第八周
第一课时
8.3 再探实际问题与二元一次方程（1）
第二课时
8.3 再探实际问题与二元一次方程(2)
提示学生先动手实践，再分析讨论．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点：
第三课时
8.4 三元一次方程组解法举例（1）
第四课时
8.4 （2）
必做题：教科书116页习题8.3第2、6题。
选做题：教科书117页习题8.3第9题。
备选题：
）一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所
甲种货车（辆）乙种货车
（辆）
总
（吨）
第五课时 第八章小结与思考
学习目标
1.使学生熟练掌握二元一次方程组的解法.
2.体会方程组的价值，感受数学文化. 学习难点
掌握解二元一次方程组的基本思路. 教学过程
一． 复习引入：
学生回忆解二元一次方程组的基本思路. （1）代入消元 （2）加减消元
二．基础练习：
1.下列各组x,y 的值是不是二元一次方程组???=-=+5
22
43y x y x 的解？
（1）???-==12y x （2）???=-=22y x （3）???==13y x
2.已知二元一次方程组???=+=-b y x a y x 22的解???-==53
y x
求a,b 的值.
3.根据下表中所给的x 值以及x 与y 的关系式，求出相应的y 值，然后填入表内：
根据上表找出二元一次方程组???-=x
y 10的解.
4.解二元一次方程
（1）???=-=+1352y x y x （2）???=-=+5.0259.243y x y x
三．例题讲解：
例 1.写出一个二元一次方程，使得???==11y x ???==22
y x 都是它的解，并且求出
x=3时的方程的解.
例2.对于等式y=kx+b,当x=3时，y=5；当x=-4时，y=-9,求 当x=-1时y 的值.
例3.有相同的解，求a 、b 的值.
四．巩固提高：
1. 已知()032=+-++y x y x ，求x,y 的值.
2. a
乙看错b 得
解
a 、
b 3.q px x ++2.
(1)当l x =时,代数式的值为2;当2-=x 时,代数式的值为11,求p 、q 的值； (2)当2
5=x 时，求代数式的值. 五．归纳总结：
解二元一次方程组的基本思路： 1．代入消元法 2. 加减消元法
第九周 第一课时 第八章复习(1)
一.选择题
1、若1122=--+-b a b a y x 是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是 （ ）
A 、1，0
B 、0，－1
C 、2，1
D 、2，－3
??
?+=-+=-)
5(3)1(55)1(3x y y x 2、下列几对数值中哪一对是方程5414x y +=的解 （ ）
A 、12x y =??=?
B 、21x y =??=?
C 、32x y =??=?
D 、41
x y =??=?
3、下列二元一次方程组中，以为
1
2
x y =??
=?解的是
（ ）
A 、135x y x y -=??+=?
B 、135x y x y -=-??+=-?
C 、331x y x y -=??-=?
D 、2335x y x y -=-??+=?
4、若2(341)3250x y y x +-+--=则 x 的值是 （ ） A 、-1 B 、1 C 、2 D 、-2
5、已知132
x y
-=，可以得到用x 表示y
的式子是
（ ） A 、223x y -=
B 、2133x y =-
C 、223x y =-
D 、223
x
y =-
二．填空题：
6、在y kx b =+中，当1x =时，4y =，当2x =时，10y =，则k = ，b = .
7、在349x y +=中，如果26y =，那么x = .
8、已知4
3
x y =??=?是方程组512ax by bx ay +=??+=-?的解，则a b += .
9、写出一个以0
2x y =??=?
为解的二元一次方程组 .
10、关于x 、y 的方程组???-=+=-22545
3by ax y x 与???=--=+8432by ax y x 有相同的解，则
()b a -= .
三． 解答题：
11、10
325u v u v +=??-=? 12、 13、 4253715
x y x y ?-=????-=?? 14、3()4()4126x y x y x y x y +--=??
+-?+=??
16、甲、乙两人同时解方程组8(1)
5 (2)
mx ny mx ny +=-??-=?由于甲看错了方程（1）中的m ，得到的
解是42
x y =??=?，乙看错了方程中（2）的n ，得到的解是25x y =??=?，试求正确,m n 的值.
以上题目要求学生课内完成.
第二课时
第八章复习(2)
一．选择题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A ．3x －2y=4z
B ．6xy+9=0
C ．1x +4y=6
D ．4x=2
4y -
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A ．22
8423119...23754624x y x y a b x B C D x y b c y x
x y +=+=-=??=???
