373
第八章 常微分方程与差分方程
3???
?数学
2012考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)
常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用
2012考试要求
1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：()
''''''
(),(,)(,)n y
f x y f x y y f y y ===和。
5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分
方程。
8. 会解欧拉方程。
9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
2012差分方程考试内容（数学3专题）
差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用
2012差分方程考试要求（数学3专题）
1．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 2．掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。 3．会用差分方程求解简单经济应用问题。
第一节 常微分方程 一． 微分方程的解的结构与性质
1.1 微分方程的形式
一般形式： ()
(,,',,)0
n F x y y y
???=
标准形式：
()
(1)
()(,,',,)
n n y
x f x y y y
-=???
注意上述形式中的y 及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含y 及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，当然对一阶微分方程可能有
374
例外：如伯努利方程等。）微分方程类型，微分方程的阶次是指导数的最高阶次，另外，考点中，一般指常系数（只有一阶微分方程可以为非常系数）线性微分方程。 1.2 微分方程的特解与通解及其解的结构
不含待定常数的解称为特解，如3x
y
e
=，含有待定常数的解称为通解，如x
y
ce
=。
n
阶齐次微分方程有无穷个特解，但只有n 个线形无关的特解，只要任意取n 个线形无关
的特解12,,,n y y y 的线形叠加1122n n
y
c y c y c y =+++ 就是原微分方程的通解。
n
阶非齐次微分方程有无穷个特解，但只有1n +个线形无关的特解，其中，对应的齐次方
程有n 个线形无关的特解12,,,n y y y ，线形叠加01122n n y c y c y c y =+++ 是该齐次方程的通解，
另一个特解
y
*
是属于
n
阶非齐次微分方程，所以原非齐次微分方程的通解为
1122n n y y c y c y c y *
=++++ 。
另外解有显式解[]()y x ?=和隐式解[](,)0G x y =两种表述方式。
研考范围内，一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制，对二元和二元以上的高阶微分方程来说，标准形式或经过变换后的方程（如欧拉方程等）必须是常系数，一般只需要掌握2-3阶就可以了，而且，无论几阶常系数微分方程，它们对应的齐次方程的解法只有一个，即特征值法，它们的非齐次方程的特解一般都使用微分算子法求得。
一旦给定常系数齐次方程，就可以求出特征值λ；反过来，一旦知道了特征值λ，就可以确定该齐次方程的具体形式，如k
λ
=为实数，则齐次方程的特解形式必为指数项kx e ，如
i λβ
=为纯虚数，则齐次方程的特解形式必为振荡项sin cos i i x x λλ和，如i λ
αβ
=+为复数，
则齐次方程的特解形式必为sin cos x x e x e x ααββ和，如果i λαβ
=+为k 重根，则特解必含幂因
子1k x -。这一规律是求解该类题型的理论根据，切记。另外，无论什么样的线性常系数方程，特解形式不外乎“幂，指，弦，弦” 特征。
二．常数变易法
常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后，再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程，也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。 2.1 一阶非齐次方程 '()()y p x y q x +
= 的常数变易法
①求对应齐次方程的通解
()p x dx
y ce
-
?=
②令()()p x dx
y
c x e
?=代入原方程
375
③解得()()()p x d x
c x q x e
d x C
?=+?
【例1】求微分方程()()cos sin 21, 00
x y y y y '+==的特解。
解：原方程变形为
co s sin 2d x x y y
d y
-=（倒栽葱型）
()()()()()()s i n
s i n
s i n
s i n
s i n
s i n
s i n
s i n
s i n
1c o s 0
c o s l n s i n l n c o s s i n 2
c o s c o s s i n 2
s i n 2s i n
22s i n
2s i n 22
y y y y y y y y y d x d x x y y d y
x y c x
c e
d y
x
d x x c y e
x y y d y
c y e
c y e
y c y e
y y c y y e c y y e
d y y
e e
c x y -----=?=??=+?==-='?+-='?=????=
?=
-
-+??
?=--
+?
?
?利用常数变易法，令 代入()00
sin sin 12sin 22y y
y
c e x y e
=--???→=--+
2.2 二阶非齐次方程 ()()()
y p x y q x y f x '''+
+= 的常数变易法
2.2.1 已知或必须能容易求出()()0y p x y q x y '''++=的两个特解12, y y ，否则不能利用常数变
易法 ①令()()1122
y
c x y c x y =+代入原方程
②解得()()
()()
211122121212
12
; y f x y f x c x c dx c x c dx
y y y y y y y y =
-
=+
'
''
'?
?
【例2】求()()
2
11x y xy y x '''--+=-的通解。
解：容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解 , x
x e
()()2
11111
1
x x y xy y x y y y x x x ''''''--+=-?-
+
=---
令原方程的解为
()()12x
y c x x c x e
=+代入原方程，可得通解
376
()
()()
12122
122
12111
1
1
x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
e
x x x y c x c e x d x e
d x
x e x e e
e
c x c e x
d x
e xe
d x
c x c e x e
xe
e
c x c e x x -----=+-+=+-+=+-+--=+---?
