复习题与答案
复习题一
复习题一答案
复习题四
0099
.
101
10203≈,则两个根为=
1
x,
=
2
x .(要有计算过程和结果)
2、
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
-
=
4
1
1
4
1
1
4
A
,则A的LU分解为
A
????
????
????
=
????
????
????。
3、
??????=5321A ,则=)(A ρ ,=∞A . 4、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用抛物线(辛卜生)公式计算求
得?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f .
5、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数
为 ,拉格朗日插值多项式为二、单项选择题:
1、 Jacobi 迭代法解方程组x =A A .A C. n i a ii ,,2,1,0Λ=≠
2、设753)(99-+-=x x x f ,均差 A.3 B. -3 C. 5 D.0
3、设
??
???
?????--=700150322A ,则)(A ρ为( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 3 4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布( )。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关 三、计算题:
1、用高斯-塞德尔方法解方程组
???
??=++=++=++22
52182411
24321
321321x x x x x x x x x ,取T
)0,0,0()0(=x ,迭
代四次(要求按五位有效数字计算).
2、求A 、B 使求积公式
?-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数
精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求?
=2
1
1dx
x I (保留四位小数)。
3、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ,并求)2(f
4、取步长=h
5、已知
求)(x f
0,1)内只有一个根,并用迭代法
00980345.0)10406102(22≈+=x
??
??? 4 5、-1, )
2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L
二、A B C B C 5,4,3,2,1 三、1、迭代格式
???
???
???--=--=--=++++++)222(51)
218(41)211(4
1)
1(2)1(1)1(3
)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x
2、求积公式为
1- =52,右=31。
]
3
211++
差商表为
)
4)(3)(1(41
)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f
4、解:
?????+++?+=+?+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y
即 04.078.152.01++=+n n n y x y
5
14112=
a
103=
一、填空题:
1、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( )位有效数字;
2、*x 的相对误差的( )倍;
3、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );
4、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( ),=]4,3,2,1,0[f ( );
5、计算方法主要研究( )误差和( )误差;
6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为
( );
7、求解一阶常微分方程初值问题y'=f (x,y),y(x0)=y0的改进的欧拉公式为
( );
8、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为
( );
9、两点式高斯型求积公式?1
d)
(x
x
f
≈( ),代数精度为( );
10、解线性方程组A x=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。
二、单项选择题:
1、求解线性方程组A x=b的LL T分解法中,A须满足的条件是( )。
A. 对称阵
B. 正定矩阵
C. 任意阵
D. 各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是( )产生的误差。
A.A.只取有限位数
B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量
D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。
A. 按模最大
B. 按模最小
C. 所有的
D. 任意一个
5、用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
A. 模型
B. 观测
C. 截断
D. 舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。
A.控制舍入误差
B. 减小方法误差
C.防止计算时溢出
D. 简化计算
7、解线性方程组A x=b的迭代格式x(k+1)=M x(k)+f收敛的充要条件是( )。
A.
1
<
M B. 1
)
(<
A
ρ C. 1
)
(<
M
ρ D. 1
)
(<
M
ρ
三、计算题:
1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字?
2、已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表
如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。
3、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?,讨论
其收敛性,并将根求出来,4
110||-+<-n n x x 。
4﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ?
??
??=++=++=++20531825214
32321321321x x x x x x x x x 。 5﹑对方程组 ???
??=-+=--=++8
41025410151023321321321x x x x x x x x x
(1) 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式,说明理由;
(2) 取初值T )0,0,0()0(=x ,利用(1)中建立的迭代公式求解,要求
3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。
6﹑用复合梯形求积公式计算x
x
d e 10
?,则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证
所得积分的近似值有5位有效数字?
复习题(二)参考答案
一、1、2; 2、31倍; 3、
)(1)(1n n n
n n x f x f x x x '---=+; 4、0]4,3,2,1,0[,1]3,2,1,0[==f f ; 5、截断,舍入;
6、1
2+-n a b ; 7、)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h
y y ;
8、 0.15; 9、
?++-≈1
0)]321
3()3213([21d )(f f x x f ; 10、A 的各阶顺序主子式均不为零。
二、1、B 2、A 3、B 4、A 、 5、C 6、A 7、D 三、1、解:设20有n 位有效数字,由
Λ4.420=,知41=a
令
%1.01081
1021)20()1()1(1*=?≤
----n n r a ε,
取 4=n ,
%1.010125.0)20(3*≤-r ε 故 472.420≈ 1、1、解: 应选三个节点,使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小,即应使|)(|3x ω尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好,实际计算结果
596274.0
≈,
)7.063891.0)(6.09---
3010)1(,0>+=e f .
