二次函数的概念与一般形式
教材分析
函数是描述现实世界中变化规律的数学模型,用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系,但是有些问题的变量之间关系不是用一次函数可以表示的,比如教材引言中举的三个例子,正方体表面积与棱长之间的关系;竖直上抛的小球,小球的高度与运动时间之间的关系;喷头喷出的水珠在空中走过的曲线,水珠的竖直高度和它距离喷头的水平距离之间的关系,这些问题需要用到二次函数,所以根据生活的实际需要,从一次函数需要扩充到二次函数.
教材第一节通过对三个实际问题的分析得到变量之间的数量关系,并对照函数的概念判断它们是否是函数,然后引导学生思考这些函数的共同特点,从而归纳得出二次函数的概念、一般形式以及二次项系数、一次项系数、常数项的概念,而且教材举的三个例子刚好能说明
,而可以为0.通过归纳具体函数的共同特点,类比一次函数定义二次函数的概念,体现了研究代数学问题的一般方法,同时在实际问题情境中体会二次函数的意义.一般形式,是对具体函数从自变量的“次数”和“项数”等角
度进行归纳的结果,的规定是由“二次”所要求的结果,一元二次方程
是函数值的特殊情况.
本章开篇,从三个实际问题无法用一次函数刻画变量之间的关系,由此引发学习本章内容的需要.接着,通过引导写出正方体表面积与棱长,球队比赛场次数与球队数,年产量与年数之间具体的函数关系,引入二次函数概念.教材在“思考”栏目中提出归纳几个函数共同特点的学习任务,引导学生进行独立思考与发现.引导学生从“自变量的次数”进行归纳,归纳出二次函数的概念及其数学符号表示(二次函数的一般形式).这样编排,不仅可以使学生认识到学习二次函数是解决实际问题的需要,而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程,积累数学活动经验,从而培养模型思想,逐步形成应用意识.教材把二次函数放在一元二次方程的后一章,目的是体现二次函数
与一元二次方程之间的联系.(1)在一元二
次方程中,是一个二次多项式,同样在二次函数
中也是一个二次多项式,很好地帮助学生理解二次函
数中要求,不是二次函数.(2)二次函数
,当时就得到,可以从函数的角度重新认识一元二次方程,同时说明可以用一元二次方程的知识解决二次函数的问题.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型,也是某些单变量最优化问题的数学模型.二次函数是一种非常基本的初等函数,它作为初中阶段学习的重要函数模型,对理解函数的性质,掌握研究函数的方法,体会函数的思想是十分重要的,对二次函数的研究将为学生进一步学习后续函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.在学习了一次函数之后学习二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,是学生学习函数知识过程中的一个重要环节,起到承上启下的作用,为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础.
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考 试题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2 +bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ,若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点,且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9 的顶点A (2,-1)。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=x x 23 2 12 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4. 再将点(1,2)代入求得a=-21
∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式,将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 ∴y=x 3)3(2 2--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选(B ) 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2,其图象在X 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路,一是利用对称性求出交点坐标,二是用弦比公式d= a ? 就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A (1,0),B (3,0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型 例 6 如图1, 抛物线y=c x b x +++)2(212与y=d x b x +-+)2(212 其中一条的顶点为P ,
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市)如图,抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点(A点在 B 点左侧),直线l 与抛物线交于 A、C两点,其中 C 点的横坐标为 2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P 是线段AC上的一个动点,过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点,求线段PE 长度的最大值;A (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 例 1.解:(1)令y=0,解得x =-1或x = 3 ∴A(-1,0)B(3,0); 将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3,∴ C(2,-3)∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 (2)设P 点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1), E((x, x -2x -3)∵P 点在E 点的上方,PE= (-x -1)- (x - 2x - 3)= - x + x + 2 19 ∴当x= 1时,PE的最大值= 9 3)存在4 个这样的点 F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7,0),F4(4- 7,0) 7 练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线x = 7的抛物线经过点 A(6,0)和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24 时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形? ②是否存在点E,使平行四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E x= A(6,0) x
22.1二次函数的图像和性质(一) 一、学习目标 1.知识与技能目标: (1)理解并掌握二次函数的概念; (2)能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式; (3)能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 2.难点:理解二次函数的概念。 三、教学过程 (一)创设情境、导入新课: 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的? (二)自主探究、合作交流: 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论:经化简后都具有的形式。 问题5:什么是二次函数? 形如。 问题6:函数y=ax2+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?
(三)尝试应用: 例1. 关于x 的函数 是二次函数, 求m 的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2. 已知关于x 的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7。求这个二次函数的解析式.(待定系数法) (四)巩固提高: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x -1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x - 2+x . 2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛,每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. (五)小结: 1.二次函数的一般形式是 。2.会用 法求二次函数解析式。 (六)作业设计 22.1二次函数 y=ax 2的图像和性质(二) 一.学习目标: m m 2 21)x (m y --=
人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是
][ A.6 m B.8m C. 10 m m.12 D 2,若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s):4s,则此人下降的高度为坡底的时间为][ A.72 m 36 .m BC.36 m m.18D2 +50x-500,则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利y(元获得最大利润,销售单价为][ A.25元 B.20元 C.30元 元40D.7.中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好从2.4米高(球门距横梁底侧高)入2 +bx+c所示,则下列结论正确的是网.若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a00;④③;;①a<② 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结