?
??
2.2.2 已知或必须能观察求出()()0y p x y q x y '''+
+=的一个特解1y ，
令()1y
u x y =代入原方程，可求出()()()
y p x y q x y f x '''++=通解。
【例3】求12x
y y y e
x '''-+=
的通解
解：容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解 x
e
令
()x
y u x e
=代入原方程，得
()()()
1121
212211ln ln ln ln x
x
x
x
x
x
x
e
u u u e u u e
u e
x
e u e u u x c u c cx x x x
x
x
u c c x x x y e
c
c x x x
''''?++-++=
'''''?=
?=
?=+?=++-?=++?=++
也可以这么做： 如''()()0
y p x y Q x y '++=容易观察出一个特解y *
则令 另一特解为
*
2y y zd x
=??代入原方程
()()()()2()22
()122
12()011()p x d x p x d x
p x d x
d z
y y p x y z z e
d x y
y x y
x e
d x
y
y y x C C y
x e
d x
y
-*
**
*-
*
*-
*
*
*???'??
++=?=????=??=+?
?
三．各类研考中所考微分方程的5大题型
1．'()()y p x y q x +
=及其伯努利方程(), , 0n
f
x y y '=；有定势求解方法；
2．(), y f x y '''=；属于缺y 型，有定势求解方法； 3．(), y f
y y '''=
；属于缺x 型，有定势求解方法；
377
4．(), , y f
x y y '''=
，涉及的题型比较灵活；后面有系统研究。
5．()
()
()
1-1
, , , 0
n n n
n f
x
y
x
y
xy -= 欧拉方程：；有定势求解方法。
四．微分算子法求非齐次方程的特解 形如 ()
(1)
(2)
121'()
.n n n n n i y
p y
p y
p y p y f x p const ---+++???++==
令
()()
(1)(
2)
121
1
2
121'()()()
1() *()
()
n n n n n n
n n n n y
p y
p y
p y p y f x D p D p D
p D P y f x F D y f x y f x F D -
-----+++???++=?+++???++=?=?=
特解
1*()
()
y f x F D =的求法规则
①
②
③ )
例如：
2
2
1
111()()()
21()
23
31(
)
33n n n P x P x P x F D D D D D ==-
--+-
再根据
1(1)1n n
n x
x
∞
>=
-+∑
或
11n
m x
x
∞
==
-∑
求得()()
20
211(
)
3
3
n
n
n Q D D D ∞
==--
∑
()Q D 展开项的个数由多项式()n P x 的最高次幂决定，参见【例4】。
④
378
s i n ax
可化成ia x e ，计算结果取虚数Im
sin ia x
e
a x ??=?
?
即可，参见【例9】。
算子解 真方便； 遇指遇弦直代换； 几重零母几次幂。
遇多项 级数帮； 最高次 去截断； 积分总在最后边。
遇混合 指出鞘； 平移算符作后面；
双弦能化指实虚。 与算子解法有关的考点有三：第一，求常系数非齐次方程的特解；第二，求常系数微分方程组的通解；第三，求欧拉方程的特解。 【例4】求解''4'4x
y y y
e
α++= α为实数
解：
21211
22
2
2
222
21122
222,()2(2)1*144
22(2)2(2)*=()+122(2)x
x
x
x
x D x
x
x
x D y c c x e e
y e
e D D x
x e D e
y y y c c x e e x
x e D αααααααααλλαααααα-=-===-=+?≠-?+?=
=?++==-?''???
+???
?≠-?+?=++?==-?''???
+???
，，，，
【例5】
2
''sin 0
y y x
αα+=> 解： 22
0i
λαλα+=?=±
112
22
222
2
c o s s i n 1s i n s i n 11*11sin sin sin co s 1
()'222y c x c
x
x x D y x x
x x x D x x x
D D D ααααααα=+?
=≠±?+-?
=?
?===-=±+??
1*
y y y =+
【例6】sin y y x
'''-=
解：3
12,3101,2λλλ-=?==
379
2
112332
(cos
sin
)
22
11
1*sin sin sin 1
11
x x
y c e e c x c x y x x x
D D D D -=++=
=
=-
-?-+
2
11sin (co s sin )
1
2
D x x x D -=-
=--
1*
y y y =+
【例7】2
2321y y y x x ''''''--=+-
解：3
2
12323100,1,3λλλλλλ--+=?==-=
31123x
x
y c c e c e
-=++
2
2
3
2
2
1
11*(21)(21)
2323
y x x x x D D D
D
D D =
+-=
?