?
?
?+=-==-=?
???
3．二元一次方程5a －11b=21 （ ）
A ．有且只有一解
B ．有无数解
C ．无解
D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ）
A ．33
33 (242)
2x x x x B C D y y y y ==-==-?????
?
?
?
===-=-?
???
5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．3
2
6、方程??
?=+=+10
by x y ax 的解是 ???-==11y x ，则a ，b 为（ ） A 、???==10b a B 、???==01b a C 、???==11
b a D 、?
??==00b a 7、|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，则2a 2－3ab 的值是（ ） A 、14 B 、2 C 、－2 D 、－4
8、解方程组?
?
?=-=+5347
34y x y x 时，较为简单的方法是（ ）
A 、代入法
B 、加减法
C 、试值法
D 、无法确定
9、某商店有两进价不同的耳机都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A 、赔8元
B 、赚32元
C 、不赔不赚
D 、赚8元 二、填空题
1．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________．
2．在二元一次方程－1
2x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
3．若x 3m －
3－2y n －
1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
4．已知2,3x y =-??
=?
是方程x －ky=1的解，那么k=_______．
5．已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____． 6．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
7．以57x y =??
=?
为解的一个二元一次方程是_________．
8．已知23
16x mx y y x ny =-=????=--=?
?是方程组的解，则m=_______，n=______． 第三课时 中期复习（1）
一．用代入法解下列方程组：
(1)???=+-=18050y x y x (2)???=-=+173x y y x (3) 233511x y x y +=??-=?
(4)??
?=+=+7222y x y x (5) (6)
二．用加减法解下列方程组：
(1)??
?=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=??-=? （3）234,
443;x y x y +=??-=?
??
?=-=2273y x x y ??
?=+-=6
5732y x y x
（4）
523,
611;
x y
x y
-=
?
?
+=
? (5)、
3252
2(32)28
x y x
x y x
+=+
?
?
+=+
?（6）
35
7,
23
423
2.
35
x y
x y
++
?
+=
??
?
--
?+=
??
(7)?
?
?
??
?
?
=
+
=
+
2
4
4
2
6
3
n
m
n
m
(8) ?
?
?
=
+
=
-
11
2
3
3
3
2
y
x
y
x
(9)
三. 应用题
1、一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？
2．已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底。
3．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
↑
↓
60cm
4.运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
六.附加题
1．〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的
鸽子就是整个鸽群的1
3，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知
道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2．（创新题）在解方程组
2,
78
ax by
cx y
+=
?
?
-=
?时，哥哥正确地解得
3,
2.
x
y
=
?
?
=-
?，弟弟因把c写错而
解得
2,
2.
x
y
=-
?
?
=
?，求a+b+c的值．
第四课时
中考复习（2）
第五章平行线与相交线回顾与思考
?
?
?
=
-
=
+
6
3
4
19
5
3
y
x
y
x
教学目标：
1．经历观察、操作（包括测量、画、折等）、想象、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．
2．在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角．
3．经历探索直线平行的条件以及平行线特征的过程，掌握直线平行的条件以及平行线的特征．
4．进一步激发学生对数学方面的兴趣，体验从数学的角度认识现实． 教学重点：本章的所有重点内容．
教学难点：几何语言的理解以及用自己的语言表述理由，书写自己的理由． 教学过程： 一、知识整理
1．学生独立思考并回答下列问题： （1）生活中有哪些平行线和相交线的例子？ （2）两条直线相交，至少有几对相等的角？ （3）判断两条直线是否平行，通常有哪些途径？ （4）平行线有哪些特征？ 2．教师引导构建框架图：
二、例题讲解
例1 如图，在长方形的台球桌面上，∠1＋∠
3＝90°，∠2＝∠3．如果∠2＝58°，那么∠1等于多少度？
图1
例2一个角的余角比这个角的一半少14°，求这个角的度数．
二． 练习题：
1.如图，∠1=80°，∠2=100°，直线a 与b 平行吗？试说明理由．
2 如图2，以B 为顶点，射线BC 为一边，利用尺规作∠E B C ，使∠EBC ＝∠A ，EB 与AD 一定平行吗？
