函数解析式的确定方法
张磊
函数解析式是表示函数定义域与值域之间的一种关系,求函数解析式一般有以下几种情形
方法一:待定系数法
该方法主要用于已知函数的类型,求函数的解析式. 其步骤为:设出函数的解析式,该据已知条件确定待定系数.
例1.已知f(f(x))=4x+3,且f(x)是一次函数,求f(x).
解:设f(x)=kx+b,那么f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=x+(kb+b).又f(f(x))=4x+3.比较对应项系数可得,解得或
∴所求函数的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x 3
例2.(2005全国I文)已知二次函数f(x)的二次项的系数为a .且不等式f(x)> 2x的解集我(1 ,3) .
⑴若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.
⑵若f(x)的最大值为正数.求a的取值范围.
解: ⑴∵f(x)+2x>0的解集为(1 ,3),设f(x)+2x=a(x1)(x3),且a<0 ,∴
f(x)=a(x1)(x3)2x=a(2+4a)x+3a .由方程f(x)+6a=0得a(2+4a)x+9a=0 ∵方程a(2+4a)x+9a=0有两个相等的根,∴? 4a?9a=0 即54a1=0 .解得a=1或a=- ,由于a<0,舍去a=1 ,从而可得f(x)的解析式, f(x)=-x
⑵略
方法二换元法
该方法主要用于已知f(g(x))=h(x)型,(这里g(x)是一一映射所确定的函数),求f(x).其解法步骤为:可设g(x)=t,从中解出x=φ(t),代人f(g(x))=h(x)中,可求得关于t的函数式f(t),即求得f(x).
例3 ⑴已知f(x+2)=2x 3 ,求f(x).
⑵已知f()=x 2 ,求f(x) .
解: ⑴令x+2=t ,则x=t 2 ,将x=t2代人f(x+2)=2x3中得f(t)=2 3 ,即f(t)=6t+5 ,∴f(x)=6x+5
⑵令=t,解得x=,将x=代人f(
)=x 2 ,得f(t)= 2 ,∴f(x)= 2
方法三配凑法
该方法也主要用于已知f(g(x))=h(x)型,求f(x)解析式.其步骤是: h(x)配凑成关g(x)的代数式,再将f(g(x))=h(x)中g(x)替换为x,从而求得f(x).
例4 ⑴已知f(x+2)=2x 3 ,求f(x).
⑵f(x+)=+ 2 , 求f(x) .
解: ⑴∵f(x+2)=2x3=6(x+2)+5 ,用x替换
可得 , ∴f(x)=6x+5
⑵∵f(x+)=+2= 4 , ∴f(x) = 4
方法四动点转移法(相关点法)
该方法主要用于两函数图像关于某点或某线对称,求函数的
解析式问题. 其步骤是:设出所求函数图像上的点的坐标为(x ,y),再求该点(x ,y)关于某点或某直线的对称点(),这个对称点()必在已知函数的图像上,所以将这个对称点()代人已知图像对应的解析式,即可求得未知图像对应的解析式.
例 5 ⑴设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时f(x)=+2x1,则f(x)的解析式为_________
⑵已知函数y=2x与y=g(x)的图像关于点(2 ,3)对称,则g(x)的解析式为______________
解:⑴设点(x ,y)是x<0的图像上的点,则该点关于原点的对称点(-x ,-y)必在f(x)=+2x1上,所以y=f(x)=+2(x)1,因f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x) f(x),化简得, f(x)+2x+1.
>
∴f(x) =
⑵因g(x)的图像的点(x ,y)关于点(2 ,3)的对称点(4x,6y)在函数y=2x的图像上,∴6y=2(4x) ,即y+6x 2.
