向量的综合应用
二. 重点、难点：
1. b
a b a ?=
θcos
2.
2
2
2b
b a a b a +?+=+
3. b a ,同向时，b a b a ?=?
4. b a ?反向时，b
a b a ?-=?
5. b
a b a ?≤?
6. 2
2
2
2
22b
a b a b a +=-++
【典型例题】
[例1] 四边形ABCD 满足0=?+?+?+?AB DA DA CD CD BC BC AB ，判断ABCD 的形
状。
解：由已知：0)()(=+?+DA BC CD AB
0)()(=+++?+BA CB DC BC CD AB 0)]([)(=+-?+CD AB CD AB
0)(2=+-CD AB ∴ 0=+CD AB ∴ DC AB =
同理AD BC = ∴ ABCD
[例2] 四边形ABCD 中，?=?=?=?，判断四边形ABCD 的形状。
解：CD BC BC AB ?=? ∴ 0)(=?-BC CD AB 若=- ∴ =与四边形ABCD 不符 ∴ ⊥-)( ∵ ?=?
同理：⊥-)( ∴ // 同理//
λ=∴ 0)(=-?∴ 0)1(=?-λ 0=?∴ ⊥∴ ∴ 矩形ABCD
[例3] O 为ABC ?内一点，求2
++OC OB OA 22的最小值。
解：令2
2S ++=2 =，=，=
++=22OB OA S 2
OC 2
22
)()(-+-+=
][32)3(3)(2322
22
22?-+++-
=+++-=
∴ 3b a t +=时，]
)([31222
min b a b a S -++=
∴ O 为ABC ?重心
[例4] ,为非，t
+最小，并证明此时)(t +⊥
=+
=∴
2
t ?-
=
=+此时，0)(2
=?-?=?+?=+?t t ∴ )(b t a b +⊥ [例
5]
3
3==，b a ,夹角为?30，λ为何值时，)(b a λ+与)(b a +λ夹角为锐角
解：λ+与+λ方向相同 ∴ 1=λ
∵ )(λ+与)(λ+夹角为锐角 ∴ )()(+?+λλ>0，且1≠λ
0)1()(2
2
2
>??+++λλ 0
29)1(122>?
++λλ
∴ 03832
>++λλ ∴),37
4()374,(+∞+-?---∞∈λ
∴ ),1()1,37
4()374,(+∞?+-?+-
-∞∈λ
[例6] A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）
（1）)0,(πα-∈
=，求α；
（2）若0=?，求αα
αtan 12sin sin 22++的值。
解：
（1）2
2
BC AC =
2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα
∴ ααcos sin = )0,(πα-∈ ∴
π
α43-= （2）0=?
0)4sin 3(sin 3)4cos 3(cos 3=-+-αααα
43cos sin =
+αα
ααα
αααααcos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222+
?+=
++
167cos sin 2cos sin )cos (sin cos sin 2-
=?=++?=αααααααα
[例7]
)
,2
(ππ
α∈，)1sin 2,1(),sin ,2(cos -==αααb a ，若
52=
?b a ，求)4cos(π
α+
解：52
sin 1sin sin 22cos 2=
-=-+=?ααααb a
∴ 53sin =α ∵ ),2(ππα∈
54
cos -
=α ∴ 1027)4
cos(-
=+
π
α
[例8] )cos ,(sin x x a =，)sin ,(sin x x b =，)0,1(-=c
（1）3π
=
x 时，求,夹角 （2）
]
4,83[ππ-∈x ，x f ?=λ)(最大值为21，求λ 解：（1）
)0,1(),21
,23(
,3
-===
x π
2
3cos -
==
θ
π
θ65=
（2）
]21)42sin(22[
]cos sin [sin )(2+-?=?+=πλλx x x x x f
]4,8[ππ-
∈x ]
4,[42π
ππ-∈-x
① 0>λ时，21=
λ ② 0<λ时，12--=λ ∴
)}
12(,2
1
{+-∈λ
[例9]
已知
7
53====++，求a 与b 的夹角。
解：0=++c b a ∴ c b a -=+ ∴ 2
2
)()(c b a -=+
∴ 2
222=?++ ∴
215
][2122=
--=?2
∴
2
1
15215
cos =
==θ
3π
θ=
[例10] 已知直线a x y +-=与抛物线2
x y =交于A 、B ，O 为原点，求?的取值范
围。
解：???=+-=2x y a
x y ∴ 02=-+a x x ∴ 041>+=?a
∴ )
,41
(+∞-∈a 设),(),,(2211y x B y x A
∴ 121-=+x x 122)(2121+=++-=+a a x x y y a x x -=?21 22121))((a a x a x y y =+-+-=?
41
)21(222121-
-=-=+=?a a a y y x x
∴ )
,41
[+∞-∈?