+-----
2
22222
0232
11
1
()
(21)
2
131331
1211127(1)(21)(21)333392712711720(21)3927992727n
n n x x D
D D D D x x D D x x D D D x x x x x D ∞>=
-
+
-??+- ?
??
??????=-?--+-=-+-+- ? ?
?? ???????
??=-+-+-=--+-
???
∑
()a 此题解法顺数第一步，即2
2
3
2
2
1
11(21)(21)
2323
x x x x D D D D
D D +-=
?
+-----，
如写成2
2
3
2
2
1
1
1
(21)(21)2323x x x x D D D
D D D
+-=
?+-----，则计算相当繁琐，建议不要采
用。
()b 此题解法倒数第二个等式，必须先使
1D
和2127
3
9
27D D ??
-
+
-
??
?
相乘后，再对其后的多项式
进行算子运算（ “先算子运算顺序” ），否则，会少一项系数2027
-。对指数与顺序无关。
如求方程sin y y x
''+
=的特解，按照后算子运算，则*
2
111sin sin co s 1
22y x x x x x
D D
=
=?
=-
+是
正解，若按照先算子运算，则
()()*
2
2
11111
1Im
Im
1Im
1Im 1Im co s sin co s 1
22221
ix ix
ix
e
x y e
e
x i x i x x D D
D i
D i D i ?
?===?
==+-=- ?++?
?++也是正解，希望读者记住多项式这一特点，不要做过多的理论研究。
()c 另外，
380
【例8】 369(1)x
y y y x e '''-+=+
解：2
369(1)x
y x e
λλ-+=+
3112332
2
()1
1
*(1)(1)
69
(3)6(3)9
x
x
x
y e c c x y x e
e
x D D D D =+=
+=+-++-++
332
3
2
111
(1)()
62
x
x e
x x x e D
=+=
+
【例9】 22cos x
y y y xe x '''-+=
解：2
2201i
λλλ-+=?=±
1122
2
2
(co s sin )11
1*co s co s co s 22(1)2(1)2
1
x
x x
x
y e c x c x y e x x e
x x e
x x
D D D D D =+=
==-++-+++
先求
2
11
ix
xe
D +再取结果，即得
2
1co s 1
x x
D +
()2
2
2
2222
11()1
21111112222441
11
1R e
R e R e co s sin co s sin 14444441*(sin co s )
4
ix
ix
ix
ix
ix ix
ix x
e
x e
x
D i D D i
D x e
x e
x e x D D i D i i i i i i x xe
e x x x i x x x x x x x
D y e x x x x ==+++????=?
=-?=+ ? ?
+????
????????=-+=+-+=+ ? ?????+???????
?=+
【例
10】解微分方程2
2
2
2
t
d x dy x
e dt
dt
d y dx y dt
dt ?+-=????++=??。
解：
()()()()2
222
2
2
1 110 20t
t d x d y x e D x D y e dt dt
d y dx D x D y y dt
dt ?+-=??-+=?????++=???
++=??
381
()()(
)2
4
2
2
2
2
2
2
4
2*
4
2
1,23,412341
01
1111
110co s sin t
t
t t
t
t
t
t
D e
D D e
e
y D D D D D
D D
D
D D D y e x e
i y c e
c e
c t c t e
ααλλλαλβ
ββ---?=
=-
=
----+-+?
--=?=?--=?==±=±=±?=++++；
求x 不能再使用行列式，否则，还需要求系数待定系数的关系，因为只能有四个独立的待定系数。故 ()()312t
D x D y e -??=--得
(
)3
12
3
4
333
3
12
3
4c o s s i n c o s s i n 2t
t
t
t
t t
t
x D c e c e c t
c t e e c e
c e c t c
t
e
ααααββα
αββββ--=-++++
-
=--
+-
五．各类一阶方程的解法
一阶方程共有6大类型：全（全微分）、离（可分离变量）、线（()()y p x y q x '+=）、同（, x y
同次的齐次方程）、伯（伯努利）、倒（化为倒栽葱d x d y
求解）。先定型，后定法。
5.1 分离变量型
适应形如：
1122()()()()0
f x
g y dx f x g y dy +=
5.2 同次型----一元平移化方法
①直接同次型：形如
22
, (), (), ()
y y f f x y f x y f xy x ??'=±± ???
等，使用一元化换元。
令
②换元同次型：形如
111222a x b y c y f a x b y c ??
++'= ?++??
微分方程的换元解法，
使用一元化+平移法换元。 ()a 当1
20
c c ==时
1122y a b y x y f g y x a b x ?
?+ ???'== ? ?
?? ?+?
? 直接使用一元化换元
382
()b 当
1111
22
22
0a b a b a b a b λ=?== 则
22122222()()
a x
b y
c y f g a x b y a x b y c λ??
