《几何图形初步》全章知识讲解 【学习目标】 1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、多姿多彩的图形 1．几何图形的分类 要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． 要点诠释： 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ? ? ?平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形
? ? ?①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图； ②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看： 主（正）视图---------从正面看 几何体的三视图 （左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 要点诠释： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. （ 3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 要点二、直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1 ）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：
2013—2014学年七年级数学(下)周末辅导资料(04) 理想文化教育培训中心学生姓名___________ 得分 _________ 一、知识点梳理： 1、平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(二次方根). 若x a a 0，贝Ux叫做a的平方根.即x = a 2、立方根：如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.(也称数a的三次方根) 若x'=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根。即x =3a 3、两个重要公式：(1斤a? a| a(a 0) (2) ^a' a (3) (i a) a(a 0) 1 a(a 0) 二、典型例题： 例1： (1)如果x 9，那么x= ______________ 如果x2 9，那么x ____________ (2)___________________________________________________ 如果x的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是____________________________________ . (3)_________________________________ 一个正数的两个平方根的和是_________ ?一个正数的两个平方根的商是__________________ . (4)________________________________________________________ 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________________________________ ; (5)___________________________________________ 若一个正数的平方根是2a 1和a 2，则a ___________________________________________ ，这个正数是 _________ ; 【课堂练习1】 1、算术平方根等于它本身的数有________ 立方根等于本身的数有 _________ . 2、的平方根是________ ，扁的算术平方根是 ___________ ; 3、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是____________ 4、2x 1的算术平方根是2，则x = _________ . 5、已知2a 1 (b 3)20，则 3 2ab _____________________________ ； \ 3 2 例2:若x 9，那么(4-x)的算术平方根是多少？
七年级数学平方根和立 方根同步练习含答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
一、基础训练 1．9的算术平方根是（） A．-3 B．3 C．±3 D．81 2．下列计算不正确的是（） A．=±2 B= C． 3．下列说法中不正确的是（） A．9的算术平方根是3 B 2 C．27的立方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1 4．的平方根是（） A．±8 B．±4 C．±2 D 5．-1 8 的平方的立方根是（） A．4 B．1 8 C．- 1 4 D． 1 4 6．_______；9的立方根是_______． 7．用计算器计算：≈______________（保留4个有效数字） 8．求下列各数的平方根． （1）100；（2）0；（3）9 25 ；（4）1；（5）1 15 49 ；（6）0．09． 9．计算： （1）234
二、能力训练 10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（） A．x+1 B．x2+1 C 11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 12．已知x，y是实数，且（y-3）2=0，则xy的值是（） A．4 B．-4 C．9 4 D．- 9 4 13．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，?小铁 球的半径是多少厘米（球的体积公式为V=4 3 πR3） 三、综合训练 15．利用平方根、立方根来解下列方程． （1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0； （3）27 4 x3-2=0；（4） 1 2 （x+3）3=4．
