中国教育学会中学数学教学专业委员会
全国初中数学竞赛试题
一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.
1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式
22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为 ．
A 2c a -
B 22a b -
C a -
D a 1乙．如果22a =-+那么11123a
+
+
+的值为 ．
A 2-2222甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =
x
b
b ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,2
2乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的
个数为 ．
A10 B9 C7 D5
3甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的
平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B
214a - C 12 D 1
4
3乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,
△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D
4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给
我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ． A1 B2 C3 D4
4乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的
方程的个数是 ．
A 5
B 6
C 7
D 8
5甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次
骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为
0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．
A 0p
B 1p
C 2p
D 3p
5乙．黑板上写有1
1112
3
100
， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选
取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ．
A2012 B101 C100 D99
二、填空题共5小题,每小题6分,共30分
6甲．按如图的程序进行操作,规定：程
序
运行从“输入一个值x ”到“结果是
否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x
的取值范围是 . 6
乙.如果
a ,
b ,
c 是正数,且满足
9a b c ++=,
111109
a b b c c a ++=+++,那么
O
A
B C
E a b c
b c c a a b
++
+++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB
分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为
一条对
角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,
若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ;
8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92
= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么
2012
2
20111x x 的值为 ．
8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个
数为 .
9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有
参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .
9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）
均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则a
c
的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,
AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,
交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .
x
y
O E
C
A
B
D
10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）
使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．
三、解答题共4题,每题15分,共60分
11甲．已知二次函数232y x m x m =+
+++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910
-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标
系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x 轴正、负半
轴上
,
4
8,,sin 5
AO AB AC C ==∠AB =
;点D 在线段AB 上,连结CD
交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式; 12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的
点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与
1O 交于点F ,求证：△BOC ∽△1DO F ．
12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它
的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .
13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是
完
全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少
个
内角等于150︒并说明理由．
14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，， ，,满足122012x x x <<
<,且
12
2012
122012
n x x x +++
=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， 可以相同,使得b a c =,求n 的最小值．
参考解答
一、选择题
1甲 .C
解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知
0b a c <<<,且
b c >,
所以
||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．
1
乙．B
解：1111111223a
+
=+
=
++
111=+=+=．
2甲．D
解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.
2乙．B
解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有 解得
以上共计9对x y （，）
.
3甲．D
解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为
1(1)(1)(2)34244
a a
b a b a b
+++++++++=
, 中位数为
(1)(1)44224
a a
b a b ++++++=
, 于
是
4423421444
a b a b ++++-=. 3乙．B
解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,
∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE , 所以△BCD ≌△ACE , BD = AE . 又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，，
于是DE 224AE AD -=,所以CD = DE = 4. 4甲．D
解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得
消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =
7
215
17215)72(-+=-+-y y y .
因为
15
27
y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为
4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．
4乙．C
解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即
39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都
有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）
符合题意． 5甲．D
解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以
012398910
36363636
p p p p =
===
，，，,因此3p 最大． 5乙．C
解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则
11
1
1(11)(1)(1)
(1)23
100
x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．
二、填空题
6甲．7＜x ≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.
由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.
解得 7＜x ≤19.
容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．
6乙.7
解：在
9
10
111=
+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++a
c b c b a b a c 7甲．8
解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以
2
1
AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以2
3
AN AF =.
在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以
225AF AB BF a =
+=,
于是 25
cos 5
AB BAF AF ∠=
=
. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,
0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25
cos AM AE BAF =⋅∠, 245
3MN AN AM AF AM =-=-=,
4
15
MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21
(2)(2)22
AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以248
1515
MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.
285
解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则
OM DE ⊥．
因为16OB =,所以
161248
205
OB OC OM BC ⋅⨯=
==
, 3664
55
CM BM ===
，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）
643655
BM CM =-=-
28
5=． 8甲．3
2
-
解：根据题意,关于x 的方程有
∆=k 2
－4239(3)42
k k -+≥0,
由此得 k －32≤0．
又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32
-. 故
2012
2
20111x x =
21x =23
-． 8乙.1610
解：()()()953332422
222++=-+=+++-n n n n n n n n
因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n 所以共有2012-402=1610个数
9甲．8
解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)
2
m m a b +++=
,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,
87≤(1)(2)m m ++≤130,
由此得 8m =,或9m =.
当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,55
22
a b a +>=,不合题设. 故8m =．
9乙.
1253≤<-c
a
解：依题意得：(1)
111
(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得 c a c c b a 1
1111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<
1,即a c a
c a c -<
-,
化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 2
3()10a a c c ⎛⎫
-+< ⎪⎝⎭
所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以
1≤c
a
综合得1253≤<-c a 另解：可令a
k c
=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得
3535k -+<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得35
1k -<≤． 10甲．
2
2
3 解：如图,连接AC ,BD ,OD .
