2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. “x＜2”是“x＜4”的（）
A. C.充分非必要条件
充要条件
B.
D.
必要非充分条件既非
充分也非必要条件
2.设函数f（x）=，则（a≠b）的值为（）
A. C.a
a，b中较小的数
B.
D.
b
a，b中较大的数
3.如图中，哪个最有可能是函数的图象（）
A. B.
4.C. D.
若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，x∈R有f（x+x）=f（x）+f（x）+1，则下列说法一定
121212
正确的是（）
A.
C.
为奇函数
为奇函数
B.
D.
为偶函数
为偶函数
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5.若关于x的不等式的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a=______．
6. 7. 8.
9.设集合A={x||x-2|＜1}，B={x|x＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是
______．一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．
若函数f（x）=log（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=______．2
若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是______．
10. 已知f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是______．
11. 定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x+3x+2），则f（x）在R上的零点个数为______．
12. 设f（x）=x+ax+bx+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则的值为______．
13. 设f（x）为f（x）=4+x-1，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f（x）的最大值为______．
14. 已知函数f（x）=，
，＞
，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是______．
2
2
432
x-2
-1-1
15. 设 a 、b ∈R ，若函数
16. 已知下列四个命题：
在区间（1，2）上有两个不同的零点，则 （f 1）的取值范围为______．
①函数 f （x ）=2
②函数
满足：对任意 x ，x 1 2
，
∈R ，x ≠x ，有
；
1 2
均为奇函数；
③若函数 f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足 f （4-x ）=f （x ），那么 f （2）=f （2018）；
④设 x ，x 是关于 x 的方程|log x |=k （a ＞0，a ≠1）的两根，则 x x =1
1 2 a 1 2
其中正确命题的序号是______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分）
17. 解关于 x 的不等式：
＜
18. 设 a ∈R ，函数
；
（1）求 a 的值，使得 f （x ）为奇函数；
（2）若
＜
对任意的 x ∈R 成立，求 a 的取值范围
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造 可
使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C （单位：
万元）与隔热层厚度 x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
（0≤x ≤10），若不建隔热层，每年能源消
耗费用为 8 万元．设 f （x ）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求 k 的值及 f （x ）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f （x ）达到最小，并求最小值．
x
20. 已知函数 f 1
（x ）=e ，f 2
（x ）=e ，x ∈R ． （1）若 a=2，求 f （x ）=f （x ）+f （x ）在 x ∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f 1
（x ）-f （x ）|=f 2
2
（x ）-f 1
（x ）对于任意的实数 x ∈R 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）当 4≤a ≤6 时，求函数 g （x ）=
在 x ∈[1，6]上的最小值．
21. 对于定义在[0，+∞）上的函数 f （x ），若函数 y =f （x ）-（ax +b ）满足：
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数 p ，使其值域为（0，p ]，则称函数 g （x ）=ax +b 是函数 f （x ）的“逼进函数”．
（1）判断函数 g （x ）=2x+5 是不是函数 f （x ）=
，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（2）求证：函数 g （x ）= x 不是函数 f （x ）=（ ） ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”
（3）若 g （x ）=ax 是函数 f （x ）=x +
，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求 a 的值．
|x -2a +1| |x -a |+1 1 2 x
1.
【答案】B
答案和解析
【解析】
解：由 x ＜4，解得：-2＜x ＜2，
故 x ＜2 是 x ＜4 的必要不充分条件，
故选：B ．
先求出 x ＜4 的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．
本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．
2.
【答案】C
【解析】 解：∵
函数 f （x ）=
∴当 a ＞b 时，
，
=
=b ；
当 a ＜b 时，
=a ．
∴
故选：C ．
由函数 f （x ）=
（a≠b ）的值为 a ，b 中较小的数．
，知当 a ＞b 时，
= =b ；当 a ＜b 时，
=a ．
本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．
3.
【答案】A 【解析】
解：y ′=
=
，
令 y ′＞0，解得：x ＜
，令 y ′＜0，解得：x ＞
，
故函数在（-∞， ）
递增，在（
，+∞）
递减，
2 2 2
而 x=0 时，函数值 y=0，
x→-∞时，y →-∞，x →+∞时，y →0，
故选：A ．
求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．
本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
4.