g(x)= +6x 2
方法五消元法
该方法主要用于同时含有f(x) , f(?x)或f(x) ,f( 的函数关系式,求解f(x)的解析式问题.其方法是将x用?x替换或将x用替换,再得到一个函数关系式,联立方程组,通过消元,即可求得f(x) 例6 ⑴已知f(x)+2 f(x)=,则f(x)=_______
⑵已知f(x)+2 f( =3x ,则f(x)=________
解:⑴用x代替f(x)+2 f(x)=中的x可得, f(x)+2 f(x)=,联立,解得f(x)=
⑵用替换f(x)+2f( =3x中的x可得, f( +2f(x)=,联立
可解得f(x)=
专项练习
1 若f(x)=+4x+3,f(ax+b)=+10x+24 ,则5a b=____
2 已知f(x)为二次函数,其对称轴x=2 ,抛物线与x轴两交点之间距离为6 ,图像过点(
3 ,4) ,则f(x)=____
3 已知f(1)=x 则f(x) =____
4已知f()=lgx ,则f(2) =____
5 已知函数f(x)定义在( ∞ , ∞)上偶函数,当x∈( ∞ ,0)时f(x)=
=x,则当x∈(0 , ∞)时, f(x) =____
方法六、奇偶性法
该方法主要用于已知奇函数或偶函数在y轴某侧的解析式,求其对称区间的解析式问题.
例7 已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=+1,求x>0时的解析式.
解:设x>0,则x<0,所以f(-x)=1,因f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),所以-f(x) =1,即f(x) =-++1
高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法： 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ，求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ，求)(x f . 解：设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设3 3 22 1)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++ =+，求)]([x g f . 解：2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解：)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π.
二、 待定系数法：（主要用于二次函数） 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程， 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f （x ）= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ，求)(x f . 解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得：?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得：?? ???=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数 叫做分段函数。 例1、设函数(]()???+∞ ∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由41log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方 程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求 出系数。 例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
在Excel中If函数的使用方法 ▲在“成绩表”工作表中，在“等级”字段下用粘贴函数的if 函数将“英语”成绩小于60分的用“不及格”表示；60～89分的用“合格”表示；大于等于90分的用“优秀”表示。 ▼=IF(E7>=90,"优秀",IF(AND(E7>=60,E7<90),"合格",IF(E7<60,"不及格"))) ■高中同学遇到了一个在excel中的函数问题，我们探讨了一下，感觉还可以，基本上可以实现目前想要的结果，就是在excel 中把两列的数值进行对应，输入一个值就出来另外一个数值．这样的问题可以用if函数来解决的，通过if函数自然就可以看到结果．不过这样的if最多就７个，不能满足需要，我觉得通过计算机其他语言的学习，我完全可以用case语句，如果case语句用不了，不知道还能用什么语句了． D2小于等于50,D3小于等于1800便为"合格"反之为:"不合格",公式应该是输入? =if(and(d2<=50,d3<=1800),"合格","不合格") 在B1单元格编辑公式 =IF（A1>=500,"一级",IF(AND(A1>=450,A1<500),"二级","三级")) 回车确认即可。 可以用填充柄把B1中的公式向下复制到相应的单元格。 就这些语句就足够了． 只要掌握了他的语句格式，和他的语法，基本上就可以解决的．不
过excel中应该还有很多其他的功能和算法需要研究． 眼镜小熊的问题：我在学校里做成绩单，老班要求每一个人列出自己的追赶目标是谁，为了在成绩单里体现每个同学的追赶成功与否，要把同学本人的成绩与被追赶同学的成绩加以比较，再返回Yes或No。可是用手工一个个向单元格里制造函数太累了，谁能帮我想个一劳永逸的办法？ 增加K列，显示追赶成功与否的结果(如上图所示），在K4中输入公式： =IF(ISNA(MATCH(J4,$B$4:$B$9,0)),"",IF(H4 函数解析式的求解方法 1.配凑法 例1.已知f （x ＋ x 1）＝2x ＋21x ，求()f x 的解析式 例2.已知3311()f x x x x +=+ ，求()f x 例3.已知f(x+1)=x-3, 求()f x 2.换元法（整体思想） 已知形如[()]y f x ?=的函数求解()f x 的解析式：令()x t ?=，反解()x t φ=，代入[()]y f x ?=，即可求解出。 例4.