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相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

(1)三角形相似的条件：

①

；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1

找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA

AC AF AE

（判断“横定”还是“竖定”？）

a)已知一对等

b)己知两边对应成比c)己知一个直

d)有等腰关

例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的

平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？

说明理由。

分析方法：

1）先将积式______________

2）______________（“横定”还是“竖定”？）

例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，

交BC延长线于F。

求证：CD2=DE·DF。

分析方法：

1）先将积式______________

2）______________（“横定”还是“竖定”？）

五、过渡法（或叫代换法）

1、等量过渡法（等线段代换法）

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．

分析：

2、等比过渡法（等比代换法）

例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交

AB的延长线于点F．

求证：AB DF AC AF

．

3、等积过渡法（等积代换法）

例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．

求证：CD2＝DF·DG．

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；

不相似，不用急：等线等比来代替。”

同类练习：

1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C

求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.

（1题图）

2．如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°

求证：（1）△ADB∽△CEA;

（2）DE2=BD·CE;

(3)AB·AC=AD·BC.

3．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.

求证：AD·EC=AC·EB.

5．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,

求证：FC2=FG·EF.

6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.

求证：FM=CF.

7．如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.

求证：（1）BF=CF.

(2)BF2=FG·FE.

8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,

求证：DC2=DE·DF.

9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.

是说明：（1）AF=BE;(2)AF2=AE·EC.

10．△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC,E 为AC 中点。求证：AB:AC=DF:AF 。

11．已知，CE 是RT △ABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一点P,连接AP,作BG ⊥AP,垂足为G ，交CE 于点D.

试证：CE 2=ED ·EP.

六、证比例式和等积式的方法：

可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幂．

例1 如图5在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，DF ⊥AB 于F ，交AC 的延长线于H ，

交BE 于G ，求证：(1)FG / F A ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH

的比例中项．

例2 如图6，□ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ：EC ＝3：1， S △FBE ＝18，求：(1)BF ：FD (2)S △FDA

例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；

例4 如图8在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ．

求证：AG 2＝AF ×FC

图5 A E F B D

G C H C A D B

E F 图6 B E A C D

E D

例5 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．

例6 如图10过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ．过点D 作DM ∥FC 交AB 于点M ．(1)若S △AEF ：S 四边形MDEF ＝2：3，求AE ：ED ； (2)求证：AE ×FB ＝2AF ×ED

例7 己知如图11在正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？

例8 己知如图12在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝900，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3．试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．

例9．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。

求证：BP 2=PE ·PF 。

A E

B D

M C F 图 C E D A F M B

P A D B Q

C 图11

图12 A D B C

P 1 P 2 P 3

例10．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

求证：。

八、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

（一）、作平行线

例1. 如图，?A B C的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F

，求证：

A C

例2. 如图，△ABC中，AB

延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。

例3、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.

例4、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE

例6：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

（二）、作延长线

例7. 如图，Rt ?ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2

=CF ?BF

例8．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：

AC 的值．

（三）、作中线

例10：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．

求证： BC 2＝2CD ·AC ．

中考综合题型

1.已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明

AC DC AD ?=2．

AD AF 31

2.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿

B A →，B

C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，C

D 于P Q ，．当点

N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；

（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；

3．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

4. 如图（10）所示：等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1.

⑴请你探究：AC CD

AB DB

=，1111AC C D AB DB =是否都成立？ ⑵请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD

AB DB

=一定成立吗？并证明你的判断.

B M A

C P

B M

E D

5. 如图12，在平面直角坐标系中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB =16，点D 与点A 关于y 轴对称，AB:BC=4:3，点E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 不与点A 、D 重合），且∠CEF =∠ACB .

（1）求AC 的长和点D 的坐标；（2）说明∠AEF 与∠DCE 相似；

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝

，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ．（1）求AE 的长度；

（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．

7. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时

重合的情况，设DE 、DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G 、H 点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；

（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

9. （1）如图1，在∠ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∠BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：QC

BQ DP

．

B A A

C O

E D D E C

O F

图1 图2 F

A B

（2）如图，在∠ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在∠ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．

∠如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； 10．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且

满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．

（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ；

（2）求证：AB 2＝AE ?AC ．

12．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P

分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；

(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；

(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．

14．如图1，在Rt △ABC 中，，于点，点是边上一点，连接交于， OE ⊥BO 交边于点．（1）求证：；

（3）当为边中点，时，请直接写出的值．

16．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； 90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F BC E ABF COE △∽△O AC AC n AB =OF OE A B

