河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）
A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）
2．（5分）复数z=，则（）
A．|z|=2 B．z的实部为1
C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i
3．（5分）函数f（x）=是（）
A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数
C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数
4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）
A．B．C．D．±
6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）
A．B．C．D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）
A．B．﹣C．5 D．
8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）
A．2 B．C．1 D．
9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）
A．B．C．5 D．2
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．+6 C．+5 D．+5
11．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）
A．B．C．1 D．2
12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
二、填空题
13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为．
14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是．
15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为．
16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，co s∠C=，
则AC+BC=
三、解答题
17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；
（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．
18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．
20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，?=﹣
（1）求C的方程；
（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．
22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．
（1）求证：AT2=BT?AD；
（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．
23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t
为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
24．（10分）设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．
河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）
A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案．
解答：解：∵集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣≤x≤}，
∴M∪N={x|x≥﹣}=[﹣，+∞），
故选：A
点评：本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题．
2．（5分）复数z=，则（）
A．|z|=2 B．z的实部为1
C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．解答：解：复数z====﹣1﹣i．
显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．
故选：D．
点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．3．（5分）函数f（x）=是（）
A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数
C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．
解答：解：f（x）的定义域为R，
f（﹣x）==﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数；
又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，
∴f（x）为增函数；
故选B．
点评：本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．
4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）
A．B．C．D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题．
分析：将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程．解答：解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，
∴
∴抛物线y=2x2的准线方程是
故选D．
点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．
5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）
A．B．C．D．±
考点：二倍角的正弦．
专题：三角函数的求值．
分析：利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解．
解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（）=1﹣2×=；
故选C．
点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用．
6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）
A．B．C．D．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，甲、乙相邻的基本事件个数
m==2．由此能求出甲、乙相邻的概率．
解答：解：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，
甲、乙相邻的基本事件个数m==2．
∴甲、乙相邻的概率p==．
故选：B．
点评：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）
A．B．﹣C．5 D．
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=﹣，a=﹣，n=4，
当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，
当n=5时，不满足进行循环的条件，
故输出的a值为5，
故选：C
点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）
A．2 B．C．1 D．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．
解答：解：设向量，的夹角为θ，
∵||=||=|+|=1，
∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，
解得cosθ=，∴θ=，
∴|﹣t|2=+t2
=t2+t+1=（t+）2+，
当t=时，上式取到最小值，
∴|﹣t|的最小值为
故选：D
点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．
9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）
A．B．C．5 D．2
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：当x=时，函数f（x）=sin（ωx+）的相位的终边落在y轴上，由此列式求得ω的可能取值．
解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，
∴ω?+=k，k∈Z．
ω=6k+2，k∈Z．
当k=0时，ω=2．
∴ω的值可能是2．
故选：D．
点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的对称性，关键是对函数具有对称性的理解，是基础题．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．+6 C．+5 D．+5
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．
解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，
上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，
组合体的表面积为：5×1×1+4××1×=+5，
故选：D
点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．
11．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）
A．B．C．1 D．2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．
解答：解：先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线z=2x+y经过点B时，z最小，
由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=
故选：B．
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．与a有关
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．
解答：解：令f（x）=0，
得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，
令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，
x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，
a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，
如图示：
，
两个函数有2个交点；
0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，
如图示：
，
两个函数有2个交点，
故选：B．
点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．
二、填空题
13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．
考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足2x﹣1＞0，由此能求出结果．
解答：解：∵函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足：
2x﹣1＞0，
解得x＞，
∴函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．
14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是6．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式和指数运算的性质即可得出．
解答：解：∵实数x，y满足x+2y=2，
∴3x+9y=3x+32y≥2=6，当且仅当x=2y=1时取等号．
因此3x+9y的最小值为6．
故答案为：6．
点评：本题考查了基本不等式和指数运算的性质，属于基础题．
15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为x2﹣=1．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，∴=，
∵C的一个焦点到l的距离为1，
∴=1，
∴c=2，
∴a=1，b=，