已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例5.22)1(2++=+x x x f 求)3()(),3(+x f x f f 及 3.构造方程组法 若式子中，同时含有()f x 与()f x -，或者同时含有()f x 与1()f x ，那么将式子中的x 用x -替换，或是x 用1x 替换，得到另一个方程，通过求解方程组求解()f x 例6.设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 例7.设)(x f 满足关系式x x f x f 3)1(2)(=+求函数的解析式 4.特殊值法 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例8.已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 求)(x f 例9.已知函数)(x f 对于一切实数 x,y 都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 1.求)0(f 的值 2.求)(x f 的解析式 5.待定系数法（知道函数类型） 例10已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。 例11 已知f(x)是二次函数，且442)1()1(2 +-=-++x x x f x f ，求)(x f 《确定二次函数的表达式(第1课时）》 教学设计说明 江西省东乡区黎圩中学李智武 一、学生知识状况分析 学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难，因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程. 二、教学任务分析 本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程. 本节课的教学目标 知识与技能： 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式. 过程与方法： 经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法. 情感、态度与价值观： 能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识. 学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节： 第一环节 复习引入 1.二次函数表达式的一般形式是什么? y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0) 2.二次函数表达式的顶点式是什么? k h x a y +-=2)( (a ≠0). 3.若二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式? )x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0). 复习引入 初步探究 深入探究 反馈练习 与知识拓展 课时小结 作业布置 1 / 3 一次函数解析式的确定练习题 第1题?如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ? b 的图象，看图填空: 则y 与x 之间的函数关系式是 第5题.已知直线y = _5x ? a 与直y = 5x ? b 的交点坐标为 （m,8）， 贝H a b 的值是 _________________ . 1 第6题.若直线y x ? n 与直线y = mx -1相交于（1, - 2），则（ ） 2 第7题.已知下表是y 与x 的一次函数，请写出函数表达式， x -2 -1 0 2 3 y 4 第8题.如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ?b 的图象. （1 ）图象经过（0, _ ）和（ _ -）点; （2）贝廿 k 二 ___ - b 二 _________ 第9题.某一次函数的图象经过点 （-1,2）-且函数y 的值随自变量2 出一个符合上述条件的函数关系式是 _____________________ 1 第10题.已知y-m 与3x+6成正比例关系（m 为常数当帚 -1 -2 第11题.已知一次函数y 二kx ? b 的图象经过点 A （2,5）和点E ,点E 是一次函数y = 2x -1 的图象与y 轴的交点，则这个一次函数的表达式是 ___________________ . 1 第12题.直线y =kx ? b 过点（-2,5）且与y 轴交于点P ，直线y x 3与y 轴交于Q - (1) b = k 二 ; (2 )当 x = 6 时， y = ； (3 )当 y =6时， X 二 . 第 2题. 一次函数 y =bx 2的图象经过点A （_1,1） ,I 则 b Y 第3题.正比例函数的图象经过点 A （-2,-3），求正比例函数的关系式. 第4题.y ?3与x 1成正比例，且当x = 1时，y =1 -T O k y / I /的增大而减小，请你写 I | 4 时，a yp4，当 x = 3 时, y =7，那么y 与x 之间的函数关系式是 1 2 3 2 19．2一次函数（2） 班级学号姓名 【学习目标】 1．能根据已知条件确定一次函数关系式． 2．能利用一次函数关系式求相应的自变量的值以及函数值． 【重、难点】 重点：运用待定系数法求一次函数关系式． 难点：求一次函数关系式中的自变量的取值范围． 【新知预习】 1．已知函数y＝2x－3，当x＝－2时，y＝____；当y＝1时， x＝___ ．2．某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往车辆为3000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系，及x的取值范围． 【导学过程】 活动1： 一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm. （1）写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式； （2）5h后蚊香还剩多长？ （3）该盘蚊香可以使用多长时间？ （4）求t的取值范围. 