6.2 立方根 要点感知1一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根. 预习练习1-1 (2014·黄冈)-8的立方根是( ) A.-2 B.±2 C.2 D.-1 2 1-2 -64的立方根是__________,-1 3 是__________的立方根. 要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是__________；负数的立方根是__________；0的立方根是__________. 预习练习2-1下列说法正确的是( ) A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 要点感知3一个数a,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数. 预习练习3-1 知识点1 立方根 1.(2014·潍坊的立方根是( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 2.若一个数的立方根是-3,则该数为( ) B.-27 C. D.±27 3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15 有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.立方根等于本身的数为__________. __________. 6.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________. 7.求下列各数的立方根： (1)0.216；(2)0；(3)-210 27 ；(4)-5. 8.求下列各式的值：
6．2 立方根 1．了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点) 2．了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根．(难点) 一、情境导入 填空并回答问题： (1)( )3＝0.001； (2)( )3＝－27 64； (3)( )3＝0； (4)若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体的体积公式得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？ 二、合作探究 探究点一：立方根的概念及性质 【类型一】立方根的概念及性质 立方根等于本身的数有________个． 解析：在正数中，3 1＝1，在负数中， 3 －1＝－1，又 3 0＝0，∴立方根等 于本身的数有1，－1，0.故填3. 方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根． 【类型二】立方根与平方根的综合问题 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根． 解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可． 解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10. 方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根． 【类型三】立方根的实际应用 已知球的体积公式是V＝4 3 πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一 个小皮球的体积是113.04cm3，求这个小皮球的半径r. 解析：将公式变形为r3＝3V 4π ，从而求r. 解：由V＝4 3 πr3，得r3＝错误!，∴r＝错误!.∵V＝113.04cm3，π取3.14， ∴r≈33×113.04 4×3.14 ＝ 3 27＝3(cm)． 答：这个小皮球的半径r约为3cm. 方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．探究点二：开立方运算 求下列各式的值： (1)－3 343； (2) 310 27 －5； (3－3 －8÷2 1 4 ＋（－1）100. 解：(1)－3 343＝－7； (2)310 27 －5＝ 3 － 125 27 ＝－ 5 3 ； (3)－3 －8÷2 1 4 ＋（－1）100＝2÷错误!未定义书签。＋1＝2÷ 3 2 ＋1 ＝2×2 3 1＝ 7 3 .
第六章实数 6.2立方根 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等于 A．2B．– C．2 D．–2 2．64的立方根是 A．4 B．±8 C．8 D．±4 3．的值是 A．–4 B．4 C．±4 D．16 4．如果一个数的立方根是它本身，那么这个数是 A．1、0 B．–1 C．0 D．1、–1、0 5．若a3=–27，则a的倒数是 A．3 B．–3 C．D．– 6．的绝对值是 A．–4 B．4 C．D． 7．–125的立方根与的平方根的和为 A．–2 B．4 C．–8 D．–2或–8
8．如果–是数a的立方根，–是b的一个平方根，则a10×b9等于 A．2 B．–2 C．1 D．–1 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．已知|a|=4，=2，ab<0，则的值为__________． 10．如果一个有理数a的平方等于9，那么a的立方等于__________． 11．若x+17的立方根是3，则3x–5的平方根是__________． 12．若2a和a+3是一个数的两个不同的平方根，则这个数的立方根是__________． 13．下列说法中正确的是__________．学-科网 ①是的四次方根；②正数的次方根有两个；③的次方根就是；④．14．如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是__________分． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求x的值： （1）4x2=81； （2）2（x–1）3=54．