∴C的方程为x2﹣=1．
故答案为：x2﹣=1．
点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，cos∠C=，则AC+BC=3
考点：解三角形．
专题：解三角形．
分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．
解答：解：∵BD=2DC，
∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，
∵cos∠DAC=，cos∠C=，
∴sin∠DAC=，sin∠C=，
则由正弦定理得，
即，即y=，
sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=×+×=，
则∠ADB=，，
在△ABD中，，
即2=4x2+2x2﹣2×=2x2，
即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=
在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos=2+1﹣2×=5，
即AC=，
则AC+BC=3，
故答案为：3
点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．
三、解答题
17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；
（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）先利用S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），用k把a1和a2表示出来，再结合d=2即可求出k，则首项可求，通项可求；
（2）对于数列b n所满足的条件，可采用迭代法，因为数列{a n}通项已知，且b1已知，所以最终b n可求．
解答：解：（Ⅰ）由题设得a1=S1=2k﹣1，
a2=S2﹣S1=4k﹣1，
由a2﹣a1=2得k=1，
则a1=1，a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．
（Ⅱ）b n===…=，
由（Ⅰ）知，且b1=2，
∴
==．
显然n=1时，上式成立，
综上所述，．
点评：本题主要考查了等差数列的基本量计算、迭代法求数列通项的问题．前者主要是方程（组）的思想方法，后者要注意使用条件的判断．
18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）由频率分布直方图中，各组的累积频率为1，构造关于x的方程，解方程可得答案；
（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，解得中位数；
（3）根据已知数据可得享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%，进而根据抽取的样本容量为25，得到结论．
解答：解：（1）由直方图可得：20×（x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030）=1，
解得x=0.0125．…（4分）
（2）设中位数为t，则
20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，得t=30．
样本数据的中位数估计为30分钟．…（8分）
（3）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．
因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%=3人，
抽取不享受补助人员25×88%=22人．…（12分）
点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，是统计基本概念的直接考查，难度不大，属于基础题．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．
考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B．由此能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，从则C到与平面ADC1的距离即为所求．
解答：（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DE?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，
则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，
又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，
则C到与平面ADC1的距离即为所求．…（6分）
因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，
所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．
作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离．…（10分）
在Rt△DCC1中，CF==．
所以A1到与平面ADC1的距离为．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2e x的图象，通过变换得到f′（x）=2e x﹣a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．
（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2e x﹣a．
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
若a＞0，令f′（x）=0得x=ln，易知
当x∈（﹣∞，ln）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；
当x∈（ln，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln，+∞）上单调递增；
综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单
调递减，在ln，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）注意到f（0）=0．
（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，只需f（x）min=f（0）=0，显然成立．
（2）当a＞0时
若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，符合题意．
若ln＞0，即a＞2，则当x∈（0，ln）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时
f（x）＜0，不合题意．
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．
点评：本题重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题．对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值．
21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，?=﹣
（1）求C的方程；
（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．设A（x1，y1），B
（x2，y2），则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=，由此能证明|PA|2+|PB|2是
定值．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．
当m=0时，l的方程为y=x，
代入：+=1，并整理得x2=．…（2分）
设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），P（m，0），
?=﹣﹣=﹣=﹣?．
又因为?=﹣，所以a2=25，b2=16，
椭圆C的方程为．…（5分）
（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，
并整理得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=．…（8分）
则|PA|2+|PB|2=（+）=[（y1+y2）2﹣2y1y2]
=[（﹣）2﹣]=41．
所以，|PA|2+|PB|2是定值．…（12分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．
（1）求证：AT2=BT?AD；
（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；立体几何．
分析：（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；
（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A．解答：（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，
所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．
又AT 2=AB?AD，所以AT 2=BT?AD．…（4分）
（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．
由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．
因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT=∠DBT=90°．
所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t
为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程
ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；
（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，
从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．
解答：解：（1）∵，
方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．
（2）联立方程组
，
消去y并整理，得
t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）
△=8a（4+a）＞0．
设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．
则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．
由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，
即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．
由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有
（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．
∵a＞0，
∴a=1．
点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．