图2
第五课时 中考复习（3）
1．填空题
（1）已知∠α=45°，则∠α的余角为 度，补角为 度．
（2）如图，AOE 是一条直线，OB ⊥AE ，OC ⊥OD ，则∠1互余的角是 ，与∠1互补的角是 ，与∠1相等的角是 ．
（3）如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ，∠AOC ＝60°，则∠BOE ＝ ．
（4）如图，直线a 、b 被直线c 所截，∠1＝50°，当∠2＝ 度时，a ∥b ． 2．选择题
（1）一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数是（ ）
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
（2）如图，三条直线a 、b 、c 相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3的度数是（ ）
(A)360° (B)180° (C)120° (D)90°
（3）如图，下面推理中，正确的是（ ）
(A) ∵∠A+∠D=180°，∴AD ∥BC (B) ∵∠C+∠D=180°，∴AB ∥CD (C) ∵∠A+∠D=180°，∴AB ∥CD (D) ∵∠A+∠C=180°，∴AB ∥CD 3．已知∠α和∠β（如图），利用尺规作一个角，使它等于∠α与∠β的差．
4．如图，AB ∥DC ，∠A=∠B ，则∠C 与∠D 相等吗？说明理由．
4
32
O
D
C
B
A
1
O
E
D
C
B
A
2
1
c
b
a
3
2
1
c
b
a D
C
B
A
β
α
5 如图，在A 、B 两地之间要修一条笔直的公路，从B 地测得公路的走向是北偏东50°，那么从A 地测得公路的走向是南偏西多少度？为什么？
第十周
第一课时 中考复习（4）
平面直角坐标系小结与复习 （1）
一、选择题
1.已知点A （－3，0），则A 点在 （ ）
A.x 轴的正半轴上
B.x 轴的负半轴上
C.y 轴的正半轴上
D.y 轴的负半轴上。 2.已知点B （0，－5）则B 点在（ ）
A.x 轴的正半轴上
B.x 轴的负半轴上
C.y 轴的正半轴上
D.y 轴的负半轴上。 3.已知点P （4，－3），则点P 到x 轴的距离为（ ）。 A.4 B.－4 C.3 D.－3
4.已知点P （2，－5），则点P 到两坐标轴的距离之和为（ ）。 A.2 B.5 C.3 D.7
5.已知点A （x ，y ），且xy=0，则点A 在 （ ）。 A.原点 B.x 轴上 C.y 轴上 D.x 轴或y 轴上。
6.已知点P （x ，y ），且
x y 0
+=，则点B 在 （ ）。
A.原点
B.x 轴的正半轴或负半轴
C.y 轴的正半轴或负半轴上
D.在坐标轴上，但不在原点。
7.已知点A （－3，2m －1）在x 轴上，点B （n ＋1，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ）
D
C
B A 3
2
1
c
b
a
北
B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.已知点A（a，b），则过A且与y轴平行的直线上的点（）
A.横坐标是a
B.纵坐标是a
C.横坐标是b
D.纵坐标是b
9.若点B到x轴.y轴的距离分别为8和7，则点B的坐标为（）
A.（8，7）、（－8，－7）、（7，8）、（－7，－8）
B.（7，8）、（7，－8）、（－7，8）、（－7，－8）
C.（8，7）、（－8，7）、（－8，－7）、（8，－7）
D.（－7，8）、（7，－8）、（8，－7）、（－8，7）
10.如果点B（x－1，x＋3）在y轴上，那么x= （）
A.1
B.－1
C.3
D.－3
11.
2
(b5)0
+=，那么点N（a，b）关于原点对称的点N′的坐标为
（）
A.（3，5）
B.（－3，－5）
C.（－3，5）
D.（5，－3）
12.已知点M（3，－2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y 轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（）
A.（4，2）或（－4，2）
B.（4，－2）或（－4，－2）
C.（4，－2）或（－5，－2）
D.（4，－2）或（－1，－2）
二、填空题
13.若点P在第二象限，且点P到x轴.y轴的距离分别为4，3，那么点P的坐标为______。
14.若点M（a＋5，a－2）在y轴上，则a_______。
15.点P（a＋5，a－2），到x轴的距离为3，则a_______。
16.已知点P（x，y）满足
22
x y0
-=，则点P的位置是______。
17.若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在_______。
三、解答题
18.设点M（a，b）为的平面直角坐标系中的点，
（1）当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？
（2）当ab＞0时，点M位于第几象限？
（3）当a为任意实数，且b＜0时，点M位于第几象限？
19.在平面直角坐标系中，将坐标为A（2，3），B（4，7），C（6，7），D（4，3）的点用线段依次连接起来形成一个图形。
（1）这四个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1
2，将所得的四个点用线段依
次连接起来，所得图形与原图形相比有什么变化？
（2）纵坐标保持不变，横坐标分别加3呢？
（3）横坐标保持不变，总坐标分别加3呢？
（4）横坐标保持不变，总坐标分别乘－1呢？
（5）横，纵坐标分别变成原来的2倍呢？
第二课时
中考复习（5）
复习内容：三角形
教学目的
通过复习与练习使学生对本章知识有更深的了解，并会灵活运用三角形内角和等于180°，外角性质，外角和以及多边形的内角和解决实际问题，进一步理解正多边形能铺满地面的道理，提高学生分析问题、解决问题的能力。
重点、难点
灵活运用三角形内角和定理和外角性质。
复习过程
问题1：△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0≤a≤b≤c，如果b＝4，问这样的三角形有多少个?