16．计算：． 17．已知的算术平方根是4，的立方根是，求的平方根． 18．已知2x+15的立方根是3，16的算术平方根是2x–y， 求：（1）x、y的值； （2）x2+y2的平方根． 19．已知正数x的两个平方根分别为3–a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44–x这个数的立方根．
方位角 教学目标：1?理解方位角的含义，会根据实际问题确 定方位角，会用方位角 表示方向 2.让学生在画方位角的过程中体会建模的思想二教学重点：会由方向画方位角。 三教学难点：用量角器画方位角。 四知识引入： 1?在第一章，我们学过可以用什么方法来表示物体之间的 位置关系? 2.在地理科目学习中，我们是怎样确定方向的? 五教学过程 1.八个基本方向： 正东方向：射线________ 正南方向：____________ 正西方向：____________ 正北方向：____________ 西北方向：____________ 西南方向：____________ 东南方向：____________ 东北方向：____________
2.例1:请根据右图填空：（1）表示南偏西65°方向的是（2）表示北偏东40°方向的是（3）射线OB表示的方向是—（4）射线OC表示的方向是一（5）射线OE 表示的方向是—北南
例2 :如图，货轮0在航行过程中，发现灯塔A在南偏东60°的方向上。 同时，在它北偏东40。、西北方向上又分别发现了客轮B和海岛C.请以货船为标准，画出表示灯塔A、客轮B和海岛C的射线。 3.归纳：画方位角的方法： (1)先找出中心点，用虚线画出“十字”方向指标 (2)用量角器或三角板画出方向射线 (3)在图上标上角度 4.思考：在例2中，货轮O在灯塔A的什么位置灯塔? 先画图，再回答： 5.练习:
(3) (4)如图，OA表示北偏东32°方向线, 则/ AOB等于__________________ 乐 (5) (6)图中A,B,C三点分别代表邮局、商店和学校?邮局和商店分别在学校的北偏西 方向，邮局又在商店的北偏东方向.那么，图中A点_____ ，应该是B 点应该是______ ， C 点应该是_________
七年级数学下册《立方根》知识点整理 七年级数学下册《立方根》知识点整理 知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。 立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。求一个数a的立方根的运算叫做开立方。立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。立方和开立方运算，互为逆运算。互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。负数不能开平方，但能开立方。立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三 次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个. 平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。 ⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。 二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算 知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=±\，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 例1 \的平方根是( ). A.±9 B. ±3 C.9 D.3 解:因为\=9，所以\的平方根就是9的平方根，即±\=±3，故选择B. 注:应现将\化简后再求值. 知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ). A.-a B.a C.±a D. ±\ 解:当a<0时，\=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5
《立方根》精品教案 教学目标： 了解立方根和开立方的概念；掌握立方根的性质；会求一个数的立方根． 重点： 立方根的运算 难点： 立方根的概念及其运算 教学流程： 一、知识回顾 问题1：什么叫做平方根？ 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫二次方根）. 即：x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根 a 的平方根记作：_______ 9的平方根记作：_______ 144的平方根记作：_______ 答案：a ±，9±，144± 追问：怎么求一个数的平方根？ 填空： （1）2的平方根是________; （2）0的平方根是________; （3）－16的平方根是____________. 答案：2±，0，没有平方根 问题2：平方根具有什么性质呢？ 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 二、探究1 问题：要制作一种容积为27m 3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？ 追问1：你还记得正方体的体积与棱长有什么关系吗？ 答案：V ＝a 3
追问2：谁的立方等于27呢？ 解：设这种包装箱的棱长为x m，则 x3＝27 ∵33＝27 ∴x＝3 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）.即：x3＝a，那么x叫做a的立方根 ∵33＝27 ∴____是27的立方根 答案：3 练习1：求下列各数的立方根： 解：（1）∵(－3)3＝－27 ∴－27的立方根是－3 （2）∵(3 2 )3＝ 3 3 8 ∴ 3 3 8 的立方根是 3 2 （3）∵(－4)3＝－64 ∴－64的立方根是－4 填空： 答案：1，－8，27，－27，1，－2，3，－3 定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.追问：左右两图中的运算有什么关系？ 想一想：到现在我们学了哪些运算?