++'==+ ?++?? ，使用一元化换元， 令
22u a x b y
=+求解。
()c 11
1222
0, , a b c c a b ≠不全为0
解方程组1112220
a x
b y
c a x b y c ++=???
++=?交点(), αβ ，先用平移法，再用一元化，即
令
d Y Y Y x X u y Y d X X X α?β??=+?=?= ?=+??
5.3 伯努利方程—变系数的(1)n -倍
形如 '()()n
y p x y q x y
+= 0, 1n ≠， 称伯努利方程。
令1n
z
y -=?
因为
11
1(1)1n n
z n y y y y z n
--''''=-?=
-
1'()()1'(1)()(1)n
n n
n
y z y
y z p x z y q x y
n
z n p x z q n =?
+=
-?+-=-
(
1)()(1)()1
1(
1)()(1)()(1)(1)n p x d x
n
p
x
d x
n
n
p
x
d x
n p x
d x z e
q n e
d x
c y e
q n e
d x c
-
------?
?
??
?=-+???
?
???
???
=-+?????
??
?
??
5.4 全微分法 (, )(, )M x y d x
N x y d y
+= 如
M N y
x
??=???(,)(,)M x y dx N x y dy
+构成全微分，令()(,)(,),M x y dx N x y dy du x y +=
求解方法有两种： ① 一般法 ()0
0,(,)(,)x
y x
y u x y M x y d x N x y d y
=+
??
② 凑微分法（是求解这类方程的主要方法）。
383
5.5 反函数型（倒栽葱
d x d y
）
变换原方程。
全离线 同伯倒；定型定法多思考。
格林模 凑微分；分离两边各自积。 线性型 套公式；同次平移一元替。 伯努利 1n -倍；倒栽葱型两定理。 【例11】已知()f x 可导，且()()()
()()
14f
x f y f x y f x f y ++=
-，求()f x 。
解：这类题型的解法定势是：先令自变量为零，尽可能求出()0f ，然后令y x
=?。
令 ()()()()()
()()()2
00014000140f
x f y f
x f
f x f
f x f +??=?=
?+=?=??
-
令y
x
=?
()()()
()()()()
()
()()()()()()
()()()
()()2
2
2
1414lim
lim
lim
14140 lim
01414x x x x f
x f x f
x f
x f x f
x x f
x f x f x f x x
x
x f
x f x f
x f
x f f f
x x
f x f x ?→?→?→?→+?-
???++?--???
'===???-???????+?-
??
'??=?
=+??
?-?
()()()()()()()()()()()()()2
2
000
00141211arctan 20arctan 202
2
1tan 202
f c f x d f
x f f d x
f
x f
x f
x f x c f
x f x f
x f x =→=''?
=?
=??++????
??
?
=+?????
→=????????
?=
????
补充题型1： 已知3x
y py qy e '''++=；()()000y y '==，求()
()
2
ln 1lim
x x I
y x →+=。
解：()()
()22
2
2
00
222121lim lim 2
1x x x
x
x x I
y x y x →→-++===
='''
补充题型1：已知ln x
y
x
=
是y
x y x y ???'=
+ ???
，求x y ?
??
???
384
解：
()12ln 22
111ln ln ln x t t y x
y
x x
x y y t x y x x x x y x ???=='????????'=+?=+???
→=-??→=- ? ?
? ???????
??
【例12】
2
2
2
2d x d y x xy y
y xy
=
-+-
解：先定型，后顶法。显然本题为：同次型。
2
2
21y y d y x x d x
y
y x x ??
-
????=
??
-+ ?
?? 令
y u y u x y u xu x
''=
?=?=+
2
2
2
3
32
2
2
2
2
3
2
2122321111
32(2)(1)
u u u xu u u
u u u u u
u u u xu u u u u d x u u u u d u d u
x u u u
u u u -'+=-+--+--+-'==
-+-+-+-+=
=
-+----
3122
3
1
3122121213ln ln ln ln (1)ln (2)
2
2
1
()(2)
k k k d u d u u u u u
u u x C u u u u C x y x cy y x ??-- ???=++=++ ? ?
----?? ???
?+=-+--
--?=
?-=-
【例13】
3
2
2
3
237328x xy x y x y y y
+-'=
+-
解：可转化的换元同次型。
22
2
22
2
237()328
()
yd y x y d y xd x
x y d x +-?
=
=
+-
令2
2
, y x ηξ
== 237328
d d ηξηξ
ξη+-?
=
+-
解方程组
(,)(2,1)
ξη?=
令232231
3232
Y X d Y X Y X Y Y d X
X Y
X
ξη+=-?+?
=
=?
=-+?+
385
再令2
322(1)
Y u d X u
d u X u X
+=?
=
-
4
2222524
3
13(1)(2)
(1)
u C X
x y c x y x u +?