0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将)e 2(10x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
?,
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ?
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。取5.00=x ,计算结果列表如下:
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
4、解:
??
????????--??????????-==244132
11531
21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ,y x =U 得T
)3,2,1(=x .
5、解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
???
??=++=-+=--15
1023841025410321321321x x x x x x x x x
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
+-+++++)152)84)54)1(2))
(3))
(3)(2k k k k x x x x
T )010000.1,326950999.0.
6e )≤,且x x d e 1
0?有一位整数. 要求近似值有5位有效数字,只须误差
4)
(11021
)(-?≤
f R n .
由
)(12)()(
2
3
)
(1ξf n a b f R n ''-≤,只要
4
22)
(1102112e 12e )
e (-?≤≤≤n n R x n ξ
即可,解得
???=?≥
30877.67106e
2n
所以 68=n ,因此至少需将 [0,1] 68等份。
复习题(三)
一、填空题:
1、为了使计算
32)1(6)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将
该表达式改写为 ,为了减少舍入误差,应将表达式
19992001-改写为 。
2、用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所
在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 .
3、设
??????-=1223A ,??????-=32x ,则_________||||=∞A ,_________||||2=A , ________||||1=x ,___________||||1=x A . 4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,
,梯形公式的代数精度为 ,辛卜 5的高斯—塞德尔迭代格式为 ,该迭代格
1 2、用列主元素消元法求解方程组 ??????????--=???????????????????
?--11124112345111321x x x .
3、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项
式)(2x P ,并估计误差。
4、用幂法求矩阵
???
???=9.033399A 按模最大的特征值及相应的特征向量,取T )1,1(0=x ,精确至7位有效数字。 5、用欧拉方法求
?-=x
t t
x y 0d e )(2
在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。
6、给定方程
01e )1()(=--=x
x x f 1) 分析该方程存在几个根;
2) 用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。
复习题(三)参考答案
,199920012+; 5,7||||1=x A ; 5
设所求一次拟合多项式为x a a y 10+=,则
??????=????????????61454.96657.523177.1047.547.53
10a a
解得 7534.1,355.1410==a a , 因而所求的一次拟合多项式为
x y 7534.1355.14+=.
2、解:
????????→???????????
?----2151111212345411121r r ?????????????
???
?????------???→?-579515
130585251
0123455
2
51
321312r r r r r r
???
???--+123451
23r r 3)15.0)(05.0()
1)(0(----x x )5.0(2)1(15.0-+--x x e x x
又
1
|)(|max ,)(,)(]
1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x
故截断误差
|)1)(5.0(|!31
|)(||)(|22--≤
-=-x x x x P e x R x 。
4、解:幂法公式为 ???
??===-k k k k k k k m m A /)max(1
y x y x y ,
?
??
???=9.033399A
取x 0=(1,1)T ,列表如下:
因为
534102||-?≤
-m m ,所以
T v )33300033.0,1(,99900098.9911≈≈λ
5、解:
?-=x t t
x y 0
d e )(2
等价于
?????=='-0)0(e 2
y y x (0>x )
记2
e ),(x
y x f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x .
则由欧拉公式
??
?=+=+0)
,(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n
可得 88940.0)0.1(,
5.0)5.0(21≈==≈y y y y ,
12604.1)0.2(,
07334.1)5.1(43≈==≈y y y y
6、解:1)将方程
01e )1(=--x x (1) 改写为
x
x -=-e 1 (2)
作函数1)(1-=x x f ,x
x f -=e )(2的图形(略)知(2)有唯一根)2,1(*∈x 。
2) 将方程(2)改写为 x
x -+=e 1
构造迭代格式 ??