由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O
的内接四边形,所以
∠BCF =∠BAD ,
所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此
BC BA
CF AD
=
. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是
2DE OE
DC OB
==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.
由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA =
=，, 所以 32322
BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故
AD CF BC
BA =
⋅=2=. 10乙.12 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22
由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,
当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则：
2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;
三、解答题
11甲．解： 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以
23420m m ∆=+-+>（）（）,
即210m +>（）,所以1m ≠-．
…………3分
当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即
2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,
且 233(3)2m m ++++≤0,
解得m ≤5-．
…………8分
设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根
与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．
因为1211910x x +<-,所以121239210
x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-．
因此12m <-．
…………15分
11
乙.解：因为sin ∠ABC =45
AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得
262BO AB AO -=．
易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6．
于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，．
设点D 的坐标为()m n ，．
由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．
所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622
n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．
因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．
因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,
所以点E 的坐标为8(0)3
-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．
将点E 的坐标代入,解得a =27
2． 故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273
y x =-． 12甲． 证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以
90ODB ∠=︒．
又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．
…………5分
设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则
90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以
22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．
…………10分
又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以
△BOC ∽△1DO F ．
…………15分
12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,
CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．
所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．
同理,CI = CB ．
故点C 是△IBD 的外心．
连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC ,
所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．
故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．
由BC CD =,知OC ⊥BD ．
因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．
也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;
13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.
因为 a +b 2－4ab = a －b 2
,
所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,
2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.
…………5分
1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －
2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.
解得 a =2
(1)4
m +,n =214m -. 于是 b = a －m =214
m -（）. …………10分
又a ≥2012,即2
(1)4
m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥4
1)(892
+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.
此时,a 的最小值为2025.
2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分
13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角 都等于30°,
而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230
k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况：
1当12n >时,显然,k 的值是11；
2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；
3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分
综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分
14甲．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数,且122012x x x <<<,所以
1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012． 于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012
+++=． …………5分
当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，,则
122012
1220121x x x +++=. …………10分
当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，， ，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则
1220121220121(2012)2012k k x x x k
+++=+-⋅-1k n =+=． 综上,满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．
…………15分
14乙.解：当1621n =-时,把23n ， ， ，分成如下两个数组：
{}88162322121+-，
， ， ， ， 和{}84521-， ， ， ． 在数组{}88162322121+-， ， ， ， ， 中,由于38821632221<>-（，）,
所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．
在数组{}84521-， ， ， 中,由于48421>-,
所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．
所以,162n ≥．
下面证明当162n =时,满足题设条件．
不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，
，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，
，,此时b a c =． 综上,162n =满足题设条件．
所以,n 的最小值为162．
注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536．
A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是
中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）． （A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-111 23a + + +的值为（ ）． （A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2 ＋y 2 ≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正
全国初中数学竞赛试题及答案 全国初中数学竞赛试题及答案 一、选择题 1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。 A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。 2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。 A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB× 1/4AB=1/8AB²。而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2× 1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。 A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。因此三个圆弧的长度之和为π/2+π/2+π√2/2=π+π√2/2。而π+π√2/2≈5.258。因此答案为C。 二、填空题 4、在一个正方形ABCD中，AB=1，BC=2。现在以这个正方形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为_________。答案：3π/2 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√5=π√5/2。因此三个圆弧的长度之和为π/2+π/2+π√5/2=3π/2+π√5/2。而3π/2+π√5/2≈5.767。因此答案为3π/2。 41、在一个等边三角形ABC中，AB=1，现在以这个等边三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为_________。答案：3π/2 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。其中第一个圆弧的长度为1/6×2π×1=π/3，第二个圆弧的长度也为π/3，第三个圆弧的长度为1/6×2π×√3=π√3/3。因此三个圆弧的长度之和为π/3+π/3+π√3/3=2π/3+π√3/3。而2π/3+π√