=?+-=----
【例14】
(2sin 3)(24sin 3)cos 0
x y dx x y ydy -+---=
解：换元同次型。
(2sin 3)(24sin 3)(sin )0
x y dy x y d y ?-+---=
令23sin 243
d z x z y z d x
x z -+=?
=
-- 再令
212
d z d y x z u d x
d x
-=?-=
2
2
1139
2
223
32(32)9393(2sin )(2sin )9d y u d u d x
u d x
u
u d u d x u u x C x y x y x C
+?
-
=
?
=
--?-=?-=+?---=+
。配全微分补充题
2
2
2
2
32222322
11100022Q
P
x y
x x x x xd x y d y d x y d y d y y c y y y y y ??=????????+-=???→+-=?+=?+= ? ? ???????
2。常见二元函数全微分
386
【例15】
()sin ()()x f x x x x t f t d t
=-
-?
求()f t
解： 需要求导变形。
1122
2
2
2
2
'()co s sin ()()2co s sin ()2co s sin co s sin 111*(2co s sin )2co s sin 11
1
112co s sin sin 21()1
(2)
3*sin 4
x ix ix
ix
f x x x x f t d t
f t x x x f x y y x x x
i y c x c x
y x x x x x x
D D D e
e
x
x xe
x x x x x x
D
D D i D D i y x x λ
=+-
''=--''?+=-=±?=+=-=
-
+++=-=-
=-
++++?=+?
21co s 4
x x
【例16】设()f x 在[)0, +∞上可导，()01f =，且满足()()()0
101
x f x f
x f t d t x '+-
=+?
()1求
()
f x '；()2证明：()01x
x
e
f
x -≥?≤≤。
解：()1先变形在求导。
()()()()()()()()()()()()()
()()()()
()()()01
011
1000001
1
110
120
201
1
1
x f x x
x
x
u f x f c f x f
x f t d t f f
f x x f x x f x f t d t x f x x f x x ce
e
u u f x f x x x x ==--''==-→=-'''+-
=??→+=???→=-+'?+++-='''?
+++=+'''???→+
=?=
?????→=-
+++?
?
()2 利用牛顿---莱布尼茨公式和积分比较定理
()()()()()()00
011
01 00 1 1
1
1
t
x x
t
t
x x x t
x
x
x
e
f
x f f t dt f x dt
t e
e
dt e dt e
x dt e
e
f
x t t -------'-=
?=-+≤
≤
=-≥?≥-≥-?≤≤++???
?
?
【例17】
'sin cos 0
y y x y x +++=
解：先变形，再定型。
387
2
2
11'2s i n
c o s 2c o s 0
222
1s e c
'0
22
2
'01*()(1)11
*(1)
x
x
y
y
y y x y y y tg
x u u x u ce u x D x x
D u u u ce
x --?++?=++=++=?==
-=--=-+?=+=+-
【例18】
1
'co s sin 2y x y y
=
+
解：属于倒栽葱型。
sin co s sin 2co s sin 2co s 0co s co s ln sin ln y
d x d x x y y x y y
d y
d y
d x d x d x x y x y yd y x y C
d y
d y
x
x ce
?=+?
-=-=?
=?=?=+?=
利用常数变易法令
sin ()y
x c y e
= 代入原方程
sin sin sin '()2sin co s ()2(sin 1)2(sin 1)
y y
y
c y y ye
c y y e
c
x ce y --?=?=-++?=-+
又如
2
3
3
112
y d x y x y x cy y
x y
d y
y
'
=?
-
=?=+
+。
【例19】4'y y x
-
=
解：先换元，再定型，显然属于伯努利型 42d z z z x d x x =?-=
212d z z x d x x ?-=
①
2
20d z z
z cx
d x
x
-
=?=
令2
()z c x x
=代入原方程①
2
11'()()ln '2
2
c x x x c x x C =
?=
+
2
1ln 2x C x ??=+ ???
（隐式解形式）
388
【例20】
4
3
3
'23xy y x y +=
解：先变形，再定型。
412
3
3
12
3
2
12
3
3
3
'323'32'337
z y
y y
x x
z y
z z x
x
z z x x
z y x cx --
-
-?+
==?-+=?-
=-==-+
【例21】
2
4
(2)xydx x y dy
=-
解： 2
23
2
3
21()122
xd x d x x y x y
d y
y
d y
y
?
=
-?
=?
-
?
令2
24
(2ln )z
x x y c y
=?=-+（隐式解形式）
注意下列三角和多项式换元题型
()a sin tan sin 1co s u y x
x y y u u x y ce
x y
=-''=
-???
→+=?=+-。
()b (()
()3
tan 2
2
tan 1
1sin 1sin 1sin y u
z u v
d z d u
x v
d v d v d y d u d z y x y
u v z z
d x
d v
d v
==-==--=+???→-=????→=-余略。
()
c 2
2
d y x y x y
d x
-=+
2
2
22111arctan y
u x
y d y d x y
y y d u y x d x u x c
x
x d x
x d x x =??- ????????