问题2：如图(1)依图填空：
1．在△ABC中，BC边上的高是
( )
2．在△AEC 中，AE 边上的高是 ( )
3．在△FEC 中，EC 边上的高是
4．AB ＝CD ＝2cm ，AE ＝3cm ，则△AEC 的面积S=( )，CE ＝( ) 分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形、钝角三角形的高，利用三角形面积公式S △AEC ＝12 ×AE ×CD ＝1
2 CE ×AB 可求得CE 。 问题3：如图(2)，在△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63° 求∠DAC 的数。
分析：∠DAC 是△DAC 的内角，可先求出∠4或∠3，∠4既是△ADC 的内角，又是△ABD 的外角，所以可利用三角形内角和与外角性质，可建立∠4和∠2(或∠1)的关系式，进而可求出∠DAC 。
问题4．如图(3)，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于0，那么∠BDC ＝90°+ 1
2 ∠A ，你会说明这个结论正确?
分析：因为∠BDC 是△BDC 的内角，所以根据三角形内角和的定理，∠BDC=180°－∠l －∠2
问题5：已知多边形的一个内角的外角与其它各内角和为600°，求边数及相应的外角的度数。
分析：根据多边形的内角和公式，已知内角和可求边数,由于内角和中的一个内角换成了一个外角,所以设辅助未知数x,根据其外角小于 180°，列方程。
作业
教科书复习题A 组5、6，B 组7、8、9
第三课时 中考复习（6）
一、填空题
1．如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是______三角形．2．已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠A的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE 的度数为_____ ．3．三角形中最大的内角不能小于_____，两个外角的和必大于_____ ．4．三角形ABC中，∠A=40°，顶点C处的外角为110°，那么∠B＝_____ ．5．锐角三角形任意两锐角的和必大于_____．6．三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为 _____ 三角形．7．在三角形ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝50°，那么∠C的度数是．
8．已知∠A=1
2∠B=3∠C，则∠A= ．
9．已知，如图7-1，∠ACD＝130°，∠A＝∠B，那么∠A的度数是．
10．如图7-2，根据图形填空：
（1）AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠＝∠
＝∠．
（2）AE是△ABC中线，则＝
＝．
（3）AF是△ABC的高，则∠＝∠＝90°．
11．如图7-3所示，图中有个三角形，个直角三角形．
12．在四边形的四个外角中，最多有个钝角，最多有个锐角，最多有个直角．
13．四边形ABCD中，若∠A+∠B=∠C+∠D，若∠C=2∠D，则∠C＝．
14．一个多边形的每个外角都为30°，则这个多边形的边数为；一个多边形的每个内角都为135°，则这个多边形的边数为．
15．某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八
边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，
可供选择的两种组合是．
16．若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将．
17．在一个顶点处，若此正n边形的内角和为，则此正多边形可以铺满地面．18．如图7-4，BC⊥ED于O，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= ，∠ACB= ．
19．如图7-5
，由平面上五个点A、B、
C、D、E连结而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠
图7-1 图7-2 图7-3
图7-4 图7-5
二元一次方程组测试题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x+4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ?的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二．填空题：
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．
1、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。 （1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？ （2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？ 2、某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天 35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？ 3、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。 （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。 4、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制成盒身，多少张铁皮制成盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
5、为了保护生态环境，我省某山区县响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，求改变后林地面积和耕地各为多少平方千米？ 6、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？ 7、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 8、在一次足球选拔赛中，有12支球队参加选拔，每一队都要与另外的球队比赛一次，记分规则为胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分。比赛结束时，某球队所胜场数是所负的场数的2倍，共得20分，问这支球队胜、负各几场？ 9、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款，共计136万元，每一年需付利息16．84万元，甲种贷款的年利率是１２％，乙种贷款的年利率是１３％，问这两种贷款的数额各是多少？
初中数学二元一次方程组知识点+习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、二元一次方程 含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 如：方程2x y +=的一组解为11x y =??=? ，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程． 一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了． 【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______． 【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______， n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） 模块一：二元一次方程 知识精讲 例题解析 二元一次方程组的概念及解法