七年级数学教案 方位角 教学目标： 1、理解方位角，掌握方位角的画法； 2、通过方位角能确定简单的位置关系。 教学重难点： 准确画出表示物体运动方向的设线。 教学过程： 一、自学指导： 学生阅读教材P142；例4，解决下列问题 1、方位角是以那个方向为基准？ 2、怎样画出表示物体运动方向的射线？ 二、自学检测 1、如图OA是表示南偏西50°方向的 一条射线，则射线OB表示_______________， OC表示______________，OD表示______________ OE表示_____________。 2、南偏东15°与北偏东25°的两条射线组成的角等于______。 3、A看B的方向是北偏东50°，则B看A的方向是________。 三、教学指导： 1、方位角是以正北或正南的射线为一个角的始边，而表示物体运动方向的射线 是角的另一边。 2、表示方位角时先写北或南，再写偏东或偏西，最后写度数。 四、当堂训练： 1、按照上北下南，左西右东的规定画出
表示东南西北的十字线，然后在图上画出 表示下列方向的射线 （1）北偏西30° （2）南偏东60° （3）北偏东15°（4）西南方向（南偏西45°） 2、如图A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船， 同时从B地发现这艘船在它的北偏东30°方向，试在图中确定这艘船的位置。 ·· A B 3、如图一只蚂蚁从O出发，沿东北方向爬行2.5cm，碰到障碍物（计作B）后， 折向南偏西30°的方向爬行3cm，（此时位置计作O） （1）画出蚂蚁的爬行路线；（2）求出∠OBC的度数。 五、课后练习： 1、如图，若OA的方向是北偏西22°，则OB的方向是______________，OC的方向是______________，OD的方向是______________。 2、如图，A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体，A艇发现该不明物体在它的东南方向，B艇发现该不明物体在它的南偏东60°方向上，请你试着在图中确定这个不明物体的位置。
《立方根》典型例题 例1 求下列各数的立方根： （1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5） .343 8 例2 求下列各式中的x ： （1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ． 例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）． 例4 阅读下面语句： ①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-． ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ） A ．1句 B ．2句 C ．3句 D ．4句 例5 设8 27-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．8 9,23,827- C ．49,23,827- D ．4 9,23,827-- 例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 例7 下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根
C ．216125的立方根是6 5± D ．2)1(-的立方根是1- 例8 下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．
角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起 始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的 角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位 得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
2013—2014学年七年级数学（下）周末辅导资料（04） 一、知识点梳理： 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(二次方根)． 若a x =2 )(0≥a ，则х叫做a 的平方根．即x ＝a ± 2、立方根： 如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次方根) 若x 3 =a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根。即x ＝3a 二、典型例题： 例1：（1）如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ （2）如果x 的一个平方根是，那么另一个平方根是________． （3）一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________． : （4）若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； （5）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 【课堂练习1】 1、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 2、 81的平方根是_______， 4的算术平方根是_________； 3、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 4、12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 5、已知0)3(122=++-b a ，则=33 2ab ； 例2：若9x 2 =，那么(4-x)的算术平方根是多少 " 例3： 已知x 的平方根是2a+3和1-3a ，y 的立方根为a ，求x+y 的值． 》 例4：（1）已知a 是7的整数部分，b 是7的小数部分，求2 2)2b ()a (++-的值。 （2）已知（x-1）2+55y x -+│x-y+z+1│=0，求x+y+z 的平方根． （ 例5：求下列各式中的x 的值： （1）()2 3216x += （2）31(21)42 x -=- | 三、强化训练： 1. 81 的算术平方根是 （ ） A ．9 B.－9 C. 9 D. 3