=+?
=+???→=+?=+ ? ???
??
()
d ()()32
32
2
3
32
2326130233u y x y
x x x
x
y x
y y
x x y e u u e y x y ce
e
=--''-+-+-=????→+=?-=+ ()
e 2
2
22
22
2
2
2222ln u
x y
u
x y v u x y
v
x x
x x
x yy u u vx u v xv x y u yy e
x u e xv e e x c
x
x
++=
=+''
''
+==→=++'''=+
-????→=+?????→=?-=+
六．各类二阶及高阶常微分方程的解题技巧
6.1 二阶常系数齐次方程：0
y py qy '''++= （, p q 为常数）通的特点
特征值方程：2
p q λλ++=，如解为实数，则特解具有指数形式x e λ，如为纯虚数，特解
389
具有三角振荡形式sin x λ或cos x λ，如为复数，特解具有三角振荡形式cos x e x αβ或sin x e x αβ，如有k 重根，则出现幂因子()112k k c c x c x -+++ 。即： ①()()12121120x
x
y c e c e
λλλ
λλλ--=?=+
②()12
11120()x
y c c x e
λλλ-=?=+
③()()()11112120...co s ...sin k
x
k k k k i y e
c c x c x x c c x c x x αλ
αβββ--??
-±=?=+++++++??????
6.2 线性二阶微分方程解的重要定理，, p q 可以是x 的函数 ①若 12*
*
(), ()
y x y x 是
()
y py q f x ''++=的两个相异的特解，则12*()()()
y x y x y x =
-为
y p y q ''++
=的解。 ②若 123
, , y y y 是
()()()
y p x y q x f x ''++=的三个特解，则1223
y y y y -
-和为对应齐次方
程0
y py q ''++=的两个线性无关的特解（也可以是1213 y y y y -
-和，余类推），并且
()()*
311
22
23y y c y y c y y =+-+-
是()()()y p x y q x f x ''++=的通解。
（通解也可以是()()
*
1112213y y c y y c y y =+-+-，余类推）。
微分方程解多少；幂指弦弦到了头。
非齐特解差齐特；本征方程回故乡。
③叠加原理：如
1
*
y 是1()()()y p x y q x f x ''+
+=的特解
2*
y 是2()()()y p x y q x f x ''+
+=的特解
则
1
2
*
*
*
y
y y =
+
是12()()()()y p x y q x f x f x ''+
+=+的特解
6.3 二阶或部分高阶方程类型 ①常系数线性型：()
y py qy f x '''++=，, p q 为常数， *y 采用微分算子求解
②多次积分型：()
()
n y f x = ③缺y 型：(, )y f x y '''=?
令 , y p y p ''''==
④缺x 型：(, )y f y y '''=
? 令
, d p y p y p
d y
'''==
⑤欧拉型： 特征是导数阶数×相同方次的自变量?构成每一项
390
()
1
(1)
1()
n
n n n n i x y
a x
y
a y f x a consl
--++???+==
令()()t
t
n x
e p D y
f e =?=，化成常系数线性型()
y py qy f x '''++=
其中一般项公式：
二阶方程不可慌； 非齐特欧算子帮。
两缺定势挂心上； 特殊解法闪金光。 【例22】
1'sin x
y y xe x
x
''=
+
解：''y p
y p ''=
=
11'sin 'sin (*)
1'0x
x
p p xe x p p xe x x
x
p p p cx
x
?=+?-
=-
=?=
常数变易求特解
()p c x x
= 代入 （*）
2
2
1'()sin ()(sin co s )2
1(sin co s )2111[co s (co s sin )]2
2
2
x
x
x
x
x
c x e x c x e x x C
P xe x x cx y xe x e x x G x c =?=-+=-+=
-+
++
+
【例
23】
2
1'
2y y y
+''=
解：令'd p y p y p
d y
''=
=
2
2
212
1
1221ln (1)ln ln d p p p d p
d y p
d y
y
p
y
p y c d y p x
x c +?=
?
=
+?+=+?==
?
=±+
【例24】2
ln yy y y y
'''-
=
解：
391
12'ln ln ln x x y y z y z z y c e c e y -'??''?===?=+ ???