活动2： 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的一次函数,当所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求所挂物体的质量为4克时的弹簧的长度； （3）当弹簧长为29厘米时，所挂物体的质量为多少克？ 小结：求一次函数表达式的一般步骤： 例1．已知：y是x的正比例函数，x=2时，y=6，求y与x的关系式. 例2．已知y与x－3成正比例，当x=4时，y=3，求y与x的函数关系式． 变式1 已知y－1与x成正比例，当x=2时，y=－4，求y与x的函数关系式． 变式2 已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x=－1时，y=2； 当x=2时，y=5，求y与x的函数关系式． 例3．长方形的周长为20cm． (1)写出长y与宽x之间的函数关系式； (2)当长为5 cm时，宽为多少？ (3)求长的取值范围． 【反馈练习】 1.完成课本P145练习． 2.已知函数y=4x+5,当x=-3时，y= ；y=5时，x= ． 3.已知y与4x－1成正比例，当x=3时，y=6，求出y与x的函数关系式． 4.已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y=9; 当x=2时，y=-3. (1)求这个函数的函数关系式； (2)y=5时，求x的值． 5.已知：y－3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值； （3）计算y＝4时，x的值. 6．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸，按如图所示方法粘合在一起，粘合部分白纸为2cm. （1）求10张白纸粘合后的长度； （2）设x张白纸粘合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式； （3）求x的取值范围． IF函数的使用方法及操作实例 分步阅读 IF函数：假设条件性的函数，即执行真假值的判断，根据逻辑计算的真假值，返回不同的结果。EXCEL中IF函数的使用非常广泛，特别是在单条件判断的时候，用好 IF函数可以帮我们完成很多功能。现结合具体的实例操作，进行说明：方法/步骤 1.一、IF函数的基本应用。 if（logical_test,value_if_true,value_if_false) IF是条件判断函数：=IF(测试条件,结果1,结果2)，即如果满足“测试条件” 则显示“结果1”，如果不满足“测试条件”则显示“结果2”。 例一： 图1中，成绩结果60分以上(含60分)为及格，60分以下为不及格。执行IF 函数如下： 在C2单元格中输入：=IF(B2>=60，“及格”，“不及格”），再把此单元格格式往下拉动，即可。 注意：“及格”，“不及格”的双引号，要在英文输入法情况下输入的引号（" ）。 如下图1。 2.二、IF函数的复杂应用。IF 函数条件带复合运算。 例二：股票佣金计算。在股票交易中，经常要考虑成本，而佣金占很大的成本。 佣金怎么计算？佣金：佣金费率最高千分之三，最低5元，不足5元，按5元收取。现在佣金费率以千分之三，运用IF函数进行计算。 图2中，红色单元格为佣金值。佣金 = 成交金额 * 佣金费率0.003 。在红色单元格D7中输入：=IF(D4*B7>=5，D4*B7,5) 就会自动计算佣金费。图 2.1为大于或等于5元时的情况，图2.2为不足5元时的情况，仍会显示5。 如下图2 3. 3 三、IF函数高级嵌套应用。 例三：IF函数嵌套运用。某公司销售提成的计算，销售额大于80万元(含80万)，提成按40%计算；销售额为80-60万(含60万)，提成按30%计算；销售额小于60万，提成按20%计算。计算方法：在C2单元格输入：=IF(B2>=800000，B2*0.4，IF(AND(B2<800000，B2>=600000)，B2*0.3，IF(B2<600000，B2*0.2))) 如下图3。 END 注意事项 IF函数的嵌套，有几层IF条件，后面就有几个反括号。嵌套最多不要超过7层。 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 一次函数解析式的确定及应用 学习目标 1.经历用待定系数法确定一次函数解析式的过程，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，提高数学运算能力. 2.能够用一次函数的相关知识解决实际问题，感受一次函数在解决实际问题中的作用，提高利用数学建模解决实际问题的能力. 教学过程 活动一:待定系数法 1.已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求这个一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为 ，将点（2，5）和（-1，-1）代入，得方程组 ，解方租 ，所以这个一次函数的解析式为 . 2.一次函数)0(≠+=k b kx y 中有 个待定系数，因此需要根据 个条件才能列出关于 的二元一次方程组求解. 探究归纳： 1.待定系数法 先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. 2.求一次函数解析式的步骤 （1）设出 （2）根据条件列出解析式中关于未知系数的方程（组）; （3）解方程（组），确定 （4）根据求出的未知系数确定 活动二:知识点即时反馈练习 1.一次函数3+=kx y 中，当3=x 时，6=y ，则k 的值为( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5 2.如果一次函数的图象经过点（0，1）和（-1，3），那么这个函数的解析式为( ) A.1 - y 2- =x =x 2+ - y B.1 C.1 =x 2+ 2- y y D.1 =x 3.如图，直线l为一次函数b =2的图象，则= x y+ b 活动三：典型习题 例1.（1）已知一次函数的图象过A（-3，-5），B（1，3）两点，求这个一次函数的解析式为.（2）已知直线b =，求这个一 y2 - y+ kx =经过点A（0，6），且平行于直线x 次函数的解析式. 变式练习1 一次函数的图象与直线1 y平行，且经过点 A（1，-7），求这个一次函数的解 =x 3- - 析式. 