第10 课时4．3．3 余角与补角（2） 学习目标：1．了解用于表现方向的角——方位角的意义．，． 2 ．初步掌握方位角的判别，体会方位角在生活中的应用． 学习重点：方位角的判别与应用． 学习难点：方位角的判别与应用． 要求：阅读课本P142—P143； 教学过程： 一、自主学习： 1．海上缉私艇发现离它50 海里处停着一艘可疑船只（如图），缉私艇要立即赶往检查．（1）试画出缉私艇的航线． B 可疑船（2）如果是真在海面上，你能确定船的航向吗？ A 缉私艇 2．在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到上述类似的问题，即如何描述一个物 体的方位．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角． 方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描 述物体的方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度” 北 或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示方向． 如图，（1）射线OA的方向是南偏西40°，或者说点 45 B A在点O 的南偏西40°方向． （2）射线OB的方向是北偏东45°，或者说点B在西东 O 40 A 点O的________方向． 注：北偏东45°的方向又称为“东北方向”．所以，南 我们也可以称点 B 在点O的________方向． （3）在图中画出北偏西50°方向射线O C． 3．在第 1 个问题中，我们规定“上北下南，左西右东”，试确定缉私艇的航向． 4．P142 例4． 二、合作探究： 1．已知点O在点 A 的南偏东65°方向，那么点 A 应在点O 北 B 的______________ 方向. A
2．某同学参观展览馆 A 后，想去景点B，但他不知道如何走，你能借助右图，告诉 他去景点 B 应朝什么方向，大约走多远吗？ （图中 1 厘米代表 1 千米） 北 A 3．如图，A、B、C三点分别代表邮局、商店和学校． 邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的 B 北偏东方向．那么，图中 A 点应该是,B 点应该 C 是，C点应该是______. 4．考察队从P 地出发，沿北偏东60°前进 5 千米到达 A 地，再沿东南方向前进到达C地，C恰好在P地的正东方． （1）用1 ㎝代表 2 千米，画出考察队的行进路线图． （2）量得∠PAC＝________，∠ACP＝_______．（精确到1°） 5．灯塔A在灯塔 B 的南偏西60°，距离20 海里，轮船C在灯塔 B 的西北方向，距离40 海里．用 1 ㎝表示10 海里画出示意图，试确定货船C在灯塔 A 的什么方向，距 A 多远？ 三、学习小结： 四、作业：P143 习题3.4 第9、12 题．
《立方根》教案 教学目标 知识与技能： 1、了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； 2、会用计算器求一个数的立方根. 过程与方法： 从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法. 情感态度与价值观： 通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想. 教学重点 立方根的概念和求法. 教学难点 立方根的求法. 教学过程 一、情景引入： 要制作一种容积为327m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 二、探索归纳： 1.探索：设这种包装箱的边长为m x ，则273=x ， 这就是要求一个数，使它的立方等于27. 因为 2733=，所以 3=x ，即这种包装箱的边长应为3m . 2.归纳： (1)立方根的概念： 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根. (2)立方根的表示方法： 如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根.记作3a x =，3a 读作三次根号a . 其中a 是被开方数，3是根指数，3a 中的根指数3不能省略. (3)开立方的概念： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系
求一个数的立方根. 3、探索立方根的特点： 根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ (1)因为823= ，所以8的立方根是( )； (2)因为( 125.0)3=，所以125.0的立方根是( ) ； (3)因为( 0)3=，所以0的立方根是( )； (4)因为( 8)3-=，所以8- 的立方根是( )； (5)因为( 278)3-=，所以27 8-的立方根是( ). 学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点. 归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系： 填空：因为=-38＿＿＿，=-38＿＿＿，所以38-＿＿＿38-； 因为=-327＿＿＿，=-327＿＿＿，所以327-＿＿＿327- 由上面两个例子可归纳出：一般地，33a a -=-. 注：这个关系对于正数、负数、零都成立.求负数的立方根时，可以先求出这个负数的 绝对值的立方根，然后再确它的相反数. 三、应用： 例1求下列各式的值： (1)364 (2)3125- (3)3 6427- 分析：根据立方根的意义求解. 解：(1)4643= (2)51253-=- (3)4364273 -=- 例2求下列各式中x 的值： (1)008.03=x (2)8 333=-x (3)8)1(3-=-x 分析：此题的本质还是求立方根. 解：(1)∵008.03=x ∴3008.0=x ∴2.0=x (2)∵8333= -x ∴8273=x ∴23=x (3)∵8)1(3-=-x ∴21=-x ∴3=x