【答案】C
【解析】
解：∵对任意 x ，x
∈R 有
f （x +x ）=f （x ）+f （x ）+1，
1
2
1
2
∴令 x
=x =0，得 f （0）=-1
1 2
∴令 x =x ，x =-x ，得 f （0）=f （x ）+f （-x ）+1，
1
2
∴f （x ）+1=-f （-x ）-1=-[f （-x ）+1]，
∴f （x ）+1 为奇函数．
故选 C
对任意 x ，x ∈R 有 f （x
+x ）=f （x ）+f （x ）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所 1 2 1 2
给的 x ，x ∈R 有 f （x
+x ）=f （x ）+f （x ）+1 进行赋值研究即可 1 2 1 2
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
5.
【答案】4
【解析】
解：由 ，
得（x-a ）（x+1≥0，
故-1，4 是方程（x-a ）（x+1）=0 的根， 故 a=4，
故答案为：4
解不等式的解集转化为方程的根，求出 a 的值即可．
本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．
1 2
1 2 1 2
6.
【答案】（-∞，1]
【解析】
解：由|x-2|＜1 得 1＜x ＜3，则 A=|{x|1＜x ＜3}，
∵B={x|x ＞a}，且 A ∩B=A ， ∴A ?B ，即 a≤1，
故答案为：（-∞，1]．
先求出不等式|x-2|＜1 的解集即集合 A ，根据 A ∩B=A 得到 A ?B ，即可确定出 a 的范围．
本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7.
【答案】
【解析】
解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为 故答案为： ．
直接利用弧长公式求出圆心角即可．
本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．
弧度．
8.
【答案】3
【解析】
解：函数 f （x ）=log （x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），
2
即函数 f （x ）=log （x+1）+a 的图象经过点（1，4），
2
∴4=log
2
（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．
故答案为：3．
由题意可得函数 f （x ）=log （x+1）+a 过（1，4），代入求得 a 的值．
2
本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．
9.
【答案】（1，+∞）
【解析】
解：若
，则满足 f （x ）＞0，即
-x ＞0，
变形可得：
＞1，
-2
函数 g （x ）=
为增函数，且 g （1）=1，
解可得：x ＞1，
即 x 的取值范围为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）．
根据题意，将 f （x ）＞0 变形为
＞1，解可得 x 的取值范围，即可得答案．
本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．
10.
【答案】 ，
【解析】
解：根据题意，f （x ）=
必有
即 a 的取值范围为： 故答案为：
是（-∞，+∞）上的增函数，
，解可得 ≤a ＜7，
根据题意，由分段函数的单调性分析可得
本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．
，解可得 a 的取值范围，即可得答案．
11.
【答案】0
【解析】
解：当 x ≥0 时，f （x ）=lg （x +3x+2），
函数的零点由：lg （x +3x+2）=0，即 x +3x+1=0，解得 x
（舍去）．
因为函数是定义在 R 上的偶函数 y=f （x ），所以函数的零点个数为：0 个． 故答案为：0．
利用函数是偶函数求出 x ≥0 时，函数的零点个数，即可得到结果．
本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
12.
【答案】7
【解析】
2
2 2
解：f （x ）=x +ax +bx +cx+d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，
可得：
，
∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，
∴ [f （4）+f （0）]
= （256+64a+16b+4c+2d ）
= （128+32a+8b+2c+d ）
= （128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）
= ×14
=7．
利用已知条件求出 a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．
本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．
13.
【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由 f （x ）
=4 +x-1 在 x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到 y=f （x ）在[-
调性求得 y=f （x ）+f
（x ）的最大值 【解答】
，2]上为增函数，由函数的单
解：由 f （x ）=4 +x-1 在 x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-
，2]，
可得 y=f （x ）在[-
，2]上为增函数，
因此 y=f （x ）+f （x ）在[-
，2]上为增函数，
∴y =f （x ）+f
（x ）的最大值为 f （2）+f （2）=2+2=4．
故答案为 4．
4 3 2
x-2 -1
-1 x-2
-1 -1 -1 -1
14.
【答案】[0，4]
【解析】
解：若 f （0）
为 f （x ）的最小值，
则当 x ≤0 时，函数 f （x ）=（x-a ） 2
为减函数，
则 a≥0，
当 x ＞0 时，函数 f （x ）=
的最小值 4+3a≥f （0），
即 4+3a ≥a ，
解得：-1≤a ≤4，
综上所述实数 a 的取值范围是[0，4]， 故答案为：[0，4]
若 f （0）
为 f （x ）的最小值，则当 x ≤0 时，函数 f （x ）=（x-a ） 为减函数，当 x ＞0 时，函数 f （x ）=
的最小值 4+3a ≥f （0），进而得到实数 a 的取值范围．
本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是 解答的关键，属于中档题．
15.
