圆的切线证明
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
C
E
A
B
O
P
圆的切线证明
1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作
OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交
于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O的切
线；
2 已知⊙O 中，AB是直径，过B 点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于
D，求证：CD是⊙O的切线。
3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相
切.
4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于
点，于点．
D
（1）求证：是的切线；
5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的
长；(3)求图中阴影部分的面积．
7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一
点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦
BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
（1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
11（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB 相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
细说如何证明圆的切线
1、证切线---------------90°（垂直）
2、有90°------------------证全等
C
E
A
B
O
P
3、有⊥------------------证∥，错过来
4、利用角+角=90°
关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形
1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作
OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交
于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切
线；
2 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于
D，求证：CD是⊙O的切线。
点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结
OD。
证明：连结OD。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC是切线，AB是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切线。
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
D
3(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
（1）证明：，
又，
又于，，
是的切线
4已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．
如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
5.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、
B、C三点，DOC=2ACD=90。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
6、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D 作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
7 （2013年广东省9分）如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC 的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE 的长；
（3）求证:BE 是⊙O 的切线。
【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理）， ∴∠BCA=∠BAD。
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴
BD DE
AC AB
=
。 ∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。 ∴
12DE 1312
=
，解得：144
DE 13=。 （3）证明：连接OB ，OD ，
在△ABO和△DBO中，∵
AB DB BO BO OA OD
=
?
?
=
?
?=
?
，
∴△ABO≌△DBO（SSS）。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC。∴OB∥ED。
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO。∴OB⊥BE。
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线。
8．（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求∠B的度数．
考
点：
切线的判定与性质；菱形的性质．
分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．
解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，∵AB与⊙切于A点，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
在△ABC和△CBO中
，
∴△ABC≌△CBO，
∴∠BOC=∠OAC=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：∵△ABC≌△CBO，∴∠AOB=∠COB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴点O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．
（19）(08长春中考试题)在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（B）
A． B．1 C．2 D．
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质
知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.
2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； 圆与特殊角度 1.已知，如图，在△ ADC 中， 长线 上，连接BF,交AD 于点E (1)求证：BF 是eO 的切线； ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C . (2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径. 3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E , (1)求证： ； 2)求证：CD 是O O 的切线? 证明： 点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 . 4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45 (1) 求O O 的半径。 (2) 求DE 的长。 19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一 点， 且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径. C B O P ZI C O D A B E
32?已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E . 21?如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点 M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长. 圆与三角函数 22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线, (1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解： O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D (1)求证：ABAC ⑵求证：DE 为O O 的切线; A A A
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
证明圆的切线的两种常用方法 一、教学目的要求： 1.知识目的： （1）掌握切线的判定定理. （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. ２.能力目的： （1）培养学生动手操作能力. （2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的： 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。 二、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理. 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法. 三、教学过程： （一）复习引入 回答下列问题：（口述） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直
线是不是一个圆的切线？ ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （要求学生举手回答，教师用教具演示） （二）新课讲解 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 方法一、连接半径，证明垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。求证：DE为⊙O的切线。 证明：连结OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∵DE⊥AC ∴∠C+∠CDE=90° ∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。 例2 如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC 于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。 证明：取AE的中点F，连结FD。 ∵AB为直径， ∴AD⊥BD ∵FD=FE(=FA) ∴∠FED=∠FDE ∵∠CDE=∠BDO=∠B ∠FEB+∠B=90° ∴∠FDE+∠CDE=90° 即FD⊥CD ∴CD是△ADE的外接圆的切线。 方法二、作垂线，证明半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD ⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L，
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理 由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒
证明圆的切线方法 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B.
专题——圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线 ?在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交0D 延长线于F. 求证：EF与O 0相切? 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ? OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ? EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是/ BAC的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线,
???/ DAB= / DAC.