A ．10x y +-= B ．54xy +=- C ．2389x y += D ．12x y += 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________． 【例5】 二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ） A ．0 12x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-??=-? 【例6】 求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解． 【例7】 已知23 x y =??=?是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值． 一、二元一次方程组 由几个一次方程组成并且一共．． 含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=??-=?和31x y =??=-?也是二元一次方程组． 二、二元一次方程组的解 模块二：二元一次方程组的概念 知识精讲
二元一次方程组解法练习题精选 一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组 ． 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和． （1）求k，b的值． （2）当x=2时，y的值． （3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组： （1）；（2）．8．解方程组： 9．解方程组： 10．解下列方程组： 12．解二元一次方程组： ； ． 15．解下列方程组： （1）（2）． 16．解下列方程组：（1）（2）
二元一次方程组解法练习题精选（含答案） 参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 解二元一次方程组． 考 点： 分 先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消析： 去未知数x，求出y的值，继而求出x的值． 解 解：由题意得：， 答： 由（1）×2得：3x﹣2y=2（3）， 由（2）×3得：6x+y=3（4）， （3）×2得：6x﹣4y=4（5）， （5）﹣（4）得：y=﹣， 把y的值代入（3）得：x=， ∴． 点 本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法． 评： 2．解下列方程组 （1） （2） （3）
（4）．考 点： 解二元一次方程组． 分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可； （3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解． 解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2， 解得x=2， 把x=2代入①得，2+y=1， 解得y=﹣1． 故原方程组的解为． （2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3， 把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5， 解得x=2． 故原方程组的解为． （3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣． 所以原方程组的解为． （4）原方程组可化为：，
二元一次方程组的应用 【和差倍分】 1.甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？ 2.某书店的两个下属分店共有某种图书5000册,若将甲书店的该种图书调出400册给乙书店,这样乙书店该种图书的数量仍比甲书店该种图书的数量的一半还少400册.求这两个书店原有该种图书各多少。 3.甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？ 【行程问题】 1.甲、乙两人在200米的环形跑道上练习径走，当他们从某处同时出发背向行走时，每30秒相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，设甲、乙的速度分别为每分钟x米，每分钟y米，则可列方程组是 2.甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？
3.一辆汽车从A地驶往B地，前1/3路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？ 4.某铁桥长1 000米，一列火车从桥上通过，从车头到桥到车尾离桥共用一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车车身的总长和速度。 5.甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？ 6.一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相同而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度。 7.甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，?二人继续前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离。 【组合问题】 1.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x 人，组数为y组，则列方程组是
初中数学二元一次方程组练习题 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．7年前，母亲的年龄是儿子的5倍；5年后，母亲的年龄是儿子的2倍．求母子现在的年龄．设母亲现年x 岁，儿子现年y 岁，列出的二元一次方程组是（ ） A. {x +5=2(y +5)x ?7=5(y ?7) B. {x +5=6(x +5)x ?7=2(y ?7) C. {y +5=2(x +5)y ?7=5(x ?7) D. {y ?7=2(x ?7)y +5=5(x +5) 2．某服装店用6000元购进A 、B 两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示：则这两种服装共购进（ ） 类型 价格 A 型 B 型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 A. 60件 B. 70件 C. 80件 D. 100件 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x 间、房客y 人，下列方程组中正确的是（ ） A. ()77{ 91x y x y +=-= B. ()77{ 9+1x y x y +== C. ()77{ 91x y x y -=-= D. ()77{ 9+1x y x y -== 4．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x ，乙数为y ，由题意得方程组（ ） A. 42{ 43x y x y +== B. 42{ 34x y x y +== C. 42{ 1134 x y x y -== D. 42{ 43y x x y +== 5．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土。已知全班共用箩筐59个，扁担36根，求抬土、挑土的学生各多少人？如果设抬土的学生x 人，挑土的学生y 人，则可得方程组（ ） A. 2592{ 362 y x x y ??+= ???+= B. 2592{ 362x y x y +=+= C. 259{ 2x y += D. 259{ x y +=
《二元一次方程组的应用》典型例题 例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？ 例2 要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？ 例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？ 例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？ 例5 某工程队计划在695米线路上分别装25.8米和25.6米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？ 例6 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的3 2，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？ 例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.