【答案】（0，1）
【解析】
解：函数
在区间
（1，2）上有两个不同的零点， 即
方程 x +bx+a=0 在区间（1，2）
上两个不相等的实根，
? ?
，
如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数 z=f （1）═a+b+1
2
2 2
∴z 的最小值为 z=a+b+1 过点（1，-2）
时，z 的最大值为 z=a+b+1 过点（4，-4）
时
∴f （1）的取值范围为（0，1）
故答案为：（0，1）
函数
不相等的实根，
在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程 x +bx+a=0 在区间（1，2）上两个
?
?
画出数对（a ，b ）所表示的区域，求出目标函数 z=f （1）═a+b+1 的范围即可． 本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．
16.
【答案】②③④
【解析】
解：函数 f （x ）=2 满足：
对任意 x ，x
∈R ，x
≠x ， 1 2
f （x ）+f （x ）=2 +2 ＞2
1
2
=2?2
=2f （ ），故①错误；
由 x ＞0，x=0 时，x+
＞0 成立；由 x ＜0，x +1＞x ，可得
＞-x ，
即 x+
＞0，由 f （-x ）+f （x ）=log （x +1-x ）=0，即有 f （x ）为奇函数；
2
又 g （-x ）+g （x ）=2+
+ =2+ +
=0，可得 g （x ）
为奇函数．
函数
均为奇函数，故②正确；
若函数 f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得 f （x ）+f （2-x ）=0，
且满足 f （4-x ）=f （x ），则 f （4-x ）=-f （2-x ），即 f （2+x ）=-f （x ），可得 f （x+4）=-f （x+2）=f （x ），
即 f （x ）
为最小正周期为 4 的函数，可得 f （2018）=f （4×504+2）=f （2），那么 f （2）=f （2018），故③正
确；
设 x ，x 是关于 x 的方程|log x|=k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得 log x +log x =0
， 即 log x x =0，则 x x =1，故④正确．
2
x 1 2 2 2
2 2
1 2 a a 1 a 2 a 1 2 1 2
故答案为：②③④．
由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；
由题意可得 f （x ）+f （2-x ）=0，结合条件可得 f （x ）
为最小正周期为 4 的函数，可得结论，可判断③；
由对数的运算性质，可判断④．
本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义 法和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：关于 x 的不等式：
?（log x - ）＜0．
2
＜
，即
（- a + ）log x +1＜0，即（log x -a ）
2 2
当 a ＞ 时，即 a ＞1 或-1＜a ＜0 时， ＜log x ＜a ， ＜x ＜2 ，原不等式的解集为{x | ＜x ＜2 }． 2
当 a = 时，即 a =±1 时，不等式即
＜0，显然它无解，即解集为?．
当 a ＜ 时，即 0＜a ＜1 或 a ＜-1 时， ＞log x ＞a ， ＞x ＞2 ，原不等式的解集为{x | ＞x ＞2 }． 2
【解析】
原不等式即（log x-a ）?（log x- ）＜0，分类讨论 a 与 的大小关系，求得 log x
的范围，可得 x 的 范围．
本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题．
18.
【答案】解：（1）根据题意，函数
，其定义域为 R ，
若 f （x ）为奇函数，则 f （0）= 故 a =-1；
=0，解可得 a =-1；
（2）根据题意，
＜
，即 ＜ ，
变形可得： ＜ ，即 3（a -1）＜a （3 +1），（①）
分 3 种情况讨论：
当 a =0 时，（①）变形为-3＜0，恒成立，
当 a ＞0 时，（①）变形为
＜3 +1，
若
＜3 +1
恒成立，必有
≤1，解可得 a ≤
，
a a a a 2 2 2 x
x x
此时 a 的取值范围为（0， ]，
当 a ＜0 时，（①）变形为
＞3
+1，
不可能恒成立，
综合可得：a 的取值范围为 ， ．
【解析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得 f （0）=
=0，解可得 a 的值，即可得答案；
（2）根据题意，
变形可得 3（a-1）＜a （3 +1），分 3 种情况讨论，求出 a 的取值范围，综
合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．
19.