?/ PA=PD, ???/ 2= / 1+ / DAC. ?/ AE是O O的直径, ? AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90 0 即OA丄PA. ? PA与O O相切. OA , OE. 证明二：延长AD交O O于E,连结 ??? AD是/ BAC的平分线, ? BE=CE, ? 0E 丄BC. ???/ E+/ BDE=90 ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. ?/ PA=PD, ?/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + / PAD=90 0 即OA丄PA. ? PA与O O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直 的，解题中要注意知识的综合运用 例3 如图，AB=AC , AB是O O的直径，O O交BC于D, DM丄AC于M 求证：DM与O O相切. 证明一：连结OD. ?/ AB=AC , ???/ B= / C.
题型专项(八)与切线有关的证明与计算 类型1与全等三角形有关 1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M. 求证：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△ACO≌△BDO. (2)∵△ACO≌△BDO， ∴OC＝OD. 又∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OM⊥EF，点O是圆心， ∴EM＝FM. ∴CM－EM＝DM－FM. ∴CE＝DF. 2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC. (1)求证：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值． 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°. ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵CD是⊙O的切线，CO是半径， ∴CD⊥CO. ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. 故△CDQ是等腰三角形． (2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3. ∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等， ∴CQ＝CB＝ 3.
∴AP＝AQ＝. ∴BP＝AB－AP＝. ∴PO＝AP－AO＝ 3－1 (3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP. ∴＝. ∵∠PCE＝∠AOE， ∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE， ∴OF＝ 3 r.∵AP＝AC， ∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r. ∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3. 11＋3 22 3－3 2 2. ∴BP∶PO＝ 3. 3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE为⊙O的切线； 1 2 证明：(1)∵PE2＝PA·PC， PE PA PC PE 又∵∠APE＝∠EPC， ∴△PAE∽△PEC. (2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE. 1 2 1 2 ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°， ∴∠AOE＋2∠OEA＝180°， 即2∠PEA＋2∠OEA＝180°. ∴∠PEA＋∠OEA＝90°. ∴PE为⊙O的切线． (3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r. ∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r. 过点O作OF⊥AC于点F， 1 22 r3 22 在△ODF与△PDE中，
九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．
4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 图1 A 图2
中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度 方法五：勾股定理 方法一：等角代换（找到与90度相等的角） 【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为 的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线； 【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°， ∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线； 【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC
为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； 【解析】（1）证明： 连接OE 、EC ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2， ∵OE=OC ，∴∠3=∠4， ∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°， ∴DE 是⊙O 的切线； 【2017湖北咸宁】如图，在ABC ?中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 与边 AC BC ,分别交于E D ,两点，过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F . ⑴求证：DF 是⊙O 的切线； 【解析】（1）证明：如图，连接OD ，作OG ⊥AC 于点G ， ，
∵OB=OD ，∴∠ODB=∠B ， 又∵AB=AC ，∴∠C=∠B ，∴∠ODB=∠C ， ∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°， ∴∠ODF=∠DFC=90°， ∴DF 是⊙O 的切线． 【2016·四川泸州】如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A =∠EB C ． （1）求证：BE 是⊙O 的切线； 【解答】（1）证明：连接CD ， ∵BD 是直径，∴∠BCD =90°，即∠D +∠CBD =90°， ∵∠A =∠D ，∠A =∠EBC ，∴∠CBD +∠EBC =90°， ∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线． 【2017山东滨州23】如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DA C ． （1）求证：直线DM 是⊙O 的切线； 【解析】证明：（1）如答图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ； A M B O E F C · ·
中考复习专题圆切线证 明 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． ，BF和AD交于E， 例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF 求证：AE=BE． 例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为 E． 的切线． （1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O 1 例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°． （1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3． （1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系
证明圆的切线的七种常用方法 类型1、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 1.如图，⊙O的直径AB =12，点P 是AB 延长线上一点，且PB =4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线. 方法2、特殊角计算法证垂直 2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B =60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC. （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若PD=5，求⊙O的直径. 方法3、等角代换法证垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°， 点B是︵ AC的中点. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CF=OC； (3)若⊙O的半径是6，求DC的长. A B P O C A C B P D O A E B D O C A O F E C D B
方法5、全等三角形法证垂直 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF . 求证：BF 是⊙O 的切线. 类型2、无公共点：作垂直，证半径 方法6、角平分线性质法证半径 6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线； (2)求线段AC 的长. 方法7、全等三角形法证半径 7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切. A O B C D F A B C D E A O B C D
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.