变式练习2 已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求一次函数的解析式. 例2.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（单位∶元）与每月用水量x（单位∶m3）之间的 关系如图所示. （1）求y关于x的函数解析式 （2）若某用户二、三月份共用水 40 m2（二月份用水 在Excel中If函数的使用方法 电脑资讯2007-10-15 16:58:46 阅读3614 评论0 字号：大中小订阅 ▲在“成绩表”工作表中，在“等级”字段下用粘贴函数的if函数将“英语”成绩小于60分的用“不及格”表示；60～89分的用“合格”表示；大于等于90分的用“优秀”表示。 ▼=IF(E7>=90,"优秀",IF(AND(E7>=60,E7<90),"合格",IF(E7<60,"不及格"))) ■高中同学遇到了一个在excel中的函数问题，我们探讨了一下，感觉还可以，基本上可以实现目前想要的结果，就是在excel中把两列的数值进行对应，输入一个值就出来另外一个数值．这样的问题可以用if函数来解决的，通过if函数自然就可以看到结果．不过这样的if最多就７个，不能满足需要，我觉得通过计算机其他语言的学习，我完全可以用case语句，如果case语句用不了，不知道还能用什么语句了． D2小于等于50,D3小于等于1800便为"合格"反之为:"不合格",公式应该是输入? =if(and(d2<=50,d3<=1800),"合格","不合格") 在B1单元格编辑公式 =IF（A1>=500,"一级",IF(AND(A1>=450,A1<500),"二级","三级")) 回车确认即可。 可以用填充柄把B1中的公式向下复制到相应的单元格。 就这些语句就足够了． 只要掌握了他的语句格式，和他的语法，基本上就可以解决的．不过excel中应该还有很多其他的功能和 算法需要研究． □在Excel中If函数的使用方法https://www.doczj.com/doc/7f4722022.html,/question/15517131.html https://www.doczj.com/doc/7f4722022.html,/qdike/blog/item/6f639f58c48be7de9c8204cb.html 回答眼镜小熊的问题：我在学校里做成绩单，老班要求每一个人列出自己的追赶目标是谁，为了在成绩单里体现每个同学的追赶成功与否，要把同学本人的成绩与被追赶同学的成绩加以比较，再返回Yes 或No。可是用手工一个个向单元格里制造函数太累了，谁能帮我想个一劳永逸的办法？ 增加K列，显示追赶成功与否的结果(如上图所示），在K4中输入公式： =IF(ISNA(MATCH(J4,$B$4:$B$9,0)),"",IF(H4 4.4确定一次函数表达式的六种类型 【学前准备】： 1.正比例函数的表达式是 ；一次函数的表达式是 . 2.正比例函数图象一定经过坐标 ，正比例函数图象和一次函数图象都是 。 3.直线x y 2-=与直线52+-=x y 的位置关系是 ；直线13--=x y 与 直线5+=x y 的位置关系是 4.一次函数2-=kx y 中，若y 随x 的增大而减小，则k 0； 5.一次函数3+=kx y 中，当x=-2时，y=1，则k= 。 6.函数b x y +-=的图象经过点（－5，2），则b= . 想一想： （1） 确定正比例函数的表达式需要____个条件， （2） 确定一次函数的表达式需要_____个条件。 一、根据规律： 1.某山区的气温t （℃）和高度h （米）之间的关系如下表 由上表得t 与h 之间的关系式是 . 二、根据图象： 直线l 是一次函数 y = kx + b 的图象， (1) b = ，k = ； (2) 当x =30时，y = ； (3) 当y =30时，x = 。 三、根据平行： 1.一次函数y=kx+b 的图象平行于正比例函数y=0.5x 的图像，且过点（4，7），求一次函数的解析式以及与坐标轴的交点坐标. 2.已知正比例函数y=kx 经过点P(1，2），如图所示． （1）求这个正比例函数的解析式； （2）将这个正比例函数的图像向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、 原点O 的像P '、O '的坐标，并求出平移后的直线的解析式． O' P'P (1, 2 )O x y 四、根据面积： 直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积是4，求表达式。 五、根据定义： 1.y与x成正比例，其图象经过)1,3 (P；求y与x的关系式。 2、已知y-1与x+1成正比例，且x=2时，y=7，求表达式。 3、若函数y=kx+b的图象经过点（-3，-2）和（1，6）求k，b及表达式。 六、根据交点： 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，-5)，且与正比例函数y= 1 2x的图象相交于点(2， a)，求 (1)a的值 (2)k，b的值 (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 五种类型一次函数解析式的确定 确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。 一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式 例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。 分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6）， 所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。 解： 因为，函数y=3x+b经过点（2，-6）， 所以，把x=2，y=-6代入解析式中， 得：-6=3×2+b， 解得：b=-12， 所以，函数的解析式是：y=3x-12. 二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式 例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7）， 求函数的表达式。 