?=+=-+5.1e 101x x k
x k ),2,1,0
(Λ=k
计算结果列表如下:
3) x x -+=e 1)(?,x
x --='e )(?
当]2,1[∈x 时,]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ,且
1e |)(|1<≤'-x ?
所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。
复习题(四)
一、填空题:
1、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则)(1x l 值多项式为 。
2、
722
,
141.3,142.3分别作为π 3、求积公式?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
( )次代数精度。;
45?5
1d )(x
x f ≈( )。
6≈')1(f ( )。
1( )误差。
截断
2位有效数字。 3 任意一个
4、( )是解方程组A x =b 的迭代格式x (k +1)=M x (k )+f 收敛的一个充分条件;
A. M <1
B. )(A ρ<1
C. A <1
D. )(M ρ<1
5、用s *=21
g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 ),
s t 是在时间t 内的实际距离,则s t - s *是( )误差。
A. 舍入
B. 观测
C. 模型
D. 截断
6、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( );
A. –0.5
B. 0.5
C. 2
D. -2
7、三点的高斯型求积公式的代数精度为( )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
8、求解线性方程组A x =b 的LL T 分解法中,A 须满足的条件是( )。
A. A. 对称阵
B. 各阶顺序主子式均大于零
C. 任意阵
D. 各阶顺序主子式均不为零
三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打√,否则打?)
1、1、已知观察值)210()(m i y x i i ,,,,
,Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时,)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )
2、2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )
3、3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ) 4、任给实数a 及向量x ,则||||||||x x a a =。 ( )
5、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插
值的结果。 ( )
6
4
10-。 ( )
7 ( ) 8 ( )
9 ( ) ( )
四、计算题:(每小题7分,共42分)
2、1、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次,保留五位小数。
2、已知 A =?
???? ?
?-010110004,求1A ,∞A ,2||||A 。 4、4、已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1.5)的近似值,取五位小数。
4、n =3,用复合梯形公式求x
x
d e 10?的近似值(取四位小数),并求误差估计。
5、用幂法求矩阵A =?
???? ?
?---210121004按模最大特征值及相应特征向量,列表 计算三次,取x 0=(1,1,1)T ,保留两位小数。
6、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 ????? ?
?--411131103????? ??321x x x =?
???? ??--815, 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次,保留三位小数。
7、用预估—校正法求解??
?=+='1)0(y y x y (0≤x ≤1),h =0.2,取两位小数。
复习题(四)参考答案
一、1、)2()(1--=x x x l ,)1(716)(2-+=x x x x N ; 2、 4 ,3 ,3; 3、高斯型,12+n ; 4、减少舍入误差; 5、12; 6、5.2 二、1D , 2C , 3B , 4A , 5C , 6A , 7C , 8B
三、1、?,2、?,3、√ 4、?,5、√,6、?,7、?,8、?,9、?,10、?
???
?????=????????-????????-=110120010110010110A A T ,
)13)(16(11
1200
016||2=+--=---=
-λλλλ
λλλE A A T
得
16,253±=
λ,所以 4||||2=A 。
3、解:
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?
--+-+?+------?
=x x x x x x x L
)1)(1(34
)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=
x x x x x x
04167
.0241
)5.1()5.1(2≈=≈L f
4、解:7342.1]e )e e (2e [3201d e 132310310≈+++?-=≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=,10≤≤x 时,e |)(|≤''x f
取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算如下:
7
???
??
????