令 【例25】若
123, , y y y 是 ()()()
y p x y q x f x ''++=的三个特解，则下列哪个正确（）
()()()()()()()112231122123
112212311221
23
1 1A c y c
y y B c y c y c c y
C c y c
y c c y D c y c y c c y +++-++---++--
解：()()*
3112223y y c y y c y y =+-+-=()1122
1231c y c y c c y ++--，故选()D 。
【例26】下列微分方程中，从123cos 2sin 2x
y c e c x c x =++为通解的是（）。
()()()
()440 440 4
4
0 4
4
A y y y y
B y y y y
C y y y y
D y y y y ''''''''''''+--=+++=''''''''''''
-
-+=-+-=
解：所求方程的等价形式为特征方程：()()()3
2
1220440i i λλλλλλ-+-=?-+-=，故选
()D 。
【例27】已知22123, , x x
x x
x x
x
y xe e
y xe e
y xe e
e
--=+=+=+-都是某非线性微分方程的解，试
求此方程。
解：
()()()()()
()()()
()()*
31122232221
2
22212
21212 2 11x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
y y c y y c y y xe e
e c xe
e xe e
c xe
e
xe e
e
xe e
e
c e
e
c e
e
xe c c e c c e
--------=+-+-=+-++--++--+=+-+-+-=++-+--+通解为：()()()
()*
2
122, 121020
2222x y xe x x x x
y y y f
x f
x e xe y y y e xe
λλλλλλ=?==-?-+=?--='''?--='''???????????→=
-?--=-以非齐次方程的特解 代入上式
【例28】()f x 可微，()()()a
b
f a b e f b e f a +=+，()0f e '=，求()f x 。
解：
392
()()()
()()()()()()()
()()
()()()
()()()()
()()
()()()()
()()()
0,
, 0
0000011010lim
lim
lim
0a b
a b a x b x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x x
f
a b e f b e f
a f f f f f x x e f
x e f
x e f x f
x e e
e f
x f f
x x f
x f
x x x
x
x
e
e f
x f f
x x f
x f
x x
x
x
f x f e f x y y ====??????→?→?→+=
+????→=+?=????→+?=
?+?+
--?-
??+?-
??
?
=
=
+?
????-?-
??+?-
??
?=+???''?=+'?-=()1
1
000
1
x x x
f c x e
y xe ce
y xe
++=?=+?=+?????→=
【例29】()f t 在[)0, +∞上连续，满足方程(
)2
2
2
2
44t
x y t
f t e
f d xd y
π+≤?=+
???
，求()f t 。
解：
()(
)()()()()()()()
2
22
22
2
2
2
2
22440
44442
011
42
0101128888441t t
t
x y t
t t
t
f c t
f f t e
f d xd y e d f r rd r f t e tf t y ty e
f t y e
t
C
f t y e
t
πππππππθ
ππππππ+≤=→==+=???
=+
=+
? ????
''?=+?-=?==+?????→==+??
?
?
【例30】已知()(), , u v f u v f u v u v ''+=，求解()2, x
y e f x x -=。
解：
()()()()()222
22
222
222
3
322, , , 2, 213
13x
x
x x u v x
x
x
x x
y e f
x x e
f x x f x x e
f
x x x e
y e
ye x
ye x ye
x c
y x c e
---
--'''=-++=-+
????'?+='?
=
?=
+???=+ ???
【例31】()y
y x =在()
, -∞+∞有二阶导数，0y '≠，解方程：
()3
2
2
sin 0
d x d x y x d y
d y ??
++= ???
。
解：
()3
2
2sin 0
d x d x y x d y
d y ??
++= ???
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即. ()()()t A t t Φ=Φ， . 1 ()()() A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。 2.证明：因为()t ?，()t ψ分别是. ()x A t x = 和. ()T x A t x =-的解，所以 11 1 () ()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ????==?? ? ?== ? ? ? ??? ∑∑ ， 11211111122222* 121 ()()()n n k k k n n kn k n n n nn k a a a a a a a d t A t t dt a a a a ψψψψψψ==?????? ? ? ? ? ? ?=-ψ=-=- ? ? ? ? ? ? ????? ??? ∑∑ 因而 1111 112 2 1 1 (,)(,)(,),,n n k k k k k k n n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψ??ψψ ??ψ?ψ ψ?ψ?ψ?====?? ?? ?????????? ?-?? ? ? ??? ??? ? ? ???=+= ?+?? ? ? ??? ?-?? ? ? ??? ????? ???? ??????? ?? ∑∑∑∑ 11 111 1 1 1()0 n n n n n n n n n n n n m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ?ψψ??ψ?ψ?ψ?ψ== === = == == = = -= += -=-=∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑所以 (),() ()()1 n t t t t k k k ?ψ?ψ≡≡ ∑=常数。 3.证明：设)t Φ(为系统. ()x A t x = 的一个基本解矩阵，则由定理2.11知 [ ]1 () T t -Φ是系统. ()T x A t x =-的基本解矩阵，由定理 2.4知系统. ()x A t x = 满足初始条件00()x t x =的特解为1 00()))t t t x ?-=Φ(Φ(，[) 0,0,t t ∈+∞由题可 知)t Φ(与[ ]1 () T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0 k k t ?=>