分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b， 因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。 解： 因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7）， 所以，4=3k+b，7=2k+b， 所以，b=4-3k，b=7-2k， 所以，4-3k=7-2k， 解得：k=-3， 所以，函数变为：y=-3x+b， 把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b， 解得：b=13， 所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。 三、根据函数的图像，确定函数的解析式 例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系． 求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。 分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。 解： 因为，函数的图像是直线， 所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数， 设：一次函数的表达式为：y=kx+b， 因为，图像经过点A（0，40），B（8，0）， 所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中， 得：40=k×0+b，0=8k+b 解得：k=-5，b=40， 所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。 当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时； 当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时， 所以，自变量x的范围是：0≤x≤8. 四、根据平移规律，确定函数的解析式 例4、如图2，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．（08年上海市） 求解函数解析式 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. ●难点磁场 (★★★★)已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1). ［例1］(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1 (1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x ) 的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2 +bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目. 知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 excel函数中 if函数的使用非常广泛，特别是在单条件判断的时候，用好if函数可以帮我们完成很多功能。 最简单的 excel if函数应用 例子：下图数据在d列显示如下结果：如果数据1大于60则显示合格，否则显示不合格。 那么在d2单元格输入以下公式： =if(a2>60,"合格","不合格") 然后向下拖拽，自动生成数据，如下图D列效果。 if函数必须的条件： 每一个 if函数必须使用英文的括号括起来； 括号内为三个数据，第一个数据是条件（如上例中的a2>60），第二数据为满足第一个数据后返回的结果，通常使用英文的引号括起来，第三个数据是不满足第一个数据时需要返回的结果；（如果不输入第三个数据可以吗，当然可以，返回什么结果自己试试吧） 经常出现的错误： 其中的符号如逗号和引号皆为英文（也就是所谓的半角）； if的右括号放在了条件的后面；（这是在多个条件使用if函数进行嵌套时非常容易犯的错误） if函数嵌套用法 例子：下图数据，在e列显示如下结果：如果数据1小于60则显示不合格，如果大于等于60而小于80则显示合格，如果大于等于80而小于90显示良好，如果大于等于90则显示优秀。 这是经典的if嵌套应用例子，需要我们使用 if函数的嵌套。 if嵌套书写前，首先你要理解要求，并将要求数学化，也就是使用数学的模式表达出来，if函数多重嵌套一般情况下我们可以将它看做分段函数，那么问题就很容易解决了。例子可以在E2单元格使用如下代码： =if(a2<60,"不合格",if(a2<80,"合格",if(a2<90,"良好","优秀"))) 当数据1小于60时，显示不合格，这时在“不合格”逗号的右侧默认就是>=60的情况，那么根据题意，只需再满足<80即可显示合格，于是我们将最简单的 if 函数的第三个数据变成了一个if函数，依次类推，每一次可以将一个if函数作为每一个基本函数的第三个数据，从而形成多种嵌套。 （图例中多余在最后一个 if前后加了一个括号，当然这种方法也正确，但不是最简单的。） 其实还有另一种写法，也就是将嵌套的if写在基本if函数的第二个数据的位置，如下图，不过这种写法不常用，也比较不好理解，并且容易写错，不推荐大家使用。 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为 二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用函数解析式的求解方法例题
确定函数表达式
一次函数解析式专题练习(全面)
确定一次函数解析式
IF函数的使用方法及操作实例
高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法
二次函数解析式的确定(10种)
一次函数解析式的确定及应用
在Excel中If函数的使用方法
4.4确定一次函数表达式的六种类型1
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
八年级数学上册 五种类型一次函数解析式的确定(人教版)
求解函数解析式
excel if函数 if函数嵌套用法
求函数解析式常用的方法
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