绝密★启用前 数学试卷 学校：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一. 填空题 1. 已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =，则非零实数m = 2. 不等式2log (21)1x -<的解集为 3. 已知sin( )2 m π α+=，则cos(2)πα-= 4. 若满足约束条件10 040 x x y x y -≥?? -≤??+-≤? ，则y x 的最大值为 5. 已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知23a =，2c =，sin sin 0 020cos 01 C B b c A -=， 则△ABC 的面积为 7. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += 8. 在平面直角坐标系O 中，O 为原点，(1,0)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，动点D 满足，则|| OA OB OD ++的最大值为 9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I 专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 设(,)n n n P x y 是直线2()1n x y n n += ∈+*N 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞+=- 11. 设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则122020x x +的取值范围是 12. 已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2 ()2f x x x =+的图像上()n ∈*N ，112 n n n b a a = ++，则数列{}n b 的前n 项和n S = 二. 选择题 13. 设复数z 满足3 (2i)12i z +?=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【好题】高三数学上期中模拟试卷带答案 一、选择题 1．已知关于x 的不等式()22 4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212 a x x x x ++ 的最大值是（ ） A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．3 - 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3 D ．若a>b ，则 1 a ＜1b 3．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1 n n n a b a += ．若10112b b =，则21a =（ ） A ．92 B ．102 C ．112 D ．122 4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸 C ．三尺五寸 D ．四尺五寸 5 )63a -≤≤的最大值为（ ） A ．9 B ． 92 C ．3 D ． 2 6．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ?? ???? 的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10 B ．120 C ．130 D ．140 7．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t =u u u v ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．5- D ．7- 9．等比数列{}n a 中，11 ,28 a q = =，则4a 与8a 的等比中项是（ ）
数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题）
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1
山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 理 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知R 是实数集，2 {| 1},{|1}M x N y y x x ===-＜，则R N C M ?=( ) A.（1，2） B. [0，2] C.? D. [1，2] 2．设i 为虚数单位，复数3i z i -=，则z 的共轭复数z =( ) A.13i -- B. 13i - C. 13i -+ D. 13i + 3．已知平面向量,a b ，1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为( ) A. 6 π B. 3π C. 4 π D. 2 π 4．下列命题中，真命题是( ) A. 2 ,2x x R x ?∈> B. ,0x x R e ?∈< C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->- D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件 5．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤?? -≥??-≥? ，则22(1)z x y =-+的最大值是( ) A ．1 B ．9 C ．2 D ．11 6．将函数sin 26y x π?? =- ?? ? 图象向左平移 4 π 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 12 x π =- B. 12 x π = C. 6 x π = D. 3 x π = 7．函数()01x y a a a a = ->≠且的定义域和值域都是[]0,1，则548 log log 65 a a += ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．已知函数()()2,14x f x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所在的区间是( ) A. ()3,2-- B. ()1,0- C. ()0,1 D. ()4,5
【必考题】高三数学下期中试卷(及答案)(1) 一、选择题 1．设,x y 满足约束条件 202300 x y x y x y --≤??-+≥??+≤? ，则4 6y x ++的取值范围是 A ．3[3,]7 - B ．[3,1]- C ．[4,1] - D ．(,3][1,)-∞-?+∞ 2．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 3．已知点(),P x y 是平面区域() 4 {04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设 ()OP OA R λλ-∈的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,35??-???? B ．11,,35 ????-∞-?+∞ ???? ??? C ．1,3??-+∞???? D ．1,2?? - +∞???? 4．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤?? +≥??≥-? ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c= a ，则 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 6．已知数列{}n a 满足112,0,2 121,1, 2n n n n n a a a a a +? ≤
2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5) 一、选择题 1．在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ． 11 a b > B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b < 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 73 C ．8 3 D ．3 4．在等差数列{}n a 中，若10 9 1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．14 5．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且 2S =，则A 等于（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 6．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥?? +-≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．12 D ．13 7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4 B ．10 C ．16 D ．32 8．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n n =-，数列{}n b 满足1 sin 2 n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 9．在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c = ，a = 7 cos 8 A = ，则ABC ?的面积为（ ）
高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
2019届高三摸底考试 数 学(文科) 得分：______________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．2个 B ．3个 C ．1个 D ．无穷多个 2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2 －1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为 A ．22y ±x ＝0 B ．22x ±y ＝0 C ．8x ±y ＝0 D ．x ±8y ＝0 5．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2 x B ．y ＝|sin x 2| C ．y ＝sin x D ．y ＝tan x 2 6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为
A.33 B.32 C. 23 3 D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝ A ．2 B.154 C.174 D ．a 2 8．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 9．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是1 3，则在空 白的赋值框处应填入的关系式可以是 A ．y ＝x 3 B ．y ＝13x C ．y ＝3x D ．y ＝3－x 10．设x ，y 满足约束条件???? ?3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值 为12，则2a ＋3 b 的最小值为 A ．4 B.83 C.113 D.25 6 11．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2 ＋()y －t ＋22 ＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、 B ，则PA →·PB → 的最小值为 A. 103 B.403 C.21 4 D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ ln x ＋() x －b 2 x (b ∈R )．若存在x ∈???? ??12，2，使得f (x )＞－ x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是
【必考题】高三数学下期中模拟试卷(附答案)(3) 一、选择题 1．数列{}n a 满足()11n n n a a n ++=-?，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100 C ．-110 D ．110 2．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3 A b π ==ABC ?的面积为 3，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 32 D ．1 3．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==+++，则20a =（ ） A ．99 B ．101 C ．399 D ．401 4．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33?的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ?的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中， 315N =)，则10N =（ ） A ．1020 B ．1010 C ．510 D ．505 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c= a ，则 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 6．已知{}n a 为等差数列，若20 19 1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S B ．19S C ．20S D ．37S 7．已知关于x 的不等式()22 4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212 a x x x x ++ 的最大值是（ ） A 6 B 23 C 43 D ．43 3 - 8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ）