复合材料力学讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
复合材料力学讲义
第一部分简单层板宏观力学性能
1.1各向异性材料的应力—应变关系
应力—应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为：
（1—1）
其中σi为应力分量，C ij为刚度矩阵εj为应变分量．对于应力和应变张量对称的情形(即不存在体积力的情况)，上述简写符号和常用的三维应力—应变张量符号的对照列于表1—1。
按表1—l，用简写符号表示的应变定义为：
表1—1 应力——应变的张量符号与简写符号的对照
注：γij（i≠j）代表工程剪应变，而εij（i≠j）代表张量剪应变
（1—2）
其中u，v，w是在x，y，z方向的位移。
在方程(1—2)中，刚度矩阵C ij有30个常数．但是当考虑应变能时可以证明弹性材料的实际独立常数是少于36个的．存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料当应力σi作用于应变dεj时，单位体积的功的增量为：
（1—3）
由应力—应变关系式(1—1)，功的增量为：
（1—4）
沿整个应变积分，单位体积的功为：
（1—5）
虎克定律关系式(1—1)可由方程(1—5)导出：
（1—6）
于是
（1—7）
同样
（1—8）
因W的微分与次序无，所以：
（1—9）
这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。
用同样的方法我们可以证明：
（1—10）
其中S ij是柔度矩阵，可由反演应力—变关系式来确定应变应力关系式为
（1—11）
同理
（1—12）
即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数．刚度和柔度分量可认为是弹性常数。
在线性弹性范围内，应力—应变关系的一般表达式为：
（1—13）
实际上，关系式(1—13)是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面．这种各向异性材料的别名是全不对称材料．比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述．各种材料性能对称的应力—应变关系式的证明由蔡（Tais）等给出。
如果材料有一个性能对称平面应力—应变关系式可简化为
（1—14）
对称平是z＝0．这种材料称为单对称材料．单对称材料有13个独立的弹性常数。
如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力—应变关系式是：
（1—15）该材料称为正交各向异性材料。注意到正应力σ1 σ2 σ3和剪应变ε23 ε31 ε13之间没有像各向异性材料中存在的(例如由C14的存在)相互作用。同样，剪应力和正应变之间没有相互作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用。还注意到在刚度矩阵中现在只剩下9个独立常数。
如果材料的每一点有一个各个方向的力学性能都相同的平面，那末该材料称为横观各向异性材料．例如，假定1—2平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标l和2是可以互换的．这样应力—应变关系式中只有5个独立常数且可写成
（1—16）
如果材料有无穷多个性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情形，此时刚度炬阵中只有2个独立常数。
（1—17）
五种最常用的材料性能对称情形的应变—应力关系式见方程(1—18)，(1—19)，(1—20)，(1—21)和(1—22)。
各向异性材料(21个独立常数)
（1—18）单对称材料(13个独立常数)(对于z=0的平面对称)
（1—19）
正交各向异性材料(9个独立常数)
(1-20)
横观各向同性材料(5个独立常数)(1-2平面是各向同性平而)
（1—21）
各向同性材料(2个独立常数)
（1—22）
正交各向异性材料的工程常数