M F

（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．

19．正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，

（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．．

20．如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ．求证：1

3GE GD CE AD ==．

．

15．已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足AB

PC PQ =（如图8所示）．

（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；（2）在图8中，联结AP ．当3

AD =

，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBC

S y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并

写出自变量的取值范围；

B C

E A

（第21题）

17.如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直

线BC 相交于点P 、Q ．

（1）四边形OABC

的形状是当90α=°时，

的值是；（2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求

的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．

18.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕EF 的长为 # .；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为 # .；（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取

值范围，并

求出当x=2时菱形的边长；

D P

Q 图8

B （Q ）

图9

图10

B Q

（Q ） C B A O x P

（图3） y Q C B A O x P （图2） y C B A O y

（备用图）（第10题）

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

(1)三角形相似的条件：

①

；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角两角对应相等，两三角形相似

找两边对应成比例判定定理2

a)已知一对等

b)己知两边对应成比c)己知一个直

找顶角对应相等判定定理1

找底角对应相等判定定理1

找底和腰对应成比例判定定理3

e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3

AC AF AE

（判断“横定”还是“竖定”？）

例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。分析方法：

1）先将积式______________

2）______________（ “横定”还是“竖定”？）

例3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900

，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

求证：CD 2

=DE ·DF 。

分析方法：

1）先将积式______________

2）______________（ “横定”还是“竖定”？）

五、过渡法（或叫代换法）

d)有等腰关

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．

3、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．

分析：

4、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交

AB的延长线于点F．

求证：AB DF AC AF

．

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．

求证：CD2＝DF·DG．

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；

不相似，不用急：等线等比来代替。”

2019年中考几何相似三角形怎么证明

2019年中考几何相似三角形怎么证明各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢初中几何相似三角形怎么证明?很多同学一接触证明题就不会，教育网针对这个问题，给大家具体解答一下。数学：相似三角形怎么证明相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DE F”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。方法一平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角

形相似。方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。方法三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似方法五对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型 Z型A型反A型方法六两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。一定相似的三角形 1.两个全等的三角形

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等；三、经典例题：例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2

例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。求证：PD ⊥PF.

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一，相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。二，相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。图3 （1）图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2）用语言叙述第（1）题的结论。（3）写出相似三角形对应边成比例的表达式。总结：（1）有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2）本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。【课堂检测】一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C ＡＤ O Ｐ A B ＢＣ（第2题图）（第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是（）Ａ、3：２Ｂ、２：３Ｃ、3：３Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

初级中学相似三角形几何证明技巧窍门

初中几何证明技巧（分类）证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2. 同一三角形中等角对等边。 3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9. 同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10. 圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11. 两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12. 两圆的内（外）公切线的长相等。 13. 等于同一线段的两条线段相等。证明两个角相等 1. 两全等三角形的对应角相等。 2. 同一三角形中等边对等角。 3. 等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5. 同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6. 同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7. 圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8. 相似三角形的对应角相等。 *9. 圆的内接四边形的外角等于内对角。 10. 等于同一角的两个角相等。证明两条直线互相垂直 1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2. 三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3. 在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4. 邻补角的平分线互相垂直。 5. 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。 7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8. 利用勾股定理的逆定理。 9. 利用菱形的对角线互相垂直。 *10. 在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11. 利用半圆上的圆周角是直角。

初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)

相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.

“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算【例1】如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型比例式的证明方法

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相似三角形证明技巧姓名: _____________ 一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形, 相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们Z 间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、相似三角形（1）三角形相似的条件： ① _____________________ ;② ________________________ ;③ ______________________________ ? 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形, 从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单; 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； J 找另一角——?两角对应相等，两三角形相似［找夹边对应成比例——两边对应成比例且夹角相等, 「找夹角相等一?两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 X 找第三边也对应成比例一?三边对应成比例，两三角形相似 I 找一个直角一?斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 r 找另一角 ?两角对应相等，两三角形相似 L 找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 r 找顶角对应相等一?判定定理1 ⑴有等腰关系彳找底角对应相等一判定定理1 I 找底和腰对应成比例 ------ ?判定定理3 五、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“己知”；第三，从“己知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。六、证明题常用方法归纳：（一）、总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （二）、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移"（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明. a ）已知一对等角 c ）己知一个直角 c ）相似形的传递性若厶\sd A2^A3,则△lsA3 两三角形相似 b ）己知两边对应成比例斜边上的高

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图结论 E D C B A 反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图结论 A B C D 类射影：如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图结论相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法

A B C D E 旋转相似：如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角：如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ）反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法比例式的证明方法

相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型 1 . 2 . 3 . 4 . 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS) 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 5. 模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AOD BOC. 试一试写出具体证明过程D B 应用练习: 1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO , / EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB 2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P. ⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ; ⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2 HC HA HB ,试一试写出具体证明过程

模型四：类射影 BD AB 如图，已知AB 2 AC AD ，求证：亍乔，试一试写出具体证明过程 BC AC 应用练习: J 45 1.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。求证：— AP AS 2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF / AEF= / C 模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试一试写出具体证明过程应用练习： 1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q . (1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含 2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/ (1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形. (2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ， AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论. (3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长. 3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=? =妙，他丄砒， AD = SC (1)求证：胆"D+CA (2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交直线占E 相似三角形证明方法之一线三等角 △ BP0A CEQ a 的代数式表示) AC 于F ，连EF ，求证:

相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？） a)已知一对等 b)己知两边对应成比c)己知一个直 d)有等腰关

第四讲：相似三角形证明的方法与技巧

第五讲：相似三角形证明的方法与技巧 A 字形，斜A 形，8字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD ；结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。彼相似，我角等，两边成比边代换。（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得f e b a =（f e ,是两条线段）然后证 d c f e =，这里把 f e 叫做中间比。方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD 2.△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． 3.等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。求证：BP ?PC=BM ?CN E A B D E A B B A D E C

相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程应用练习： 1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A 型与反X 型 O F E C B A E D C B A O D C B A

2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P . (1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。模型三：射影定理如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，，2 H C H AH B =?，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证：BD AB BC AC =，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影 C A B H A B C D

相似三角形证明方法

相似三角形证明方法方法一：直接寻求相似三角形只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来. 例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则 ∽ ∽ 。例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 方法二：利用中间线段代换当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ?AC=BC ?FE 例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是 BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。求证：（1）MA 2=MD ?ME ；（2）MD ME AD AE =22 命题 1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ， A B C D E F G 12 3 4A B C D A B C D E M 12 A B C D E F K

AB2=AD?AC。命题2 如图，如果AB2=AD?AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。 A B C D 1 例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。方法三：证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证 AB BC BE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母找到一幕中BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证 AB DE BC EF =，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影

相似三角形解题技巧及口诀

相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型： A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD ⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB （3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形，三点定形法 2、间接法：对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比【口诀】：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；彼相似，我角等，两边成比边代换。或：遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； ?遇等积，改等比，横看竖看找关系 ①△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE ． ②等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。求证：BP ?PC=BM ?CN B C A D E

6相似三角形证明技巧

相似三角形证明技巧姓名：____________ 一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。六、证明题常用方法归纳：（一）、总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （二）、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例 c)己知一个直角 d)有等腰关系

相似三角形的判定及证明技巧讲义

相似三角形（三）知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？）

练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。 A D E F B C 2.过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． (2)等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF ．

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（ＳSS) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似．(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结: “反A ”型与“反X ”型. 示意图结论 E D C B A 反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ,则△ADE ∽△ ACB （AA)，∴AE ·AC ＝AD ·AB. 若连CD 、BE ,进而能证明△ＡC Ｄ∽△A ＢE （SAS) O D C B A 反X 型: 如图,已知角∠ＢAO ＝∠CDO ，则△AOB ∽△DO Ｃ（ＡA ),∴OA ·O Ｃ＝O Ｄ·ＯＢ．若连AD ，ＢＣ，进而能证明△A ＯD ∽△ＢＯＣ. 示意图结论 A B C D 类射影：如图，已知△ＡＢＣ，∠ABD ＝∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ）,∴2AB =ＡD · A Ｃ. C A B H 射影定理如图，已知∠ACB =9０°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法

“旋转相似”与“一线三等角” 示意图结论 A B C D E 旋转相似: 如图,已知△AB Ｃ∽△ADE ,则 AB AD AC AE = ,∠B ＡC ＝∠ＤAE ,∴∠BAD =∠C ＡE ， ∴△B ＡD ∽△ＣAE （ＳＡS ) C B A E D 一线三等角：如图,已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△B ＣE (ＡA ) 反Ａ型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证:(1)AE AB AF AC ?=?(２）∠ＢＥO=∠C ＦO, ∠EBO=∠F ＣO （3）∠ＯEF=∠OB Ｃ,∠OFE=∠ＯCB O F E C B A 类射影如图，已知2AB AC AD =?,求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理已知△A ＢＣ，∠ＡCB =90°,CH ⊥ＡB 于H ,求证:2AC AH AB =?，2BC BH BA =?,2HC HA HB =? 通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明，离不开“平行线模型”(Ａ型，X 型,线束型)，也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具,取决于我们如何思考问题．合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。比例式的证明方法

