河北省沧州市献县宏志中学2021-2022高一数学5月月考试题
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( )
(A)①是棱柱(B)②不是棱锥
(C)③不是棱锥(D)④是棱台
2.下列说法中,正确的个数为( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等;③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行;④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.棱锥的侧面和底面可以都是( )
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形
4.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是( )
(A) (B) (C) (D)1
5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
(A)2π(B)π(C)2 (D)1
6.已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱,侧棱长为5,菱形的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( )
(A)30(B)60
(C)30+135 (D)135
7.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及线段AD中,最长的线段是( )
(A)AB (B)AD
(C)BC (D)AC
8.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等,那么它们的体积比是( A )
(A)(B) (C)(D)
9.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )
(A)(B)4π(C)2π(D)
10.《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为( )
(A)36π(B)π(C)288π(D)π
11.如图,如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是( )
(A)πr2(a+b) (B)πr2(a+b) (C)πr2(a+b) (D)2r2(a+b)
12.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
(A)(B) (C)(D)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为2,则此四棱锥体积为.
14.球内切于圆柱,则此圆柱的表面积与球表面积之比是.
15.如图,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分,这两部分的体积之比为.
16.已知P,A,B,C是球O的球面上的四个点,PA⊥平面ABC,PA=2BC=6,∠BAC=60°,则该球的表面积为.
三、解答题(共70分)
17.(本小题满分10分)
11.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)
18.(本小题满分12分)
如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面A B C D的距离均为3,求该多面体的体积.
19.(本小题满分12分)
如图所示,在多面体F E-A B C D中,已知A B C D是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积V.
20.(本小题满分12分)
一个高为16的圆锥外接于一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥里内切球的体积.
21.(本小题满分12分)
如图所示,圆台母线AB长为20 cm,上、下底面半径分别为5 cm和10 cm,从母线AB的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.
22.(本小题满分12分)
已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4.
(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面面积;
(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求VⅠ∶VⅡ(体积之比).
数学答案
答案BBAAA ADADC BC
1.解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B 错误.故选B.
2.解析:③④正确.
3.解析:三棱锥的侧面和底面均是三角形.故选A.
4.解析:根据三种视图的对角线位置关系,容易判断A是正确结论.
5.解析:所得旋转体是底面半径为1,高为1的圆柱,其侧面积S侧=2πRh= 2π×1×1=2π.
6.解析:由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为= ,则这个棱柱
的侧面积为4××5=30.
7.解析:△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC中,AB⊥BC,AC为斜边,AD为三角形内部的一条线段,AC的长度最长,即最长的线段是AC;故选D.
8.解析:设正方体的边长为a,球的半径为R,则6a2=4πR2.则=,则=·()3=.
故选A.
9.解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=×13=.故选D.
10.解析:该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积V=π×32×2+π×22×4=34π(cm3),原毛坯的体积V毛坯=π×32×6=54π(cm3),被切部分的体积V切=V毛坯-V=54π-34π=20π(cm3),
所以==.
11.解析:将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a+b的圆柱,故圆柱被截后剩下部分的体积为πr2(a+b).
12.解析:如图所示,根据圆柱与圆锥和球的对称性知,
其外接球的直径是2R=3h,
设圆柱的底面圆半径为r,母线长为l=h,则πr2=32π,解得r=4,
又l2+(2r)2=(3h)2,
所以h2+(8)2=9h2,解得h=4,
所以外接球的半径为R=×4=6,
所以外接球的体积为V===288π.
故选C.
13.解:因为棱锥的棱长都为2,
所以四棱锥PABCD为正四棱锥,则AO=,
在Rt△POA中,可得PO=,
所以棱锥PABCD体积=×2×2×=. 答案:
14.解析:设球的半径为R,
则圆柱的底面半径为R,高为2R,
所以S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S球=4πR2. 所以此圆柱的表面积与球表面积之比是
==.
15.解析:设三棱台的上底面面积为S0,则下底面面积为4S0,高为h,则
=(S 0+4S0+2S0)h=S0h,=S0h.设剩余的几何体的体积为V,则V=S0h-S0h=S0h,体积之比为3∶4或4∶3.
答案:3∶4(或4∶3)
16.解析:由题意画出几何体的图形如图,
把P,A,B,C扩展为三棱柱,
上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径,
由PA=2BC=6,∠BAC=60°,
所以AE=×=××3=,
所以R=AO===2;
所以外接球的表面积为
S=4πR2=4π·(2)2=48π.
答案:48π
17.解:如图所示,过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
所以AC=R,BC=R,CO1=R,
所以S球=4πR2,
=π×R×R=πR2,
=π×R×R=πR2,
所以S 几何体表=S球++=πR2+πR2=πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.
18.解:如图,连接EB,EC.四棱锥E-ABCD的体积
=×42×3=16.
因为AB=2EF,EF∥AB,
所以S△EAB=2S△BEF.
所以====×=4.
所以多面体的体积V=+=16+4=20.
19.解:如图所示,分别过A,B作EF的垂线AG,BH,垂足分别为G,H.连接DG,CH,
容易求得EG=HF=.
所以AG=GD=BH=HC=,
S△AGD=S△BHC=××1=,
V=++
=(××)×2+×1
=.
. 20.解:(1)如图所示,作出轴截面,则等腰△SAB内接于☉O,而☉O1内切于△SAB.
设☉O的半径为R,则有πR3=972π,
所以R3=729,R=9.
所以SE=2R=18.
因为SD=16,
所以ED=2.
连接AE,又因为SE是直径,
所以SA⊥AE,
SA2=SD·SE=16×18=288,
所以SA=12.
因为AB⊥SD,
所以AD2=SD·DE=16×2=32,
所以AD=4.
所以S圆锥侧=π×4×12=96π.
(2)设内切球O1的半径为r,
因为△SAB的周长为2×(12+4)=32,
所以r×32=×8×16.
所以r=4
所以内切球O1的体积V球=πr3=π.
21.解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥.
连接MB′,P,Q分别为圆台的上、下底面的圆心.
在圆台的轴截面中,
因为Rt△OPA∽Rt△OQB,
所以=,
所以=.
所以OA=20(cm).
设∠BOB′=α,
由扇形的长与底面圆Q的周长相等,
得2×10×π=2×OB×π×,
即20π=2×(20+20)π×,
所以α=90°.
所以在Rt△B′OM中,
B′M===50(cm),
即所求绳长的最小值为50 cm.
22.解:(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4π和4,则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.
(2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去,
所以∠AOB=90°,
因为OA=OB=2,
所以AB=2,
而截面ABCD是矩形且AD=4, 所以S截面ABCD=8.
(3)依题知V圆柱=Sh=16π,
三棱柱AOBDO1C的体积是8, 则VⅠ+8=V圆柱=4π,
所以VⅠ=4π-8,
而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8,
于是VⅠ:VⅡ=.