工程常数(也称技术常数)是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其它性能常数．这些常数可用简单试验如轴向拉伸和疲劳试验来确定．因而具有明显的物理解释．这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。
最简单的试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变．这样柔度矩阵比刚S ij比刚度矩阵C ij能更直接确定．对正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵为
（1—23）
其中E1 E2 E3——分别为1，2，3方向上的弹性模量
υij——为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比即
（1—24）
此处σi＝0，其它应力全为零
G23 G31 G12——依次为2—3，3—1，1—2平面的剪切模量。
对于正交各向异性材料，只有9个独立常量，因为
（1—25）
这是由于柔度矩阵是方程(1—9)证明的对称刚度矩阵(C ij)的逆阵，当用工程常数代入方程(1—25)时，可得
（1—26）
这样正交各向异性材料必须满足这三个互等关系。只有υ12 υ13和υ23需要进一步研究，因为υ12 υ13和υ23能用前三个泊松比和弹性模量来表达．后三个泊松比亦不应忽视，因为在某些试验中它们可以测到．
在正交各向异性材料中υ12和υ21的区别可用图1—1来说明，该图表示了两种在单向应力作用下的正方形单元。第—种情况应力作用在图1—1的1方向。由方程(1—20)和(1—23)得到应变为
（1—27）
所以变形为
图1-1 υ12和υ21的区别
（1—28）
其中裁荷方向由上标表示．第二种情况是，伺样的应力值作用在图2—1中2方向，可得应变为
（1—29）
而变形为
（1—30）
显然，如果E1〉E2，则1Δ1〈2Δ2。但是，由互等关系，不管E1和E2关系如何，
1Δ2=2Δ1
这是用贝蒂(Betti)定理来处理各向异性材料的一个推广。即当应力作用在2方向引起的横向变形(或横向应变)和应力作用在1方向引起的相同。
由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆阵，由矩阵代数可得正交各向异性材料的矩阵之间的关系为
（1—32）
其中
（1—33）在方程(1—32)中，符号S和C在每一处都可互换以得到逆转关系式．
用工程常数表示正交各向异性材料的刚度矩阵C ij可由方程(1—23)表示的柔度矩阵S ij的求逆得到，或者把S ij代入方程(1—32)和(1—33)得到．方程(1—15)中的非零刚度是
（1—34）
其中
（1—35）
特别指出，假如要明确一种材料是否是正交各向异性的，可以从各种角度进行力学性能试验，看它是否存在剪力耦合影响的方向，由此确定材料是否是正交各向异性的、各向同性的、或是其它的。确定材料主方向的最简单方法是直观法．但是，应用直观法材料的特性必须能很容易地用肉眼看出。例如在用硼／环氧带制成的纤维增强简单层板中(图1—9)，容易看出纵向就是l—方向．同样，2—方向在带平面中垂直于纵向的方向．而3—方向则由垂直于带平面定出。
弹性常数的限制
1.3.1 各向同性材料
对各向同性材料，弹性常数必须满足某些关系式．如剪切模量可由弹性模量贝E和泊松比，确定
（1—36）
为了使E和G总是正值，即正的正应力或剪应力乘上对应的正应变或剪应变产生正功，于是
（1—37）
同样，如果各向同性体承受着静压力P的作用，体积应变(即三个正应变或拉伸应变之和)定义为
（1—38）
于是体积模量
（1—39）
是正值．只要E是正值，则
（1—40）
因为如果体积模量是负值，则静压力将引起各向同性材料体积膨胀．因此对各向同性材料，泊松比的范围是
（1—41）
1.3.2 正交各向异性材料
正交各向异性材料弹性常数间的关系较为复杂．为了避免陷入基于各向同性材料工作基础上的错觉，那些关系式应认真研究，首先，应力分量和对应的应变分量的乘积表示应力所做的功，所有应力分量所做的功必须是正值，以免产生能量．该条件提供了弹性常数数值上的热力学限制．事实上对前面各向同性材料所做的就是这个限制的结果．该限制由伦普里尔(lempriere)推广到正交各向异性材料。他要求联系应力—应变的矩阵在形式上是正定的，即有正的主值或不变量．于是，刚度和柔度矩阵两者都是正定的．
