课时分层训练(四十)
空间点、直线、平面之间的位置关系
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
A[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p?q，qD?/p，故p是q的充分不必要条件．] 2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()
A．①B．①④
C．②③D．③④
A[显然命题①正确．
由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．
命题③中，两个平面重合或相交，③错．
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]
3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
D [依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．]
4．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )
【导学号：31222251】
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
D [如图，在长方体ABCD -A
1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，
l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此
时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.
若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与
l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．
因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]
5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )
A.45
B.35
C.23
D.57
B [连接DF ，则AE ∥DF ，
∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角．
设正方体棱长为a ，
则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，
∴cos ∠D 1FD ＝? ????52a 2＋? ????52a 2－a 2
2·52a ·52a
＝35.] 二、填空题
6.如图7-3-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：
图7-3-7
①直线AM 与CC 1是相交直线；
②直线AM 与BN 是平行直线；
③直线BN 与MB 1是异面直线；
④直线MN 与AC 所成的角为60°.
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) ③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．
因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.]
7.(2017·佛山模拟)如图7-3-8所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．
图7-3-8
60° [取A
1C 1 的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E
中，∠AB 1E 即为所求，
设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故
∠AB 1E ＝60°.]
8．如图7-3-9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【导学号：31222252】
图7-3-9
4[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]
三、解答题
9.如图7-3-10所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
图7-3-10
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.5分
(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分
理由：因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，
则存在平面α，使D 1B ?平面α，CC 1?平面α，
所以D 1，B ，C ，C 1∈α，10分
这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立，
即D 1B 和CC 1是异面直线.12分
10．如图7-3-11所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中
点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：
图7-3-11
(1)三棱锥P -ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．
[解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，
三棱锥P -ABC 的体积为
V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.5分
(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥
BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补
角).8分
在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE
＝22＋22－22×2×2＝34
. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12分
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南昌二模)设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确
的是( )
A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α
C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α
D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α
B [若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ?α，故
C 错误；
若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ?α或b 与α相交，故D 错误．]
2.如图7-3-12，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________. 【导学号：31222253】
图7-3-12 3
6 [取DE 的中点H ，连接HF ，GH .
由题设，HF 綊12AD ，
∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．
在△GHF 中，可求HF ＝2，
GF ＝GH ＝6，
∴cos ∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6
＝36.] 3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．
[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N
分别是BC ，AD 的中点，
则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，
PN∥CD，且PN＝1
2CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB和MN所成的角为60°.9分
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，
所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分