《立方根》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）已知正方体的体积为64，则这个正方体的棱长为（）A．4B．8C．4D．2 2．（5分）下列各式中，正确的是（） A．B． C．D． 3．（5分）下列语句正确的是（） A．负数没有立方根 B．8的立方根是±2 C．立方根等于本身的数只有±1 D．＝﹣ 4．（5分）下列说法正确的是（） A．16 的平方根是4 B．只有正数才有平方根 C．不是正数的数都没有平方根 D．算术平方根等于立方根的数有两个 5．（5分）下列说法不正确的是（） A．1的平方根是±1B．﹣1的立方根是﹣1 C．4是2的平方根D．﹣3是9的平方根 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）＝，则a＝． 7．（5分）若＝2.938，＝6.329，则＝．8．（5分）已知5x﹣2的立方根是﹣3，则x的值是． 9．（5分）25的平方根是，16的算术平方根是，﹣27的立方根是． 10．（5分）若，则xy的立方根为．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）求下列各式中的x． （1）x2﹣36＝0 （2）（x﹣1）3＝27 12．（10分）已知M＝是m+3的算术平方根，N＝是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 13．（10分）已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣15a﹣b的立方根为﹣5．（1）求a和b的值； （2）求2b﹣a﹣4的平方根． 14．（10分）已知x的两个平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且＝3，求x+y 的值． 15．（10分）（1）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5，求2x ﹣3y+11的立方根． （2）已知x是1的平方根，求代数式（x2017﹣1）（x2018﹣712）（x2019+1）（x2020+712）+1000x的立方根．
6.2 立方根第二课时 教学设计 齐市第二十九中学 孟清湘 一、教材分析： 这节课的内容是人教版数学七年级下册第六章实数中6.2立方根的第2课时。由于本章的前两节“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，知识的展开顺序基本相同，因此可以充分利用类比的方法：在第一课时类比得出立方根的概念、开立方运算、立方与开立方运算的互逆关系等的基础上。类比平方根估算方法研究立方根的估算方法，类比平方根计算器的使用研究立方根计算器的使用，类比平方根的小数点的移动研究立方根的小数点的移动等。通过类比旧知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。 二、学情分析： 本节课需要面向七年级学生进行教学，由于七年级学生年龄低、好表现、具有形象思维等特征，所以这节课我主要采用情境教学法、动手操作法、探究交流法。通过创设生动有趣的情境，本着结论让学生得，疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，激发学生对数学学习的兴趣。 三、学习目标： 1.知识与技能：熟练掌握求一个数立方根的方法。会用计算器求一个数的立方根。 2.过程与方法：经历探究被开方数与立方根的关系，能够运用规律解决实际问题。 3.情感、态度与价值观：学生经历观察、动手操作、发现讨论等数学活动，感受数学活动充满探索性与创造性。并通过小组互助学习培养学生的合作意识和解决问题的能力。 教学重点：探究被开方数与立方根的关系的过程。 教学难点：运用探索的规律解决实际问题。 四、教学方法：归纳和类比的方法。 五、教学过程： 活动一、自主学习，探究规律 预习课本第50~51页，自学完成下列问题。 问题1：如果一个正方体的体积是2㎝3，则这个正方体的棱长是多少呢？ 解：设这个正方体的棱长为xcm, 则有 x 3 =2 解得： 。 归纳： 1.实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数，如，等都是无限不循环小数。我们可以用有理数近似的表示它们。 2.要求一个数的立方根(或近似值)，我们可以利用计算器中的键来计算。
6.2 立方根 课前预习： 要点感知1一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根. 预习练习1-1 (2014·黄冈)-8的立方根是( ) A.-2 B.±2 C.2 D.-1 2 1-2 -64的立方根是__________,-1 3 是__________的立方根. 要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是__________；负数的立方根是__________；0的立方根是__________. 预习练习2-1下列说法正确的是( ) A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 要点感知3一个数a,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数. 预习练习3-1 当堂练习： 知识点1 立方根 1.的立方根是( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 2.若一个数的立方根是-3,则该数为( ) B.-27 C. D.±27
3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③ 15.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.立方根等于本身的数为__________. 的平方根是__________. 6.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________. 7.求下列各数的立方根： (1)0.216； (2)0； (3)-210 27 ； (4)-5. 8.求下列各式的值： 知识点2 用计算器求立方根 9.的值约为( ) A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052 10.估计96的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 11.≈__________(精确到百分位).