【模拟试题】（答题时间：35分钟）
1. 2
1==，)(-⊥，则,夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 75° D. 135°
2. 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P
满足
+
+=λ，),0[+∞∈λ，则P 点的轨迹一定过ABC ?的（ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
3. 已知,为单位向量，它的夹角为?60
=+（ ）
A. 7
B. 10
C. 13
D. 4
4. 若,夹角为?60
4
=，72)3()2(-=-?+
=
（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
5. b a ,为非0，满足a b a ⊥-)2(且b a b ⊥-)2(，则b a ,夹角为（ ）
A. 6π
B. 3π
C. π32
D. π
65
6. 已知)4,2(),2,1(--==
5
=，若25
)(=
?+，则与夹角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
7. 在ABC ?中，?=∠90C ，)1,(k =，)3,2(=，则=k （ ）
A. 5
B. 5-
C. 23
D. 23
-
8. 已知
1
,=≠e e a ，满足对任意R t ∈
，恒有
e
a e t a -≥-，则（ ）
A. e a ⊥
B. )(e a a -⊥
C. )(e a e -⊥
D. )()(e a e a -⊥+ 9. 若b
a c
b a +===,2,1，且a
c ⊥，则向量a 与b 夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
10. 已知2=a ，0
≠b ，关于x 的方程
012
=?+?+b a x a x b
ρ有实根，则a 与b 的夹
角的取值范围（ ）
A. ]6,0[π
B. ],3[ππ
C. ]32,3[ππ
D. ],6[ππ
【试题答案】
1. B
2. B
3. C
4. C
5. A
6. C
7. A
8. C
9. C 10. B
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离．
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷） 一、单选题 1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )
A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， 4 ABC S = △，且b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2? ? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用
四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝ 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的
空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． 求证：； 求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将 沿折起到的位置，使二面角 成直二面角，连结、（如图）． 求证：丄平面； 在线段上是否存在点，使直线与平面 所成的角为？若存在，求出的长；若不存在， 请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知 ，． 证明：平面； 求异面直线与所成的角； 求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面； 求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，， ．证明； 若平面平面，，求直线与平面 所成角的正弦值．
7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面； 设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． 求证：平面；求直线与平面所成的角的大小； 求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面 ，，为中点．求证：直线平面； 求直线与平面所成角的大小； 求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：； 若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦 值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值．
空间向量的应用教学设计 钟山中学徐玉学 一、教材内容分析： 在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、学生学情分析： 学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法 1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。 2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。
a B O 'B 四、教学重点、难点 重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略 在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程 （一）知识回顾 θ>=7.5 空间向量及其应用
§7.5空间向量及其应用1．空间向量的有关概念
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． (3) 概念方法微思考
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
专题17 空间向量及应用 ★★★高考在考什么 SA=SC=2 7行,M 、N 分别为AB 、SB 的中点。 (1) 证明：AC 丄SB; (2) 求二面角 N — CM — B 的大小； (3) 求点B 到平面CMN 的距离. 【专家解答】(1)取AC 中点0,连结OS 、OB. ?/ SA=SC , AB=BC ,??? AC 丄 SO 且 AC 丄 BO .' ???平面SAC 丄平面 ABC , ??? SO 丄面ABC , ??? SO 丄BO .如图建立空间直角 坐标系 (2, 0, 0), B (0, 243 , 0), 0 , 0), S (0 ,呼血),M(1, 43, 0), (—4 , 0 , 0), SB = (0 , 273, — 2 运), ?/ AC ?SB = (— 4 , 0 , 0) - (0 , 2^3, — 242 ) =0 , ??? AC 【考题回放】 1.在正方体 A i B i C i D i -ABCD 中，M 、N 分别是棱 线CM 与 D 1N 所成的角，则 1 2 A . - B.- 9 3 2 .直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中， 离是（C ） si n 等于 () 2^5 C. ------ 7 ACB=90 0 ,AC=AA A i A 和 B i B 的中点，若 0为直 9 1=a ,则点 A 到平面A 1BC 的距 A . a B.承 a 集整理勿做商业用途 3 .如图，正四面体 S-ABC 所成角的余弦值是（ V 3 A A. 3 整理勿做商业用途 4 .在正三棱锥P-ABC 若截面AMN 巧 A . 一 2 5 .在直三棱柱 中， ） C. 普a D . 73 a 个人收 D 为SC 的中点，贝U BD 与SA D 返个人收集 6 C M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点, 中， 丄侧面PBC , 则此三棱 锥的侧棱与底面所 成角的正 切值是（ 15 V o C. 一 D . 一 2 2 ABC-A 成300 角，则二面角 1B 1C 1 中，厶 BAC=90 0 , AB=BB 1=1 ,直线 BQ 与平面 ABC B-B 1C-A 的正弦值 並。 3 6 .在三棱锥S —ABC 中，△ ABC 是边长为4的正三角形，平面 SAC 丄平面ABC , ￡ O —xyz .贝U A C (— 2, ??? AC 1 B M N(0 , Y E ,(2 ).