这个数学条件可由下述物理论证来代替，如每次只有一个正应力作用，对应的应变由柔度矩阵对角线元素决定．于是，这些元素必须是正的，即
（1—42）
或用工程常数表示
（1—43）．
同样，在适当的限制下，可能只有一个拉伸应变的变形．再则，功只是由相应应力产生的．这样，由于所作的功是由刚度矩阵的对角线元素决定的，这些元素必须是正的，即
（1—44）
由方程(1—34)
（1—45）
同时，因为正定矩阵的行列式必须是正的，得
（1—46）由方程(1—32)，根据刚度矩阵是正值导出
（1—47）
利用柔度矩阵的对称性方程(1—12)，得
（1—48）
于是方程(1—45)可以写为
（1—49）
如果S ij用工程常数表示，方程(1—49)也可以从方程(1—47)得到．同样，方程(1—46)可以表示为
（1—50）
亦可改写为
（1—51）
为了得到用另外二个泊松比υ32和υ13来表达一个泊松比υ21界限，方程(1—51)可进一步化为
(1—52)对υ32和υ13可得相似的表达式。
前述对正交各向异性材料工程常数的限制，可以用来检验实验数据，看它们在数学弹性模型的范围内是否与实际相一致．在硼／环氧复合材料的试验中，迪克森(Dickerson)和戴马蒂诺(DiMartino)报道说，在1方向加载荷引起2方向应变的泊松比(υ12) 高达，两个方向的弹性模量是E1=*106磅/英寸2，E2=*106磅/英寸2，于是
(1—53)
和条件
(1—54)
是满足的。因此，即使我们按照各向同性材料的直觉知识不能接受这么大的数值，但υ12＝1．97却是一个合理的数据。文献没有报道充分的资料以证明行列式条件(2—46)，这个条件可能是比较严格的。文献报道了另一个泊松比υ21为，这个值满足对称条件或互等关系(1—48)。
只有测定的材料性能满足限制条件，我们才有信心着手用这种材料设计结构物。否则，我们就有理由怀疑材料模型或实验数据，或者二者都怀疑。
正交各向异性简单层板的强度
1.4.1 强度概念
在描述层合板时，正交各向异性简单层板的强度特性如同刚度特性一样是一个重要的基础。因为要得到简单层板所有可能方向的强度特性事实上是不可能的，必须确定一个方法，以得到用材料主方向的特性表示任意方向上的特性。在此，众所周知的主应力和主应变的概念是无价值的。这里的中心点是主应力和主应变是与材料方向无关的最大值；应力和应变的方向对各向同性材料毫无意义。因为正交各向异性材料的主应力轴和主应变轴不一定是一致的。还有，在一个方向的强度比另一个方向低，所以最大应力不一定是控制设计的应力，必须合理比较实际的应力场和许用的应力场。
前面几节中在刚度关系方面已完成的工作可用作计算实际应力场的基础，尚待确定的是许用应力场。建立在材料主方向的许用应力或强度，是研究正交各向异性简单层板强度的基础。
对于应力作用在其自身平面内的简单层板，如果简单层板的拉伸强度和压缩强度是相等的，它具有三个基本强度：
X——轴向或纵向强度
Y——横向强度
S——剪切强度
(单位：力／面积，即许用应力)。这些强度的方向表示在图1—2中；显然，这些强度是应力σ1、σ2、τ12。单独作用的结果
图1—2 单向增强简单层板基本强度的确定X=50000磅/英寸2
Y=1000磅/英寸2
S=2000磅/英寸2
根据纤维的方向，像强度一样刚度在l—方向高而在2—方向低。假定在1—2平面内的应力是
σ1=45000磅/英寸2
σ2=2000磅/英寸2
τ12=1000磅/英寸2
那末，最大主应力显然低于最大强度。然而，σ2比Y大，这样简单层板必定在所加应力下破坏。在正交各向异性简单层扳中，要注意的关键是强度是应力方向的函数。相反，对各向同性材料，强度和施加于物体上的应力方向无关。
如果材料的拉伸和压缩性能不相等（多数复合材料都是如此)，那末下述强度是必须的：
X t——轴向或纵向拉好强度
X C——轴向或纵向压缩强度
Y t——横向拉伸强度
Y c——横向压缩强度，
S——剪切强度
上述强度必须定义在材料主方向上。
材料主方向的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，它必须由纯剪应力确定。即对于拉伸和压缩呈现不同性能的材料，不管剪应力是正的还是负的，都具有相同的最大值。观