立方根 一、教学目标 1.了解立方根和开立方的概念； 2.会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算； 3.培养学生用类比的思想求立方根的运算能力； 4.由立方与立方根的教学，渗透数学的转化思想； 5.通过立方根符号的引入体验数学的简洁美. 二、教学重点和难点 教学重点：立方根的概念与性质． 教学难点：会求某些数的立方根． 三、教学方法 启发式，讲练结合 四、教学手段 幻灯片． 五、教学过程 (一)复习提问 请同学们回忆一下，平方根我们是如何定义的？平方根有哪些性质？ 在同学们回答后，启发学生是否可试着给数的立方根下个定义．
1．立方根的概念： 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根) 用数学式表示为： 若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根． 2．立方根的表示方法： 类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数，注意，在前面我们学习平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根. 练习：用根号表示下列各数的立方根： 3．开立方概念： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 4．开立方运算与立方运算互为逆运算． 因此，我们可以根据立方运算来求一些数的立方根． 例1．求下列各数的立方根：
解：(1)∵(-2)3=-8， (2)∵23=8， (4)∵(0.6)3=0.216， (5)∵03=0，
下面我们思考这样一个问题：一个正数有几个平方根？负数有没有平方根？一个正数有几个立方根？负数有没有立方根？请学生来回答这个问题．由前面刚刚做过的题我们不难看出像8、0.126、103、 这样的正数，有一个正的立方根；像-8、、这样的负数有一个负的立方根；0的立方根是0．由此我们得了立方根的性质． 5．立方根的性质： (1)正数有一个正的立方根． (2)负数有一个负的立方根． (3)0的立方根是0． 这里我们不妨与平方根的性质做个比较，平方根中，正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根；在平方根中负数是没有平方根的，而负数有一个负的立方根；平方根与立方根唯一相同之处是0的平方根，立方根都是它本身． 例2．求下列各式的值：
433方位角（新授课） 知识技 能1、通过复习，使学生巩固余角，补角的概念，熟练掌握余角，补角的性质. 2、理解方位角的意义，掌握方位角的判别与应用. 数学思 考 学会运用类比联想的思维方法思考，解决几何问题. 解决问 题 培养我们分析问题和解决问题的能力，以及运算能力. 情感态 度 体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益?帮助我们体验数学在生活中的用处，激发我们对数学的学习兴趣. 方位角的判别与应用既是重点，也是难点. 课前延伸 【复习思考】 （1）什么是余角？ （2）什么是补角？ 重要提醒：i （如何表示一个角的余角和补角） 锐角/ 的余角是（90 ° —Z ） /的补角是（180 °—Z ） ii互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关. （3）同一个角的补角与它的余角有什么关系？ （4）余角有什么性质？补角有什么性质？习题：如图，在三角形ABC中，/ C=90°, / CDA/ CDB90。, 试说明 / A=Z BCD / B=Z ACD提问：（1）图中有哪些角互余？ （2）说明理由. 【预习新课】
(1)认识方位: 正东、正南、正西、正北、东南、 西南、西北、东北. (2 )找角度. 课内探究 【情境创设】 问题： 在茫茫大海上，我缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向. 先分组讨论，再由各组代表上台在黑板上展示并描述本组讨论的路线图. 在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上述类似问题，即如何描述一个物体的方位?让学生回忆学过的描述方法，师生共同探讨解决问题的办法?不断移动可疑船的位置，让学生描述缉私艇的航线，探求解决问题的规律. 【探索新知】 方位的表示通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示."北偏东45度”、“北偏西45度"、“南偏东45度”、“南偏西 45度”，分别称为“东北方向”、“西北方向”，“东南方向”、“西南方向”. 例如： OA南偏东60°方向 【学生活动】 1.如图，货轮O在航行的过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°方向上，同时，在它的北偏东40°,南偏西10°,西北方向上又分别发现了货轮B,货轮C和货轮D.画出表示货 轮代B, C, D.的射线.