8.1 二元一次方程组 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2 4 y- 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x 为：x=________． 10．在二元一次方程－1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 12．已知 2, 3 x y =- ? ? = ? 是方程x－ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
精品文档 第 2 讲二元一次方程组的解法 搜集整理：百汇教育数学组陈超【知识要点】 二元一次方程组的有关概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。例如3x + 4y= 9。 （2）二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解。由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。 （3）二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。 （2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法。 代入消元法将在《七年级数学（上册?上海科技出版社）》教材中学习到。本次课，我们主 要讲解加减消元法。 【典型例题】用加减消元法解下列方程组：例1、x —5y = 0 ① 3x + 5y = 16 ② 解：由①+②得：x+ 3x = 16 即4x= 16 所以x= 4 把x= 4代入②得：3X 4+ 5y= 16 解得y = 0.8 所以原方程组的解为 x =4 y = 0.8 例2、2x ＋2y= 11 ① 2x ＋7y= 36 ② 解：由②—①得：7y—2y = 36 —11 即5y= 25 所以y= 5 把y= 5代入①得：2x+ 2 X 5= 11 解得x = 0.5 精品文档
?5x-2y=3?x+y=5 A.? B.?11 C.? D.?x y ?x+y=3?3x-y=5??23 ?x y 2.已知?是方程2x-ay=3的一个解，那么a的值是() y=-1 ? ?y=2?y=3?y=1?y=-1 ? 7.已知?是二元一次方程组?的解，则m-n的值是() y=2nx-y=1 10.请你写出一个解为?的二元一次方程组：____________________. y=3 11.若方程组? ?x=2, ?y=1, ?bx+ay=7 二元一次方程组 （时间：45分钟满分：100分） 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.下列方程组中是二元一次方程组的是() ?x y=1??2x+z=0? +=3+=7 ? ?x=1, ? A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.方程组? x+y=1, ?2x-y=5 的解为() ?x=-1?x=-2?x=2?x=2 A.? B.? C.? D.? 4.若-2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是() A.2 B.0 C.-1 D.1 5.若|m-3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为() A.-4 B.-1 C.0 D.4 6.用加减消元法解方程组? 3x-7y=3,① ?9x+2y=23② 的最佳策略是() A.②-①×3，消去x B.①×9-②×3，消去x C.①×2+②×7，消去y D.①×2-②×7，消去y ?x=-1,?3x+2y=m, ?? A.1 B.2 C.3 D.4 8.根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的单价分别是() A.0.8元/支，2.6元/本 B.0.8元/支，3.6元/本 C.1.2元/支，2.6元/本 D.1.2元/支，3.6元/本 二、填空题(每小题4分，共16分) 9.若x m-1+3y n+2=4是二元一次方程，则m+n=__________. ?x=1, ? ?ax+by=5, 的解为?则a-b的值是_________. 12.若x+y=7，y+z=8，z+x=9，则x+y+z=_________.
