度相同,实验温度恒定在25℃或40℃(其余实验条件见下表),设计如下对比试验: (1)请完成以下实验设计表(表中不要留空格) (2)实验①、②表明温度升高,降解反应速率 实验发现,温度过高时,降解反应较难发生.请从FentOn 法所用试剂H 2O 2的角度分析原因: (3)实验③得出的结论是:pH 等于10时,
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判 别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥ 3 2013 =671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1 的圆O 中内接有锐角三角形ABC ， H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由 AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1． 连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形， 所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得 BC == 3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x )) 的最小值为1 4，则m = ． 答：1 4 -． 解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得 F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m ) =2x 2+8mx +4m 2–2m ， F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标 () 2 222242(42)84284242 m m m m m m m m ??--=--=--?．
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
2016年上海市初中学生化学竞赛（第二十八届天原杯）复赛试题 （总分120分，时间120分钟） 相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Fe-56 一、选择题（本题包括16个小题，共40分，每小题有1个或2个选项符合题意。若有两个答案的错1个不得分，漏选1个扣一半分数） 1、2015年10月，因发现抗疟疾药青蒿素而首获诺贝尔自然科学类奖的中国本土科学家是 A. B. C. D. 2、化学用语书写正确的是 A、金钢石 B、汞蒸汽 C、氯化氨 D、瓷坩埚 3、已知HClO与H2SO3都是弱酸，两者可以发生反应：HClO + H2SO3→ HCl + H2SO4，下列判断合理的是 A、该反应属于复分解反应 B、该反应中H2SO3作还原剂 C、该反应说明某些酸具有一定的碱性 D、反应后溶液pH>7 4、垃圾应分类收集，以下物质应放置于贴有“”标志垃圾筒内的是 A、废电池 B、旧报纸 C、空易拉罐 D、过期药品 5、在命名化学物质时，如果某元素的化合价不止一种，一般我们把其中比较稳定而且常见的化合价作为标准，化合价比它高的加上前缀“高”，化合价比它低的加上前缀“亚”，以此进行区分。据此，下列物质命名正确的是 A、BaMnO4：锰酸钡 B、Na2FeO4：铁酸钠 C、Hg2Cl2：氯化汞 D、CaHPO4：亚磷酸氢钙 6、波尔多液是一种含铜杀菌剂，制作波尔多液的主要原料除了水和硫酸铜外，还需 A、纯碱 B、烧碱 C、硫磺 D、生石灰 7、下列能制备氢气并能灌充小氢气球的实验装置是
A. B. C. D. 8、在设计探究实验时，往往保持所有条件均相同进行多次实验，其目的是 A、增加数据数量，便于总结数据变化规律 B、控制实验条件进行对比 C、消除试剂中所含杂质对实验结果的干扰 D、消除偶然的不确定因素带来的误差 9、已知酸碱中和反应放出的热量与消耗的酸、碱的物质的量成正比。将30mL某稀硫酸与30mL某氢氧化钠溶液混合，恰好完全反应，溶液温度升高△T1，保持两种溶液浓度不变，体积均改为90mL进行中和，溶液温度升高△T2，若不计热量损失，△T1与△T2的关系是 A、△T1=△T2 B、△T1=3△T2 C、3△T1=△T2 D、6△T1 =△T2 10、某溶液的溶质可能是K2SO4、KCl、Na2CO3、NaOH中的一种或几种，某同学取4份此溶液样品，分别进行如下实验： ①进行焰色测试，火焰呈黄色，透过蓝色钴玻璃可以看到火焰呈紫色 ②加入硝酸银，产生白色沉淀，再加入稀硝酸，沉淀部分溶解，产生气体 ③加入足量氯化钡溶液，产生白色沉淀，该沉淀部分溶于稀硝酸且放出气体 ④加入足量硝酸钡溶液，产生白色沉淀，过滤后向滤液中加入硝酸银溶液，产生白色沉淀该同学最终确定该溶液中仅存在K2SO4、KCl、Na2CO3三种溶质。请分析．该同学只需完成上述哪两个实验，即可得出此结论？ A、①② B、③④ C、②③ D、②④ 11、意大利化学家阿伏伽德罗在化学上的重大贡献是建立分子学说，他提出：同温同压下，相同体积的任何气体含有相同数目的分子。现有两个密闭容器，分别装有等质量的甲、乙两种气体，若两容器内气体的温度和压强均相同，且甲的密度大于乙的密度。下列说法正确的是
2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤
2017-2018 年上海市初中学生化学竞赛（第二十九届天原杯） 复赛试题 （总分 120 分，时间 120 分钟） 相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 P-31 S- 32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Cu-64 Zn-65 一、选择题（本题包括 16 个小题，共 42 分，每小题有 1 个或 2 个选项符合题意，若有两个答案的错 1 个不得分，漏选 1 个扣一半分数） 1．古诗词是中华民族的文化瑰宝，下列古诗词中对划线对象变化的描述属于化学变化的是 A.一味黑时犹有骨，十分红处便成灰。（[清] 徐宗干《咏炭》） B.河上姹女（水银），灵而最神，得火则飞，不见埃尘。（[汉] 魏伯阳 《参同契》） C.臣心一片磁针石，不指南方不肯休。（[宋] 文天祥《扬子江》） D.落红（落花）不是无情物，化作春泥更护花。（[清] 龚自珍《己亥杂 诗》） 2．中药的煎制直接关系到其疗效。下列制备中草药汤剂的步骤中，与过滤操作类似的是 A. 浸泡 B. 煎制 C. 滗汤 D. 灌装 3．2017 年 1 月 26 日美国《科学》杂志报道，哈佛大学实验室对 液氢样本施加 4.95×10 11Pa 压力，成功制造出了金属氢，这是一 种以氢原子为基本单位构成的晶体。关于金属氢的推测错误的是 A. 与氢气互为同素异形体 B. 制造金属氢过程属于化学变化 C. 可能具有良好的导电性 D. 摩尔质量与氢气相同 4．“酸雨”成为当今主要的环境问题之一，雨水在未被污染的大气中原本应该呈 A. 弱酸性 B. 中性 C. 弱碱性 D. 强酸性 5．下列实验操作中，与其他三项的目的不属于同一类的是 A.点燃甲烷、一氧化碳等可燃性气体前，先检验气体的纯度 B.做中和反应实验时，先在碱溶液中滴入 1-2 滴酚酞试液 C.在进行铁丝燃烧实验前，先向充满氧气的集气瓶中加入一层细砂
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
上海市初中学生化学竞赛（第二十九届天原杯）复赛试题 （总分120分，时间120分钟） 相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 P-31 S-32 Cl-35.5 K-39 Ca-40 Cu-64 Zn-65 一、选择题（本题包括16个小题，共42分，每小题有1个或2个选项符合题意，若有两个答案的错1个不得分，漏选1个扣一半分数） 1．古诗词是中华民族的文化瑰宝，下列古诗词中对划线对象变化的描述属于化学变化的是 A. 一味黑时犹有骨，十分红处便成灰。（[清] 徐宗干《咏炭》） B. 河上姹女（水银），灵而最神，得火则飞，不见埃尘。（[汉] 魏伯阳《参同契》） C. 臣心一片磁针石，不指南方不肯休。（[宋] 文天祥《扬子江》） D. 落红（落花）不是无情物，化作春泥更护花。（[清] 龚自珍《己亥杂诗》） 2．中药的煎制直接关系到其疗效。下列制备中草药汤剂的步骤中，与过滤操作类似的是 A. 浸泡 B. 煎制 C. 滗汤 D. 灌装 3．2017年1月26日美国《科学》杂志报道，哈佛大学实验室对液氢样本施加4.95×1011Pa 压力，成功制造出了金属氢，这是一种以氢原子为基本单位构成的晶体。关于金属氢的推测错误的是 A. 与氢气互为同素异形体 B. 制造金属氢过程属于化学变化 C. 可能具有良好的导电性 D. 摩尔质量与氢气相同 4．“酸雨”成为当今主要的环境问题之一，雨水在未被污染的大气中原本应该呈 A. 弱酸性 B. 中性 C. 弱碱性 D. 强酸性 5．下列实验操作中，与其他三项的目的不属于同一类的是 A. 点燃甲烷、一氧化碳等可燃性气体前，先检验气体的纯度 B. 做中和反应实验时，先在碱溶液中滴入1-2滴酚酞试液 C. 在进行铁丝燃烧实验前，先向充满氧气的集气瓶中加入一层细砂 D. 在使用氢气还原氧化铜时，先向硬质玻璃管中通入氢气 6．质量相等的石墨和足球烯（化学式C60）所含原子数 A.前者多 B.相等 C.后者多 D.无法确定 7．有一瓶配制好的NaCl稀溶液，在实验室里敞口放置数天后外观无明显变化，关于它的说法正确的是
全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
2011年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛 （第二十一届天原杯）复赛试题 试题说明：1.本试卷共8页，满分100分。（附加题供选用） 2.可能用到的相对原子质量： H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 Mg:24 S:32 Cl:35.5 K:39 Ca:40 Fe:56 Cu:64 Zn:65 Ag:108 3.考试时间：2小时 一、选择题(本题包括15个小题，每小题2分，共30分。每小题有1个或2个选项符合题意。若有两个答案的错1个不得分，漏选1个扣1分。请将答案填在下表相应题号的空格内。） 1．联合国决定2011年为“国际化学年”，以纪念化学所取得的成就以及对人类文明的贡献为宗旨。下列提法不符合其宗旨的是（）A．化学是一门创造新物质的科学，是自然科学中创造新物质最多的科学领域 B．普及化学知识，宣传化学贡献，提高公众科学素质 C．让公众更多地了解化学为满足社会需求所作出的贡献，鼓励人们尤其是青少年学习化学的兴趣，激发他们创造未来化学的热情 D．推广食用不含任何化学物质的绿色食品 2．关于天然气的下列叙述中不正确的是( ) A．天然气和沼气的主要成分都是甲烷 B．液化石油气灶具改为天然气作燃料，燃烧时应减小进空气量或增大进天然气量 C．天然气与空气混合点燃，不会发生爆炸 D．与煤炭相比，天然气燃烧产生的废气中，SO2等污染物较少 3．三甲基一氯硅[(CH3)3SiCl]是一种生产有机硅化合物的原料，遇明火或氧化剂会引起爆炸，在空气中燃烧生成一氧化碳、二氧化碳、二氧化硅和氯化氢，与水接触可产生雾状盐酸。 则下列说法错误的是（）A．保存三甲基一氯硅时应密封防水 B．扑灭三甲基一氯硅引发的着火，应使用二氧化碳、干粉灭火剂，并用弱碱性水处理C．三甲基一氯硅水溶液pH一定小于7 D．三甲基一氯硅由碳、氢、硅、氯四个原子构成 4．根据“绿色化学”的思想，某化学家设计了下列化学反应步骤： 该方案的主要目的是为了制备（）A．HBr B．CaO C．H2 D. Hg 5．新型纳米材料MFe2O x (3＜x＜4)中M表示+2价的金属元素，在反应中化合价不发生变化。 常温下，MFe2O x能使工业废气中的SO2转化为S，流程如下： 则下列判断正确的是（）A．MFe2Ox是还原剂B．SO2是该反应的催化剂 C．x＜y D．SO2发生了分解反应