例3.2.集合M={x |x =k 2+13,k ∈Z},N={x |x =k +13,k ∈Z},则(C )
A.M=N
B.M ?N
C.N ?M
D.M∩N=?
解:∵M 中:x =k 2+13={n +13,k =2n ,n ∈Z n +56,k =2n +1,n ∈Z ; N 中:x =k +13=n +13,k =n ∈Z ,∴N ?M .故选:C .
例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,,集合()?
?????
=-+=122|,x y y x M ,(){}4|,-≠=x y y x N , 则()()N C M C U U I 等于__{})22(,
______________
题型四、创新题
例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ,且x ?A ∩B},则(A*B)*A 等于(D )
A.A ∩B
B.A ∪B
C.A
D.B
解:如图,A*B 表示的是阴影部分,
设A*B=C ,根据A*B 的定义可知:C*A=B ,所以(A*B)*A=B ,故答案为D
例4.2.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集,记为,用表示有限集的元素个数,给出下列命题:
①对于任意集合,都有()A P A ∈;
②存在集合A ,使得()[]3=A P n ;
③用?表示空集,若,则()()?=B P A P I ;
④若B A ?,则()()B P A P ?;
⑤若,则.其中正确的命题为_①④⑤_________(填序号)
A ()A P ()A n A A ?=
B A I ()()1=-B n A n ()[]()[]B P A P n ?=2
对于命题①,,因此,命题①正确; 对于命题②,若集合的元素个数为m ,则集合的子集共m
2个,若,则 ,解得N m ?=3log 2,命题②错误;
对于命题③,若?=B A I ,由于A ??,B ??,因此,()B P ∈?,所以 ,则,命题③错误;
对于命题④,若,对集合的任意子集A E ?,即对任意()A P E ∈,则B E ?, 则()B P E ∈,因此,命题④正确;
对于命题⑤,设()n B n =,则()1+=n A n ,则集合的子集个数为,即 ,集合的子集个数为,即()[]n B P n 2=,因此 ,命题⑤正确,
故正确的命题为①④⑤_
变式训练:
1.已知集合,集合,若,则实数 1
2.设集合M ={x |x <3},N ={x |x >-2},Q ={x |x -a ≥0},令P =M ∩N ,若P ∪Q =Q , 则实数a 的取值范围为__________________
解:P =M ∩N ={x |-2<x <3},Q ={x |x ≥a },
∵P ∪Q =Q ,∴P ?Q .∴a ≤-2,即实数a 的取值范围是{a |a ≤-2}
3.若集合{2,3}≠?M ≠
?{1,2,3,4,5,6,7,8,9},则集合M 共有__________个。 126 解:27-2=126;
4.定义集合P={x |x =3k +1,x ∈Z},Q={x |x =3k -1,x ∈Z},M={x |x =3k ,x ∈Z}.
若a ∈P ,b ∈Q ,c ∈M ,则a 2+b -c ∈(b )
A.P
B.M
C.Q
D.P ∪Q
5.已知全集U =N ,{2,A x x n n ==∈N },{4,B x x n n ==∈ N },则( C )
A.U =A B U B.U=(U C A )B U
C.U=()U A C B U D.U=()()U U C A C B U
A A ?()A P A ∈A A ()[]3=A P n 32=m ()A P ∈?()()[]
B P A P I ∈?()()?=B P A P I B A ?A ()()B P A P ?A 12
+n ()[]n n A P n 2221?==+B n 2()[]()[]B P A P n ?=2
6.已知集合M ={x|x =m +16,m ∈Z} ,N ={x|x =n 2?13,n ∈Z} ,
P ={x|x =p 2+16,p ∈Z},则M ,N ,P 的关系( B )
A.M=N ?P
B.M ?N=P
C.M ?N ?P
D.N ?P ?M
解:N ={x|x =n 2?13,n ∈Z}, x =n 2?13=
3n?26,n ∈Z . P ={x|x =p 2+16,p ∈Z},x =p 2+16=
3p+16,p ∈Z N =3n?26=
3p+16
=P ,M ={x|x =m +16,m ∈Z} x =m +16=6m+16, M ,N ,P 三者分母相同, 所以只需要比较他们的分子.M :6的倍数+1,N=P :3的倍数+1,所以M ?N=P .
7.已知集合{}0132|2=++=x x x A ,(){}
012|22=+++=x m x m x B ,若A B A =Y ,则实数m 的取值范围为_____________?
?????
=≥-<0232/m m m m 或或 8.已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}
2|,C z z x x A ==∈, 且C B ?,求实数a 的取值范围。
]3,2
1[2,Y )(-∞- 9.已知集合A={x |x 2-4ax +2a +6=0,x ∈R},集合B={x |x <0},若A ∩B ≠?,则实数a 的取值范围为____________________________
解:因为A ∩B ≠?,所以方程x 2-4ax +2a +6=0有负根;…(1分)
设方程的根为x 1,x 2 (1)恰有一个负根:
或
解得:或,即a ≤-3
(2)恰有2个负根
解得:
,即-3<a ≤-1,所以a 的取值范围是{a |a ≤-1}
10.设集合M={1,2,3,4,5,6},S 1、S 2、…、S k 都是M 的含两个元素的子集,且满足:对
任意的S i ={a i ,b i },S j ={a j ,b j }(i ≠j ,i 、j ∈{1,2,3,…,k }),都有min ??????i i i i a b b a ,≠min ??
????????j j j a b b a ,j (min {x ,y }表示两个数x 、y 中的较小者).则k 的最大值是_______________11
解:根据题意,对于M ,含2个元素的子集有15个, 但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个; {1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个.
故满足条件的两个元素的集合有11个;