第二十四章圆
24．1 圆的有关性质
24．1.1 圆
经历圆的概念的形成过程，理解圆.弧.弦等与圆有关的概念，了解等圆.等弧的概念．
重点
经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．
难点
理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．
活动1创设情境，引出课题
1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．
2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？
活动2动手操作，形成概念
在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．
教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？
教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．
1．从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
2．小组讨论下面的两个问题：
问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上．)
活动3学以致用，巩固概念
1．教材第81页练习第1题．
2．教材第80页例1.
多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等．
活动4自学教材，辨析概念
1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：
(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．
(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．
(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．
(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)
(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．
2．指出图中所有的弦和弧．
活动5达标检测，反馈新知
教材第81页练习第2，3题．
活动6课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆.弦.弧.等圆.等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆.等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．2．证明几点在同一圆上的方法．
3．集合思想．
作业布置
1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB 的中点．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一.复习引入
①在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；
③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB ；
④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A ，C 为端点的弧记作“AC ︵”，读作“圆弧AC”或“弧AC ”．大于半圆的弧(如图所示ABC ︵)叫做优弧，
小于半圆的弧(如图所示AC ︵或BC ︵)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． ⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二.探索新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB ︵及ADB ︵.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD.弦AB ，且CD⊥AB 垂足为M.
求证：AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.
分析：要证AM ＝BM ，只要证AM ，BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA ，OB 或AC ，BC 即可．
证明：如图，连接OA ，OB ，则OA ＝OB ，
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，
∴AM ＝BM ，
∴点A 和点B 关于CD 对称，
∵⊙O 关于直径CD 对称，
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC ︵与BC ︵重合，AD ︵与BD ︵重合．
∴AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN ＝32 m 是否需要采取紧急措施，只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R.
解：不需要采取紧急措施，
设OA ＝R ，在Rt △AOC 中，AC ＝30，CD ＝18，
R 2＝302＋(R －18)2，
R 2＝900＋R 2－36R ＋324，
解得R ＝34(m )，
连接OM ，设DE ＝x ，在Rt △MOE 中，ME ＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x ＋x 2＝342，x 2－68x ＋256＝0，
解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE ＝4，
∴不需采取紧急措施．
三.课堂小结(学生归纳，老师点评)
垂径定理及其推论以及它们的应用．
四.作业布置
1．垂径定理推论的证明．
2．教材第89，90页习题第8，9，10题．
24．1.3 弧.弦.圆心角
1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．
2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦.弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．
重点
圆心角.弦.弧之间的相等关系及其理解应用．
难点
从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角.弦.弧之间的相等关系．
活动1动手操作，得出性质及概念
1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.
2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？
3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念．
如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．
4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．
活动2继续操作，探索定理及推论
1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．
2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？
4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角.弧.弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．
5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？
6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？
综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．
活动3学以致用，巩固定理
1．教材第84页例3.
多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．
活动4达标检测，反馈新知
教材第85页练习第1，2题．
活动5课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角.两条弧.两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．
3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想．
作业布置
1．如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的长．
3．如图，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．
(1)求证：AM ︵＝BN ︵；
(2)若C ，D 分别为OA ，OB 中点，则AM ︵＝MN ︵＝BN ︵成立吗？
答案：1.D ；2.3；3.(1)连接OM ，ON ，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出AM ︵＝BN ︵；(2)成立．
24.1.4 圆周角(2课时)
第1课时圆周角的概念和圆周角定理
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．
2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．
重点
圆周角的概念和圆周角定理．
难点
用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．
活动1复习类比，引入概念
1．用几何画板显示圆心角．
2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.
(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.
(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？
学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．
3．总结圆周角概念．
(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．
(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师
出示下图．
学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；
②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．
(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．
活动2观察猜想，寻找规律
1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．
提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察.测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．
2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
活动3动手画图，证明定理
1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知.求证．
2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？
3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上.内部.外部三种情况．
4．引导学生选一种最特殊.最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．
5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部.外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．
6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．
活动4达标检测，反馈新知
1．教材第88页练习第1题．
2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.
3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB ＝30°，那么∠BOC＝________.
答案：1.略；2.120°；3.120°.
活动5课堂小结，作业布置
课堂小结
1．圆周角概念及定理．
2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论.转化与化归的数学思想．作业布置
教材第88页练习第4题，教材第89页习题第5题．
第2课时圆周角定理推论和圆内接多边形
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．
2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．
3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．
重点
圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．
难点
圆内接四边形性质定理的准确.灵活应用以及如何添加辅助线．
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
2．如图，若BC ︵的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A ＝________.
3．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B ＝________.
4．判断正误：
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )
(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )
答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略
活动2 探索圆周角定理的“推论”
1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A ，C 为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小关系如何？为什么？
让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？
2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC 是锐角.直角还是钝角？
让学生交流.讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．
3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
4．师生共同解决教材第87页例4.
活动3探索圆内接四边形的性质
1．教师给学生介绍以下基本概念：
圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画，想一想：
在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．
4．课件展示练习：
(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC ＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；
(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；
(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；
(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.
(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？
答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；
(5)都有．
活动4巩固练习
1．教材第88页练习第5题．
2．圆的内接梯形一定是________梯形．
3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1
答案：1.略；2.等腰；3.B.
活动5课堂小结与作业布置
课堂小结
本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．作业布置
教材第89～91页习题第5，6，13，14，17题．
24.2 点和圆.直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外?d>r；点P在圆上?d＝r；点P在圆内?d 3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念． 4．了解反证法的证明思想． 复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点.两个点.三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题． 重点 点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用． 难点 讲授反证法的证明思路． 一.复习引入 (学生活动)请同学们口答下面的问题． 1．圆的两种定义是什么？ 2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？ 3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？ 4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想． (老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． (2)圆规：一个定点，一个定长画圆． (3)都等于半径． (4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径． 二.探索新知 由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d， 则有：点P在圆外?d>r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d 反过来，也十分明显，如果d>r?点P在圆外；如果d＝r?点P在圆上；如果d 因此，我们可以得到： 设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d， 则有：点P在圆外?d>r； 点P在圆上?d＝r； 点P在圆内?d 这个结论的出现，对于我们今后解题.判定点P是否在圆外.圆上.圆内提供了依据．
相关主题
文本预览