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
上海交通大学 致远学院 2016年秋季学期 《常微分方程与动力系统》课程教学说明 一.课程基本信息 1．开课学院（系）：致远学院 2．课程名称：《常微分方程与动力系统》 (An Introducation to Differential Equations and Dynamical Systems) 3．学时/学分：48学时/ 3学分 4．先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何；或线性代数、高等数学。 5．上课时间：星期五 6-8节(12:55-15:40) 6．上课地点：东下院 101 7．期末考试时间：2017-01-（02-13）考试周 8．任课教师：肖冬梅， xiaodm@https://www.doczj.com/doc/7f17386565.html, 9．办公室及电话：数学楼2305，54743151转2305 10．助教：何鸿锦，hehongjin000@https://www.doczj.com/doc/7f17386565.html, 11．答疑（office hour）：星期三晚18：30 – 20：30，数学楼2305室二.课程主要内容（如何可以，请提供中英文） 除期中考试2学时+习题课2学时外，其余全是课堂教学 第一章基本概念（3学时） 主要内容： 1.1什么是微分方程？什么是常微分方程？常微分方程的分类 1.2什么是常微分方程解？什么是特解？什么是通解？ 1.3常微分方程建模：初始值问题和边界值问题 1.4关于常微分方程和解的几何看法：向量场、积分曲线 重点与难点：常微分方程和解的几何观点，方向场和积分曲线的作图 第二章一阶常微分方程的初等解法（6学时） 主要内容： 2.1 变量分离法 2.2 一阶线性常微分方程 2.3 全微分方程（或恰当方程）和积分因子 2.4 替代法和某些可解的常微分方程 重点与难点：全微分方程和积分因子，变换的技巧 第三章基本理论（8学时） 主要内容：
For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是 （ ） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线 性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。 对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可 得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修 一、课程介绍 1.课程描述： 常微分方程是数学学科的一门基础理论课程,是一门专业必修课，是数学分析，高等代数和解析几何的综合应用和发展。通过学习不仅可加强先修课程中已学过的概念和方法，且为后续课程的学习准备解决问题的方法和工具。常微分方程与微积分同时诞生，以解决天文学、力学等实际问题而闻名于世，是研究事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最基本的数学理论和方法。现实生活中许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如物体运动、生物群体竞争、疾病的传播等。对这些规律的描述、认识和分析，往往可以归结为用常微分方程描述的数学模型的分析和研究。由此可知，它是数学理论联系实际的重要渠道之一，它有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一种强有力的工具。 2.设计思路： 本课程适用于数学与应用数学专业、信息与计算科学专业二年级本科生。本课程主要包括六个部分内容：初等积分法；基本定理；一阶线性微分方程组；n 阶线性微分方程；定性理论与稳定性理论简介；一阶偏微分方程初步。 - 1 -
初等积分法主要讲解几类能用初等（积分）解法求解的方程类型及其求解方法。要求学生掌握各种类型的解法，具有判断一个给定方程的类型和正确求解的能力。重点是求解方法，难点是识别方程的类型以及熟练掌握求解方法。 基本定理包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解对初值的连续依赖性定理和解的可微性定理，构成了常微分方程主要理论部分。解的存在唯一性定理表明，若右端函数满足连续和利布希兹条件，则保证方程的解存在性与唯一性。它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的方程不多，所以该定理给出的求近似解法就具有重要的实际意义。解的延拓定理及解对初值的连续依赖性与可微性定理揭示了微分方程的重要性质。要求学生必需理解本章定理的条件和结论，掌握证明方法，能运用定理证明有关问题。重点是证明的思路和方法，特别是逐次逼近法，难点是贯穿定理证过程的利布希兹条件运用和证明过程中不等式技巧的把握； 一阶线性微分方程组主要讲线性微分方程组的理论。线性微分方程组理论是微分方程理论中的重要部分，无论从实用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是非常重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其它有关课程必不可少的基本知识，基本要求：（1）理解线性微分方程组解的存在与唯一性定理，熟练掌握逐步逼近法；（2）掌握线性微分方程组的一般理论，把握解空间的代数结构；（3）基解矩阵求法。一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是难以通过积分求得，但当系数矩阵是常系数矩阵时，可以通过代数方法（Jordan标准型、矩阵指数）求出基解矩阵。重点掌握一阶线性微分方程组的解空间结构和常系数线性微分方程组的解法，难点是证明一阶齐次常微分方程组的解空间是n 维线性空间和一阶常系数齐次或非齐次微分方程组的求解。 - 1 -
山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
第五章 常微分方程 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及理论. 一、 微分方程的基本概念 本节主要内容 1．微分方程的概念 2．微分方程解的概念 讲解提纲： 1 微分方程的概念 一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 例1 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程 )20(--=T k dt dT (1.1) 其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意，)(t T T =还需满足条件 .100|0==t T (1.2) 例 2 设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分 方程
微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次
?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日
摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例
ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application