【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为 x ，由题设，每年能源消耗费用为 ．
cm
再由 C （0）=8，得 k =40，
因此
．
而建造费用为 C （x ）=6x ，
1
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ）
，令 f '（x ）=0，即 ．
解得 x =5，
（舍去）．
当 0＜x ＜5 时，f ′（x ）＜0，当 5＜x ＜10 时，f ′（x ）＞0，故 x =5 是 f （x ）的最小值点，对应的最小值为
．
当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元． 【解析】
（I ）由建筑物每年的能源消耗费用 C （
单位：万元）与隔热层厚度 x （
单位：cm ）
满足关系：C （x ）=
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．我们可得 C （0）=8，得 k=40，
进而得到
．建造费用为 C （
x ）=6x ，则根据隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用 之和为 f （x ），我们不难得到 f （x ）的表达式．
（I I ）由（1）中所求的 f （x ）的表达式，我们利用导数法，求出函数 f （x ）的单调性，然后根据函数单
x x 1
调性易求出总费用 f （x ）的最小值．
函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况
对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用 函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
20. ≥2
【答案】解：（1）对于 a =2，x ∈[2，3]，f （x ）=e +e =e +e （3 分）
=2e ， 当且仅当 e =e ，即 x =2 时等号成立，∴f （x ） =2e ．（6 分） （2）|f 1
（x ）-f 2
（x ）|=f 2
（x ）-f 1
（x ）对于任意的实数 x 恒成立， 即 f （x ）≤f 1
2
（x ）对于任意的实数 x 恒成立，亦即 e ≤e
对于任意的实数 x 恒成立，
∴|x -2a +1|≤|x -a |+1，即|x -2a +1|-|x -a |≤1 对于任意的实数 x 恒成立．（9 分） 又|x -2a +1|-|x -a |≤|（x -2a +1）-（x -a ）|=|-a +1|对于任意的实数 x 恒成立，故只需 |-a +1|≤1，解得 0≤a ≤2，∴a 的取值范围为 0≤a ≤2．（12 分）
（3）g （x ）=
=
（13 分）
∵f 1
（x ）与 f 2
（x ）的底数都同为 e ，外函数都单调递增 ∴比较 f （x ）与 f （x ）的大小关系，只须比较|x -2a +1|与|x -a |+1 的大小关系
1
2
令 F （x ）=|x -2a +1|，F （x ）=|x -a |+1，
1 2
G （x ）=
其中 4≤a ≤6，x ∈[1，6]（14 分）
∵4≤a ≤6∴2a -1≥a ≥1，令 2a-1-x =1，得 x =2a -2，由题意可以如下图象：
（15 分）
当 4≤a ≤6 时，a ≤6≤2a-2，G （x ） =F （a ）=1，g （x ） =e =e ；（18 分） min 2 min 【解析】
（1）
对于 a=2，x ∈[2，3]，去掉绝对值得 f （x ）=e +e （3 分），利用基本不等式积为定值，和有最
小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；
（2）根据条件可知 f
（x ）≤f （x ）对于任意的实数 x 恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1 对于任意的实数 x 恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数 a 的范围；
|x -3| |x -2|+1
3-x x -1
3-x x -1 min
|x -2a +1| |x -a |+1 1 3-x x-1
1 2
（3）f （x ）与 f （x ）的底数都同为 e ，外函数都单调递增，比较 f （x ）与 f （x ）的大小关系，只须比较 1
2
1
2
|x-2a+1|与|x-a|+1 的大小关系，则令 F （x ）=|x-2a+1|，F （x ）=|x-a|+1，则 G （x ）=
1
2
其中 4≤a ≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当 4≤a≤6 时 G （x ） =F （a ）=1，g （x ）
min
=e =e ．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问
题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值 如何去．
21. 【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=
-（2x +5）=
，
可得 y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且 x +2≥2，
0＜
≤
，可得存在 p= ，函数 y 的值域为（0， ]，
则函数 g （x ）=2x +5 是函数 f （x ）=
，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（2）证明：f （x ）-g （x ）=（ ） - x ，
由 y =（ ） ，y =- x 在[0，+∞）递减，
则函数 y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，
则函数 y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为 1；
由 x =1 时，y = - =0，x =2 时，y = -1=- ＜0，
则函数 y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，
即有函数 g （x ）= x 不是函数 f （x ）=（ ） ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（3）g （x ）=ax 是函数 f （x ）=x+
，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”， 可得 y =x+ -ax 为[0，+∞）的减函数，
可得导数 y ′=1-a +
≤0 在[0，+∞）恒成立，
可得 a -1≥
，
由 x ＞0 时，
=
≤1，
则 a -1≥1，即 a ≥2； 又 y =x + -ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]， 则 ＞（a-1）x ， x =0 时，显然成立；
min 2 1
x x x
x＞0时，a-1＜，
可得a-1≤1，即a≤2．
则a=2．
【解析】
（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；
（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；
（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a的范围，即可得到a的值．
本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．