初中数学竞赛试题 一、选择题 1．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具．它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点．它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%．那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) (A) 73 (B)37 (C) 2110 (D)10 21 2．已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且d c b a <·给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+② d c c b a a +<+ ；③d c d b a b +>+④d c d b a b +<+其怔确的是( ) (A)①③(B)①④(C)②④(D)②③ 3．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBD ＝30°， 则AD ： DC ＝( ) (A)33 (B)2 2 (C)2 -l (D) 3 -l 4．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分， 败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还要按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积( ) (A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分 5．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7，则BC+CD 等于( ) (A)63 (B)53 (C)43 (D)33 6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∠∠BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6， CD ＝4．若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的 长为( ) (A)745 (B)533 (C)5 39 (D)215 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ， 若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD ＝BC ，CE ⊥CD ， 则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是( ) (A)x 2-2cx+b 2＝0 (B)x 2-cx+b 2＝0 (C)x 2-2cx+b ＝0 (D)x 2一cx+b ＝0 8．已知实数a ，b ，c 满足a
全国初中数学竞赛 试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1 ）设x = ，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1 （C ）﹣1 （D ）2 【答】C ． 解：由已知得2 310x x ++=， 于是 2222(1)(2)(3)(3)(32) (31)1 1. x x x x x x x x x x +++=+++=++-=- （2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则 222x y z ++的最小值为( ). （A ） 111 （B ）0 （C ）5 （D ） 5411 【答】D ． 解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩ ， ， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩， 于是 2222 1125x y z z z ++=-+． 因此，当111z = 时，222 x y z ++的最小值为5411 ． （3）若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ） 112 【答】C ．
解：由题设可知1y y x -=，于是 341 y y x yx x -==，所以411y -=． 故1 2 y = ，从而4=x ．于是92x y +=． （4）设3 333 111 1 123 2011 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答】A ． 解：当2 3 2011k =，，，，因为()( )()32 111112111k k k k k k k ⎡⎤ <=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以33 311 11115 11123201122201120124 S ⎛⎫<=+ +++ <+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4． （5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设 1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，， 则13S S 与24S S 的大小关系为( ). （A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ． 解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则14 23 S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） （6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 . 【答】31．
初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，
－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。
初中数学竞赛试卷及答案解析 一、选择题 1.已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。 A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 答案：C. 6 解析：将x = 4代入函数f(x) = 2x - 3，得到f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5。因此，答案为C. 6。 2.下列哪个不是三角形的内角？ A. 90度 B. 120度 C. 180度 D. 270度 答案：C. 180度 解析：三角形的内角之和总是等于180度。因此，180度不是三角 形的内角，而是一条直线的内角。答案为C. 180度。
3.已知a = 3，b = 4，c = 5，求三角形的周长。 A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 答案：C. 15 解析：三角形的周长等于三条边的长度之和。因此，周长 = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12。答案为C. 15。 4.若x + 3 = 7，则x的值是多少？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：A. 2 解析：将x + 3 = 7转化为x = 7 - 3，得到x的值为2。因此，答案为A. 2。 5.已知正方形的周长为20cm，求正方形的边长。 A. 4cm B. 5cm
C. 10cm D. 20cm 答案：B. 5cm 解析：正方形的周长等于4倍的边长。因此，边长 = 周长 / 4 = 20 / 4 = 5。答案为B. 5cm。 二、填空题 1.已知等差数列的首项a₁ = 2，公差d = 3，求该数列的第10项。 答案：28 解析：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1) * d，代入a₁ = 2， d = 3，n = 10，得到a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 28。 2.若x² + 3x + k是一个完全平方数，则k的值为多少？ 答案：9/4 解析：对于一个完全平方数，它的因式分解必然是两个相同的因式 相乘。根据已知的二次项系数求平方根的方法，可以得到k = (b/2a)² = (3/2)² = 9/4。 三、解答题 1.解方程3x - 7 = 8。 答案：x = 5
全国初中数学联合竞赛试题 第一试（A ） 一、选择题（每题7分，共42分） 1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2 2 2 4a b c ++=，则222222 222a b b c c a c a b +++++=---（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 2．若抛物线2 y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A ． B ．15 C D ．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1 (0)y x x = >旳图象上，位于第二象限旳瀹B 在反比例函数4 (0)y x x =- <旳图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 旳值为（ ） A ． 1 2 B ．2 C ．1 D ．2 5．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则2 2 x y +旳最小值为（ ） A ．3- B ．6- C ．1 D ．6+6．设n 是不不小于100旳正整数且使2535n n +-是15旳倍数，则符合条件旳所有正整数n 旳和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每题7分，共28分） 7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=旳两根，则32 2 34a b a ++ 旳值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24旳三角形中任取一种，它是直角三角形 旳概率为 . 9．已知锐角△ABC 旳外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 旳外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ . 10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6旳方格中，每个方格填一种数字，规定每行数字从 左到右是从小到大旳顺序，则第三列所填6个数字旳和旳最小值为 . 第一试（B ） 一、选择题（每题7分，共42分） 1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2 2 2 4a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b +++++=---（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 2．若抛物线2 y x bx c =++与x 轴只有一种公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 3．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外旳两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A ． B ．15 C D ．4．已知实数x ，y 满足关系式2 2 3x xy y ++=，则2 ()x y -旳最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 5．已知O 为坐标原点，位于第一象限旳点A 在反比例函数1 (0)y x x =>旳图象上，位于第二象限A B C D E F