第六节 空间向量及其应用 考纲解读 1.空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； （3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量； （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理； （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究 立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些. 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时， 0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.
空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用 【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系； 2、掌握平面的法向量的求解方法； 4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用； 3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）. 【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解 【难点】掌握法向量．．． 在线面角和二面角的应用. 【基础内容】 1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量. 2、平行： ①线线平行：a b a b ? ②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥?平面α ③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量， 若m n ?平面α || 平面β 3、垂直： ①线线垂直：a b a b ⊥?⊥ ②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ?⊥平面α ③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量， 若m n ⊥?平面α ⊥平面β 4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号） 思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？ 5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角 cos cos ,m n m n m n θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号） 思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？
【前置作业】 1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC， 则m⊥AB，m⊥AC） 【研讨探究】 向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）； ②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”） ③求解题目（法向量的应用） 探究一：平行、垂直的证明 1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD； （2）求证：MN⊥平面PCD； 探究二：线面角、二面角的求解 （3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值； （4）求二面角A-PB-C的余弦值.
空间向量的应用二 姓名： 班级： 高二数学 编写：张泉辉 审核：梅冬 备课日期：2011-1-4 学习目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 重 点： 异线角与线面角的计算 难 点：异线角与线面角的计算 知识链接：1. 2. 3.4. （5.设直线l,m )2,则 l ∥m ?a ∥b 6.设直线l l ∥α?a ⊥u 新课导学：1.义cos ＜a ,b a b ?2.难，只要计算上不失误就可以正确求出角的大小如图，设学法指导： .异面直线所成的角是 范围是：0°＜θ≤90° 直线与平面所成的角 范围： 0°≤θ≤90° 平面α所成的角θ)20(π θ<<。 合作探究：在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F (1)求直线A ′C 与DE 所成的角； (2)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； 练习：1.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1F 1=41 D 1C 1，求B E 1与D F 1所成的角余弦值的大小。 2.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC ⊥且AC BC a ==，∠VDC=45°。求直线BC 与平面VAB 学习小结： cos sin =βθ
达标检测：（A 组训练） 1. 已知空间四点11 (0,1,0),(1,0,),(0,0,1),(1,1,)22 A B C D ，则异面直线,AB CD 所 成的角的余弦值为( ) A.19- B. 19 C.13 D.13 - 2如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所 成角的正弦值为_________ （B 组训练） 1 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 2. 如图，直三棱柱ABC －111C B A ，AB = AC = 1，AA 1 = 2，∠111C A B = 90°，D 为BB 1的中点。 （Ⅰ）求证：AD ⊥平面A 1DC 1； （Ⅱ）求异面直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值。 （C 组训练） 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角的正弦 值． 解法二：如图建立以三角形BCD 的中 心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC 设正四面体ABCD 的棱长为a ， 则 336,,,6233 a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2633 a a a a C D A - ∵E 为AD 的中点，∴36(0, ,)a a E ∴ 36(,,)2a a a CE =- 又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2 sin cos ,3|||| CE n CE n CE n θ?=<>= = 学后反思： 存在问题：1.法向量如何处理？ 2. P111 页1、2、4题未用。 3. 知识链接内容 A B C D E F H o x z y
人教A 版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量 与立体几何专题1空间向量的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知点()2,1,2A -在平面α内，()3,1,2n =是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是 A ．()1,1,1P - B ．31,3, 2P ?? ??? C ．31,3, 2P ? ?- ??? D ．31,3,2P ??-- ?? ? 2．若直线l∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为11,,22?? ??? ，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 3．已知平面α,β的法向量分别为()2,3,5μ=--,()3,1,4ν=-则 A ．//αβ B ．αβ⊥ C ．,αβ相交但是不垂直 D ．以上都不 正确 4．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[ ,]63 ππ B ．[ ,]43 ππ C ．[ ,]62 ππ D ．[ ,]42 ππ 5．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( ) A ．27 B ． 7 C D ．1
6．在正四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与底面所成 DM 与AN 所成角的余弦值为（ ）. A ． 13 B ． 16 C ． 18 D ． 112 二、多选题 7．（多选）下列命题是真命题的有（ ）. A ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ?? =- ??? ，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为(0,1,1)a =-，平面α的法向量为(1,1,1)n =--，则l α⊥ C ．平面α，β的法向量分别为1(0,1,3)n =，2(1,0,2)n =，则//αβ D ．平面α经过三点(1,0,1)A -，(0,1,0)B ，(1,2,0)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则1u t += 三、填空题 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，1DD 上的点，如果1B E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 之和为________. 9．在直三棱柱ABC A B C '''-中，所有的棱长都相等，M 为B C ''的中点，N 为A B ''的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为________. 10．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大值为 .