相似三角形六大证明技巧

模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型回顾相似三角形的判定方法总结： 1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2.三边成比例的两个三角形相似?( SSS 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似?(SAS) 4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACDABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC. 试一试写出具体证明过程应用练习： 1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)Z BEO= / CFO , / EBO= / FCO ( 3)Z OEF= / OBC， / OFE= / OCB A

2.已知在/△ABC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P. ⑴当点P在线段AB上时，求证：Z/APQ s /ABC ; ⑵当Z/PQB为等腰三角形时，求AP的长。模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影模型三：射影定理如图已知/ ABC,/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：AC2 AH AB , BC2 BH BA ,, HC2 HA HB，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知AB2 AC AD，求证: BD BC AB AC，试一试写出具体证明过程 C

相似三角形等积等比证明方法(1)

相似三角形解题方法【基本图形】两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 【方法精讲】一、、“三点定形法” 例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（ “横定”还是“竖定”？）练习1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。求证：CD 2=DE·DF 。

二、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE2＝BE·CE ． 2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ．求证：AB DF AC AF ． 3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3：如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作 BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F ．求证：CD2＝DF·DG ．小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。”

相似三角形的六大证明技巧大全

实用标准文档大证明技巧相似三角形6第2讲相似三角形证明方法模块一相似三角形的判定方法总结：1. . 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）（SSS三边成比例的两个三角形相似2. .. (SAS) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(AA) 4. 两角分别相等的两个三角形相似(HL) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似相似三角形的模型方法总结：. ”型与“反X”型“反A “类射影”与射影模型

精彩文案．巩固练习反A型与反X型 △ABCAEF=ACB12BEO=CFO AC??AE?ABAF∠∠，求证：（∠已知）中，∠（，）∠ EBO=FCO3OEF=OBCOFE=OCB ∠）∠（，∠∠∠AE FOBC类射影 BDAB?2，求证：如图，已知ADACAB??BCACA DBC射影定理HCHABACBABC=90°22，已知△，∠，于，⊥，求证：BA?BCBH?AB??AHAC 2HB?HA?HC 14 实用标准文档

比例式的证明方法，线束型）（A型，X型，通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”“模型”只是工具，怎样选择工具，也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，能让模型成为怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，解题的利刃，让复杂的问题变简单。. 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型 1ABCDBC，求证：交】如图，平行四边形于中，是延长线上的一点，【例DEEABF．CFDC? ADAEDC FEAB2CA△ABC?90?BAC?BCDM?BC的延长线于的中点，如图，，中，为交【例】M ．求证：，交于2EABDME??AMMDDA ECBM3ABC?AC BCABC△Rt，交【例如图，在】的平分线于中，是斜边上的高，ADEBEABBF?．交于．求证：ADF BCBE AE FBCD 精彩文案．技巧二：等线段代换悄悄地替换比例式中的某条线段…4BCEBACADAD△ABCAD的延长线于，于的垂直平分线交，，交平分∠【例】如图，在2 F，求证：FCFBFD??A EFBCD 5ABCDCE，交】如图，四边形于是平行四边形，点在边的延长线上，【例ADBAEF．．求证：D???ECAADAC?BE?CE?CDF EAB 6DAE=45°BAC=90°△ACBAB=AC，求证：为等腰直角三角形，【例】如图，，∠，∠2CD?BE?ABA BCDE 7ABCF∥CABC△ACAB?，是【例】如图，是中线，中，上一点，过作，ADADP AC CF．于交延长，交于．求证：2EBPFPF?BP?PEAF EPBCD 16 实用标准文档技巧三：等比代换 ABCDCDOAC8的延长线】如图，平行四边形、交中，过作直线，、【例于ADEB 2．，求证：于FOFOB??OE FEAD OBC 9ABC△AC BC??A?90?AD的中点，为直角边于中，已知【例如图，在】，时，ED DFAF??ACAB?．．求证：作直线交过、的延长线于EABFDAE BCDF AC10AB ABC△AC，使＞上取一点）的边【例如图，在】上取一点，在边中（EABD BDCE??CP?BPBC．求证：和，直线的延长线交于点DEPAE?ADA DEBPC精彩文案．