含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。现选取几道题略作讲解，供同学们参考。 一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 略解：由（1）和（3）组成的方程组? ??=-=+5235y x y x 的解是 ? ??-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。 方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。 二、根据方程组解的性质，求参数的值。 例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数 略解：由②得x=3y 2×3y-my=6 y=m -66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。 方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 三、由方程组的错解问题，示参数的值。 例3：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==2 3y x 由于看错了系数c,从而得到解? ??=-=22y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。8273=-?-?）（c 2-=c 把???-==23y x 和???=-=2 2y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。 （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ???=-=-0362y x my x
人教版数学七年级下册 第八章 二元一次方程组 8．3 实际问题与二元一次方程组 和差倍分问题 专题练习题 1． 已知∠1与∠2互补，并且∠1比∠2的3倍还大20°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则x ，y 满足的方程组为( ) A .???x ＋y ＝90x ＝3y ＋20 B .???x ＋y ＝90y ＝3x ＋20 C .???x ＋y ＝180x ＝3y ＋20 D .? ??x ＋y ＝180y ＝3x ＋20 2．一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x 瓶，小盒装y 瓶，则可列方程组( ) A .???5x ＋4y ＝1482x ＋5y ＝100 B .???4x ＋5y ＝1482x ＋5y ＝100 C .???5x ＋4y ＝1485x ＋2y ＝100 D .???4x ＋5y ＝1485x ＋2y ＝100 3．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果，在这个问题中，有小孩____人，水果____个． 4．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，下面所列方程组正确的是( ) A .???x ＋y ＝8xy ＋18＝yx B .? ??x ＋y ＝810（x ＋y ）＋18＝yx C .???x ＋y ＝810x ＋y ＋18＝yx D .???x ＋y ＝8x ＋10y ＋18＝10x ＋y 6．一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数． 7．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x 名工人生产镜片，y 名工人生产镜架，则可列方程组( ) A .???x ＋y ＝602×200x ＝50y B .???x ＋y ＝60200x ＝50y C .???x ＋y ＝60200x ＝2×50y D .???x ＋y ＝5050x ＝200y 8．家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌？(一张方桌按1个桌面4条桌腿配置) 9．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人，则1艘大船和1艘小船一次可以载乘客的人数分别是( ) A ．18人，7人 B ．17人，8人 C ．15人，7人 D ．16人，8人 10．某校举行安全知识竞赛，其评分规则如下：答对一题得5分，答错一题得－5分，不作答得0分．已知试题共20道，满分100分，凡优秀(得分80分或以上)者才有资格参加决赛．小明同学在这次竞赛中有2道题未答，但刚好获得决赛资格，则小明答对____道题，答错____道题．
数学《二元一次方程组》试题 二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____ 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x= 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当 k=______时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=____；当y=0时，则x=____。 5、方程2x+y=5的正整数解是______。 6、若(4x-3)2 +|2y+1|=0，则x+2= 。 7、方程组?? ?==+b xy a y x 的一个解为???==3 2 y x ，那么这个方程组的另一个解是 。 8、若2 1 =x 时，关于y x 、的二元一次方程组 ? ? ?=-=-21 2by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2 。 二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33 =+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。 Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为 （ ）
第2讲二元一次方程组的解法 搜集整理：百汇教育数学组陈超【知识要点】 1．二元一次方程组的有关概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。例如3x＋4y＝9。 （2）二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解。由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。 （3）二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 2．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。 （2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法。 代入消元法将在《七年级数学（上册·上海科技出版社）》教材中学习到。本次课，我们主要讲解加减消元法。 【典型例题】 用加减消元法解下列方程组： 例1、 x－5y ＝ 0 ① 3x＋5y ＝16 ② 解：由①＋②得：x＋3x＝16 即4x＝16 所以x＝4 把x＝4代入②得：3×4＋5y＝16 解得 y＝0.8 所以原方程组的解为 x＝4 y＝0.8 例2、2x＋2y＝11 ① 2x＋7y＝36 ② 解：由②－①得：7y－2y＝36－11 即5y＝25 所以y＝5 把y＝5代入①得：2x＋2×5＝11 解得 x＝0.5 所以原方程组的解为 x＝0.5 y＝5 { {{ {
实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来， 找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线 段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；； ； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率； (4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题： (1)基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