（第7题图） A B C D G F E （第5题图） 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） A 、36 B 、37 C 、55 D 、90 2、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A 、5- B 、5 C 、9- D 、9 3、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。若斜边上的高为h ，则（ ） A 、1 h B 、1=h C 、21 h D 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） A 、2004 B 、2005 C 、2006 D 、2007 5、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则 QA QC 的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+ 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ． 7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c
中华人民共和国教诲学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 题号 一二三 总分1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选取题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一种选项是对的. 请将对的选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上位置如图所示，那么代数式 22 ||()|| a a b c a b c -++-+可以化简为（）． A．2c a - B．22 a b - C．a- D．a 1（乙）．如果22 a=-+ 1 1 1 2 3a + + + 值为（）． A．2 -B2C．2 D．2
2（甲）．如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0b y b x =≠图象有两个交点，其中一种交点坐标为()32--，，那么另一种交点坐标为（ ）． A ．()23， B ．()32-， C ．()23-， D ．()32， 2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y ++≤整数点坐标()x y ，个数为（ ）． A ．10 B ．9 C ．7 D ．5 3（甲）．如果a b ，为给定实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据平均数与中位数之差绝对值是（ ）． A ．1 B ． 21 4 a - C ． 1 2 D ． 14 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，5BD =，则CD 长为（ ） ． A ．32 B ．4 C ．25 D ．4.5 4（甲）．小倩和小玲每人均有若干面值为整数元人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我钱数将是你n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我钱数将是你2倍”，其中n 为正整数，则n 也许值个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4（乙）．如果关于x 方程 20x px q p q --=（，是正整数）正根不大于3，那么这样方程个数是（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
全国初中数学联合竞赛试题 第一试(A) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b +=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论： （1a b c （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； （3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ） A. 1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=， 且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则 DO OB = （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3
第4题图 第5题图 5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 215 6．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则123200 1111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _． 2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______． 3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．
全国初中数学竞赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a ，那么下列式子中正确的是（ ） A 、bc ab B 、c b b a ++ C 、c b b a -- D 、c b c a 2、如果方程()0012 p px x =++的两根之差是1，那么p 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、3 D 、5 3、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且CE BD ⊥，4=BD ，6=CE ，那么ABC ∆的面积等于（ ） A 、12 B 、14 C 、16 D 、18 4、已知0≠abc ，并且p b a c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 A 、一、二 B 、二、三 C 、三、四 D 、一、四 5、如果不等式组⎩ ⎨⎧-≥-0809 b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的 有序数对（a 、b ）共有（ ） A 、17个 B 、64个 C 、72个 D 、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD 中，已知两邻边12=AD ，5=AB ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥， AC PF ⊥，E 、F 分别是垂足，那么=+PF PE ___________.2 7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB ∆的面积等于___________. 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm __________. 9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么_______=a . 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是km __________.
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2021年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交． 一、选择题〔共5小题，每题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕 1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ ， ，那么222 ab bc ca a b c ++++的值为〔 〕． 〔A 〕1 2 - 〔B 〕0 〔C 〕12 〔D 〕1 2．关于x 的不等式组 25 533 2 x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩， 恰有5个整数解，那么t 的取值范围是〔 〕． 〔A 〕6-＜t ＜11 2- 〔B 〕6-≤t ＜112- 〔C 〕6-＜t ≤11 2 - 〔D 〕6-≤t ≤11 2 -
3．如图，在Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．假设AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，那么线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为〔 〕． 〔A 〕OD 〔B 〕OE 〔C 〕DE 〔D 〕AC 4．如图，△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，那么图中阴影局部的面积为〔 〕． 〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*〞为： ()() 322333 3345 1160 x y x y xy x y x y +++*= +++-， 且()x y z x y z **=**，那么2013201232** **的值为〔 〕． 〔A 〕 607 967 〔B 〕 1821 967 〔C 〕 5463 967 〔D 〕 16389 967 二、填空题〔共5小题，每题7分，共35分〕 6．设3 3a =，b 是a 的小数局部，c 是2a 的小数局部，那么(4)b b c ++的值为 ． 7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，那么其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ． 8．正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，那么abc 的最大值为 ． 9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一 元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，那么所有满足条件的数组()，，， a b c d 为 ． 10．444444222222121231991001 121231991001 ++++++++++-+-+-…的值为 ．
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．已知非零实数a ，b 满足 24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）． （A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点， 且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）． （A ）12 （B （C ）1 （D ）2 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩ ， 只有正数解的概率为（ ）． （A ） 121 （B ）92 （C ）185 （D ）36 13 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32
5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）． （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径 作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为 圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接 FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ． 9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若 AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是： 每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告 诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉 他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报 3的人心里想的数是 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x = 的