察图1—3中单向增强简单层板上作用着正的或负的剪应力，可知上述陈述是合理的。剪应
力正负的规定和帕加诺与周(Chou)的规定是一致的。在图1—3中，标明了正的和负的剪应力的应力场之间没有区别。这两个应力场彼此镜面对称。即使用图1—3的下半部分来检验主应力时也是如此。于是在两种情况下的剪应力的最大值是相同的。
图1—3在材料主方向上的剪应力图1—4 在和材科主方向成45o角的剪应力但是，在非材料主方向上的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号。例如，在和材料主方向成45o时，正的和负的剪应力在纤维上产生符号相反的正应力，如图1—4所示。图中对于正的剪应力，纤维方向有拉伸应力，而垂直纤维的方向上有压缩应力．对于负的剪应力，纤维方向存在着压缩应力，而拉伸应力垂直于纤维．然而材料的法向强度和法向刚度在拉伸和压缩时是不同的。因此对于作用在和材料主方向成45o的正的和负的剪应力的表观剪切强度和剪切刚度是不同的。这个道理可以由简单的单向增强简单层板推广到织物材料。
上述例子只是分析具有不同拉伸和压缩性能的正交各向异性材料所遇到的因难之一。此外这个例子也说明了，在材料主方向上的那些基本资料是怎样转换到其它有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向．这样的转换仅仅指出不管是强度还是刚度，这些基本资料是张量形式的，因此服从张量转换的常用规则。
对于拉伸和压缩具有不同强度和刚度的材料的这个课题，不准备探入研究(除了报道不同强度之外)，因为对这种材料的研究仍处于初始阶段．但是这个课题对于一般的复合材料是十分重要的，即使不是纤维增强层合复合材料。
1.4.2 强度和刚度的实验确定
对于拉伸和压缩性能相等的正交各向异性材料，可以进行一定的基本试验来得到材料主方向的性能。如果正确地进行试验，一般可以同时求得材料的强度和刚度特性．刚度特性是
述月E1 E2 υ12 υ21中只有三个是独立的
强度特性是
X——轴向或纵向强度(1—方向)
Y——横向强度(2—方向)
S——剪切强度(1—2平面内)
通过下述几个试验，可以得到上述的基本刚度和强度数据。试验的基本原则是，当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力—应变关系是线性的．这样的线性关系对玻璃／环氧复合材料是典型的，对于硼／环氧复合材料也是十分合理的。而剪切性能却完全是非线性的，直到破坏为止。这个到破坏为止的线弹性特性和直到塑性开始之前呈现线弹性性能的物体的分析是完全相似的．因此塑性理论的某些概念例如屈服函数，对于强度理论是有用的模拟，这点将在后面讨论。
简单层板的刚度和强度特性的试验测定中的关键，是使试件承受均匀应力状态。对于各向同性材料达样的加裁是比较容易的。然而，对于正交各向异性复合材料当载荷作用在非材料主方向时[此时的应力—应变关系式由方程(1—55) 给出]，这个正交各向异性性能将导致：
(1)正应力和剪应变
(2)剪应力和正应变
(3)正应力和弯曲曲率
(4)弯曲应力和正应变
之间出现藕合影响．这样为了保证得到所期望的数据，必须特别谨慎。
(1—55)
首先考虑一单向增强简单层板平片在1—方向的单向拉伸试验如图1—5所示。在这个试验中测量应变ε1和ε2，由定义：
(1—56)
其中A是垂直于作用载荷的试件横截面积。
第二，考虑一单向增强简单层扳平片在2—方向的单向拉伸试验如图1—6所示．像第一种试验那样，测出ε1和ε2，这样
(1—57)
其中A也是垂直于作用载荷的试件横截面积。
图1—5在1—方向作用单向载荷图1—6在2—方向作用单向载荷
此时，刚度性能必须满足互等关系式：
(1—58)
否则就存在着三种可能性
(1)测量的数据不准确
(2)进行的计算有错误
(3)材料不能够用线弹性应力—应变关系式描述
第三考虑一简单层板平片，在和l—方向成45o角的单向拉伸试验如图1—7所示。单独测量εx，显然
(1—57)
应用方程(1—59)中转换关系式
(1—58)
(1—59)
其中，只有G12是未知的。于是
(1—60)
对于强度，不存在像方程(1—60)一样的关系式因为强度没有必要像刚度一样转换．因此，不可能依赖这个试验来决定极限剪应力S，因为伴随的剪切破坏并不引起纯剪切变形．所以，必须考虑得到S的其它方法。
(1—61)
然而，在转到决定剪切强度的其它方法之前，评论进行第三种试验的难易程度是合适的。显然，由方程(1—61)可见，由于S16的存在，在正应力σx和剪应变γxy之间存在着藕合影响．这样，虽然只有P力表示在图1—7中，试验并不能正确地进行，除非作用力是均匀地横贯于端部，且简单层板的端部像图1—8的左图那样自由变形．否则，如果简单层板的端部嵌在试验机中，并作用着合力P则简单层板将由剪切变形受到限制而扭曲成如图1—8右图中的形式．如果和宽度相比试件足够长，在这种试件的中部，其变形相似于图1—8所示的没有限制的简单层板的剪切和拉伸。这就是说，远离圣绍南(gt．venant)端部效应，试验的方式是无关紧要的．然而在正常情况下，我们不能选用足够多的材料来得到有用的标距段。
图1—7单向裁荷作用在和1—方向成45o角图1—8载荷自纤维成45o角的单向增强简单层扳的变形
图1—7和1—8表示的非铀向试验的另一个特性，实际上不是测弹性模量E x，而是测量了转换后的二维刚度Q11除非试件有高的长—宽比。这个矛盾的原因在于，在试件中几何上容许的应变状态强烈地依赖于几何形状。如果试件是长而细的，按照圣维南原理，试件端部夹紧的边界条件是不重要的．因此可以得到纯粹的单向应变：
(1—62)
然而，对短而粗的试件端部限制：σx≠0，εy=γxy =0将导致应力—应变关系：
(1—63)
读者可利用所述条件和推导σx的关系来证明方程(1—62)和(1—63)。方程（2—62）的E x和方程(1—63)中的Q11的区别是显着的，它可通过石墨／环氧试件的图1—9得到最好的说明．图中，对于和纤维方向成30o角的非轴向试验，Q11的值比E x大倍．Q66和Q xy相比亦存在相似的差别。对于E1／E2的值较低的材料，Q11和E x之间的差别是较小的．Q11和E x之间的差别的实际意义是非轴向试件的长—宽比必须足够大以保证测量的是E x而不是Q11。
图1—9 刚度圆Q66和Q xy与弹性模量G xy和E x 的比较
讨论的最后一个试验实际上包括测定剪切模量和强度的一组试验。讨论了几个试验。因为每一个试验都有缺点而且在某种程度上，它们没有被普遍承认为是最好的剪切性能试验。
由惠特尼，帕加诺和派普斯描述的管子扭转试验简明地表示在图1—10中。图中，薄的圆管在两端承受扭矩T．管子由全部平行于管轴，或者全部周向的多层纤维薄片组成。如果管壁很薄，有理由确信在整个壁厚内是等应力状态的。然而，由于管壁簿，端部夹固困难。通常，管子的端部由附加胶按层来加厚，以使加栽时，破坏发生在管子中间的均匀应力部分。制造扭转试件管子的费用高，且需要比较完善的测试设备．如果测得在剪应力τ12作用下的剪应变γ12则
(1—64)
(1—65)
也可得到应力—应变曲线的线性部分的剪切弹性模量
(1—66)
然而，典型的剪应力—剪应变曲线是完全非线性的，如图1—10所示．因此，如像韩(Hahn)和蔡(tsai)所做的那样，在实际分析中应该用完全的应力—应变曲线代替初始“弹性”模量。尽管如此，大多数复合材料仍然是用方程(1—66)给出的初始弹性模量进行分析的。
图1—10 管子扭转试验
另一个用来测量复合材料剪切模量和剪切强度的试验是肖克(Shockey)提供的“十字梁”试验，他评价的复合材料简单层板为夹层梁的面板，梁的芯子的弹性
模量约比简单层板小二个数量级。如图1—11表示的承受着载荷的十字梁。这样产生了一个薄膜应力状态，与x抽成45o方向，可能是均匀纯剪应力。然面由于交叉角处的应力集中，均匀应力状态只是在十字中心才达到。破坏在交叉角处开始。所以十字梁试验不是一个合适的测量剪切强度和剪切刚度的方法。还有一种剪切强度和剪切刚度试验，它是由惠特尼(Whitney)，斯坦斯巴杰(Stansbarger)和豪厄尔(howell)所描述的“轨道剪切”试验。用两根轨道在简单层板两对边用螺栓连结起来，如图1—12所示，一对在层合板的顶部伸出而另一对在层合板的底部伸出，组合件放置在万能试验机加载夹头之间加压。这样，简单层板中引起剪切，考虑到端部影响(例如简单层板顶部和底部的自由边)，这种试件的几何形状必须仔细选择。这些和其它一些影响可能导致测定的强度低于实际情况。尽管如此“轨道剪切”试验在航空工业中是广泛应用的，因为它简单、便宜而且还能用来做高低温的试验。
图1—11 夹层十字梁试验图1—12 “轨道剪切”试验