初二数学二元一次方程组专题 一、选择题 1.小明解方程组x+y=■的解为x=5，由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两 个数■和★遮住了，则这个数■和★的值为（） A. B. C. D. 2.已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a-2b的值是 （） A. -2 B. 2 C. 3 D. -3 3.若方程组的解中x的值比y的值的相反数大1，则k为（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 4.用加减消元法解二元一次方程组，由①-②可得的方程为（） A. 3x=5 B. -3x=9 C. -3x-6y=9 D. 3x-6y=5 5.已知a，b，c是△ABC的三边长，其中a，b是二元一次方程组的解， 那么c的值可能是下面四个数中的（） A. 2 B. 6 C. 10 D. 18 6.若方程组的解x、y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（） A. 0＜k＜8 B. -1＜k＜0 C. -4＜k＜0 D. k＞-4 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 7.若+|2a-b+1|=0，则（b-a）2016=______． 8.若单项式-5x4y2m+n与2017x m-n y2是同类项，则m-7n的算术平方根是______ ． 9.是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，则k的值为______． 10.已知方程（m2-1）x2+（m+2）x+（m+1）y=m+3，当m= ______ 时该方程是一元一 次方程；当m= ______ 时该方程是二元一次方程． 11.已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围是______ ． 12.如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x-3y+12=0的一个解，那么 a的值是______ ． 13.若二元一次方程组的解为x=a，y=b，则a+b= ______ ． 14.方程组满足x＞0，y＜0，则a的取值范围是______ ． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 15.已知x，y满足方程组， （1）用x的代数式表示y；
二元一次方程组的应用专题篮球联赛中，每场竞赛都要分出胜负，每队胜一场得两分，负一场得一分，某队为了争取较好名次，想在全部22 场竞赛中得到40分，那么那个队胜负场数应分不是多少？ 按照市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种 产品的销售数量（按瓶运算）比为2：5。某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 张翔从学校动身骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5小 时后到达县城。他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20 千米。他骑车与步行各用多少时刻？ 2 台大收割机和5 台小收割机均工作2 小时共收割小麦3.6公顷， 3 台大收割机和2台小收割机均工作5小时共收割小麦8公顷。1 台大收割机和1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 甲乙两人相距6 千米，两人同时动身相向而行，1小时相遇；同时动身同向而行，甲3 小时可追上乙。两人的平均速度各是多少？ 一条船顺流航行，每小时20km ;逆流航行，每小时16km.求轮船在静水中的速度与水的流速。 一支部队第一天行军4小时，翌日行军5小时，两天共行军98km，且第一天比翌日少走2km，第一天和翌日行军的平均速度各是多少？ 用白铁皮做罐头盒。每张铁皮可制盒身25 个，或制盒底40 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底能够使盒身和盒底正好配套？ 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走3k m,平路每小时走4km,下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟。甲地到乙地全程是多少？ 用含药30%和75%的两种防腐药水,配制含药50%的防腐药水18kg, 两种药水各需取多少？
中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知 ，则a+b 等于（ ） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（ ） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=??+=? 的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组 ，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x≤1，则1≤y≤4． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江） 请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ．
7．（2012安顺）以方程组 的解为坐标的点（x ，y ）在第 象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为 ． 9.（2012?广州）解方程组 ． 10．（2012广东）解方程组： ． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：? ??==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．1 1x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．1 1x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②
一、二元一次方程 含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 如：方程2x y +=的一组解为11x y =??=? ，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程． 一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随 之确定了． 【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______． 【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A ．10x y +-= B ．54xy +=- C ．2389x y += D ．1 2x y + = 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________． 【例5】 二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ） A ．012 x y =???=-?? B ．1 1x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．1 1x y =-??=-? 例题解析 知识精讲 模块一：二元一次方程 二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的应用 板块一：二元一次方程组解的讨论 ?二元一次方程组解的三种情况 二元一次方程组111222 a x b y c a x b y c +=??+=? ⑴若1122a b a b ≠，则该方程组有唯一解 ⑵若111222 a b c a b c =≠，则该方程组无解 ⑶若 111222a b c a b c ==，则该方程组有无数组解 1．如果方程组有唯一的一组解，那么a ，b ，c 的值应当满足（ ） A ．a=1，c=1 B ．a ≠b C ．a=b=1，c ≠1 D ．a=1，c ≠1 【解答】解：根据题意得：， ∴1﹣x=，∴（a ﹣b ）x=c ﹣b ，∴x= ， 要使方程有唯一解，则a ≠b ， 故选B ． 2．已知关于x ，y 的方程组，分别求出k ，b 为何值时，方程组： （1）有唯一解； （2）有无数多个解； （3）无解． 【解答】解：把y=kx+b 代入y=（3k ﹣1）x+2中， 可得：（2k ﹣1）x=b ﹣2， （1）当（2k ﹣1）≠0，即k ≠0.5，方程有唯一解x= ，将此x 的值代入y=kx+b 中， 得：y=，因而原方程组有唯一一组解； （2）当（2k ﹣1）=0且b ﹣2=0时，即k=0.5，b=2时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解； （3）当（2k ﹣1）=0且（b ﹣2）≠0时，即k=0.5，b ≠2时，方程无解，因此原方程组无解． 板块二、二元一次方程的简单应用
?倍分问题 1．（2015?广元）一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°．若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（） A．B．C．D． 【解答】解：根据平角和直角定义，得方程x+y=90； 根据∠α比∠β的度数大50°，得方程x=y+50． 可列方程组为． 故选：D． 2．（2015?泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（） A．B． C．D． 【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克， 由题意得． 故选A． 3．（2015?盘锦）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是（） A．B． C．D． 【解答】解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨， 由题意得，． 故选A． 4．（2015?台湾）如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（）