++==++=+),(),()(2
1121211
k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n Λ,2,1,0=n
y x y x f +=),(10=y 4,3,2,1,0=n
1、 23、( ),插值基函数l 1(x )=( ),二次插值多项式P 2(x )=( )。 4、已知f (1)=1,f (3)=2,f (5)=4,用复合梯形求积公式求得?5
1d )(x
x f ≈
( )。
5、 (x i ,y i ) i =1,2, …,15的线性拟合曲线bx a y +=的正规方程组为( )。
6、 幂法的迭代公式为( )。
7、 已知f (1)=1,f (3)=2,则≈')1(f ( )。 二、单项选择题:(5分)
1. 截断误差是 ( ) 产生的误差。
A. A. 只取有限位数
B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值
C. 观察与测量
D. 数学模型准确值与实际值 2. 用x 近似表示sin x 所产生的误差是( )误差。 A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入
3. 解线性方程组A x =b 的迭代格式x (k +1)=M x (k )+f 收敛的充要条件是( )。 A. )(M ρ<1 B. )(A ρ<1 C. ||||A <1 D. ||||M <1
4. 设||||x 为n 维向量x 的范数,则( )。
A. ‖x ‖<1
B. ‖x ‖>1
C. ‖x ‖>0
D. ‖x ‖≥0
5. 幂法是求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A. 按模最小 B. 所有 C. 按模最大 D. 任意一个 三、计算题:(50分)
1. 证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。
2. 设f (1)=2,f (3)=4,f (4)=6,用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x ),并求f (2)的近似值。
3. 用预估—校正公式求初值问题y '=2x -3y ,y (0)=1 (0≤x ≤1)在区间[0,1]上的数值解,步长h =0.2(保留3位小数)。
4. 用LU 分解方法求方程组 201131114????-??-???
?123x x x ??????????=363??????????的解。 5. 用简单(Jacobi)迭代法解上题,取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算四次,保留三位小数(要求判断迭代收敛)。
6. 求一次数≤ 3的多项式)(x p ,使得1)1()0(==p p ,2)1()0(='='p p .
7. 求线性方程组 ???
??=-=+=-01
.02220
212121x x x x x x 的最小二乘解。
枯藤老树昏鸦,小桥流水人家,古道西风瘦马。夕阳西下,断肠人在天涯。
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。
2002-2003 第一学期 一.计算及推导( 5*8) 1.已知 x* 3.141, x ,试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2.有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ,试确定 x x 的相对误差限。 3.已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ,试计算差商 f 0,1,2,3 4.给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5.推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6.试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7.已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根,试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8.用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二.给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值,试选择合适的插值节点进行计 算,并说明所选用节点依据。 (保留 5 位有效数字)(12 分) 三. 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 ( 1)给出求该实根的一个迭代公式,试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛,并证明其收敛性。 ( 2) x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ,要求 x n x n 1 10 3 。 四. 设有方程组
计算方法考试题(一) 满分70分 一、选择题:(共3道小题,第1小题4分,第2、3小题3分,共10分) 1、将A 分解为U L D A --=,其中),,(2211nn a a a diag D =,若对角阵D 非奇异(即),1,0n i a ii =≠,则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=(1) 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= (2) 则方程组(1)的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k (3) 则(2)、(3)称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=,若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k (其中p 为一正数)称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛; (B)、1阶收敛; (C)、矩阵的算子范数; (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题:(共2道小题,每个空格2分,共10分) 1、设0)0(f =,16)1(f =,46)2(f =,则一阶差商 ,二阶差商=]1,2,0[f ,)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根,进行第一步后根所在的区间为 ,进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题:(共7道小题,第1小题8分,其余每小题7分,共50分) 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值,并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -,使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- (1) 具有尽可能高的代数精度,并指出所得求积公式的代数精度。
计算题 1.已知某地铁线路车辆定员每节240人,列车为6节编组,高峰小时满载率为120%,且单向最大断面旅客数量为29376人,试求该小时内单向应开行的列车数。 2、已知某地铁线路采用三显示带防护区段的固定闭塞列车运行控制方式,假设各闭塞分区长度相等,均为1000米,已知列车长 度为420米,列车制动距离为100米,列车运行速度为70km/h,制动减速度为2米/秒2,列车启动加速度为1.8米/秒2,列车最大停站时间为40秒。试求该线路的通过能力是多少? 若该线路改成四显示自动闭塞,每个闭塞分区长度为600米,则此时线路的通过能力是多少? 3.已知某地铁线路采用移动闭塞列车运行控制方式,已知列车长度为420米,车站闭塞分区为750米,安全防护距离为 200米,列车进站规定速度为60km/h,制动空驶时间为1.6秒,制动减速度为2米/秒2,列车启动加速度为1.8米/秒2,列车最大停站时间为40秒。试求该线路的通过能力是多少? 4.已知某地铁线路为双线线路,列车采用非自动闭塞的连发方式运行,已知列车在各区间的运行时分和停站时分如下表,线路的连发间隔时间为12秒。试求该线路的通过能力是多少?
5.已知地铁列车在某车站采用站后折返,相关时间如下:前一列车离去时间1.5分钟,办理进路作业时间0.5分钟,确认信号时间0.5分钟,列车出折返线时间1.5分钟,停站时间1分钟。试计算该折返站通过能力。 6.已知某终点折返站采用站前交替折返,已知列车直到时间 为40秒,列车侧到时间为1分10秒,列车直发时间为40秒,列车侧发时间为1分20秒,列车反应时间为10秒, 办理接车进路的时间为15秒,办理发车进路的时间为15秒。试分别计算考虑发车时间均衡时和不考虑发车时间均衡时,该折返站的折返能力是多少? 7.已知线路上有大小交路两种列车,小交路列车在某中间折返 站采用站前折返(直到侧发),已知小交路列车侧发时间为1分20秒,办理接车进路的时间为15秒,办理发车进路的时间为15秒,列车反应时间为10秒,列车直到时间为25 秒,列车停站时间为40秒;长交路列车进站时间为25秒。试分别计算该中间折返站的最小折返能力和最大折返能力分别是多少? 8.已知线路上有大小交路两种列车,小交路列车在某中间折返站采用站后折返,已知小交路列车的相关时分为:列车驶出车站 闭塞分区时间为1分15秒,办理出折返线调车进路的时间 为20秒,列车从折返线至车站出发正线时间为40秒,列车反应时间为10秒,列车停站时间为40秒。
《计算方法》期末考试试题 一 选 择(每题3分,合计42分) 1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈(三位有效数字),则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤,减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?,迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
车站通过能力 车站通过能力是在车站现有设备条件下,采用合理的技术作业过程,一昼夜能接发和方向的货物(旅客)列车数和运行图规定的旅客(货物)列车数。 车站通过能力包括咽喉通过能力和到发线通过能力。 咽喉通过能力是指车站某咽喉区各衔接方向接、发车进路咽喉道岔组通过能力之和,咽喉道岔通过能力是指在合理固定到发线使用方案及作业进路条件下,某衔接方向接、发车进路上最繁忙的道岔组一昼夜能够接、发该方向的货物(旅客)列车数和运行图规定的旅客(货物)列车数。 到发线通过能力是指到达场、出发场、通过场或到发场内办理列车到发作业的线路,采用合理的技术作业过程和线路固定使用方案,一昼夜能够接、发各衔接方向的货物(旅客)列车数和运行图规定的旅客(货物)列车数。 车站咽喉通过能力计算 咽喉占用时间标准 表咽喉道岔占用时间表 顺序作业名称时间标准 (min) 顺序作业名称 时间标准 (min) 1 货物列车接车占用6~8 4 旅客列车出发占用4~6 2 旅客列车接车占用5~7 5 单机占用2~4 3 货物列车出发占用5~7 6 调车作业占用4~6 道岔组占用时间计算 表到发线固定使用方案 线路编号固定用途 一昼夜 接发列车数 线路 编号 固定用途 一昼夜 接发列车数 1 接甲到乙、丙旅客列车8 7 接乙到甲直通、区段货物列车9 4 接乙到甲旅客列车 5 8 接甲、乙到丙直通、区段货物列车10 接丙到甲旅客列车 3 9 接丙到甲、乙直通、区段货物列车10 5 接甲到乙直通、区段货物列车11 10 接发甲、乙、丙摘挂货物列车10 表甲端咽喉区占用时间计算表 编号作业进路名称 占用 次数 每次 占用时间 总占用 时间 咽喉区道岔组占用时间 1 3 5 7 9 固定作业 1 1道接甲-乙,丙旅客列车8 7 56 56 2 4道发乙-甲旅客列车 5 6 30 30 30 3 4道发丙-甲旅客列车 3 6 18 30 30 5 往机务段送车 3 6 18 18 6 从机务段取车 2 6 12 12
计算方法模拟试题 一、 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.近似值210450.0?的误差限为( )。 A . 0.5 B. 0.05 C . 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ,使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ,则=∞A ( )。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ,则乘幂法计算公式1e =( )。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 14159.3=π,具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ,则=-?)(21x x 。 3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。 4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。