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2014年高考文科数学真题解析分类汇编:G单元 立体几何(纯word可编辑)

数 学

G 单元 立体几何

G1 空间几何体的结构

19.、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示,四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .

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图1-5

(1)证明:GH ∥EF ;

(2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.

19.解: (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ?平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .

同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .

(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .

因为P A =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在平面ABCD 内,所以PO ⊥平面ABCD .

又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ,

且PO ?平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH .

因为平面PBD ∩平面GEFH =GK ,

所以PO ∥GK ,所以GK ⊥平面ABCD .

又EF ?平面ABCD ,所以GK ⊥EF ,

所以GK 是梯形GEFH 的高.

由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4,

从而KB =14DB =12

OB ,即K 是OB 的中点. 再由PO ∥GK 得GK =12

PO , 所以G 是PB 的中点,且GH =12

BC =4. 由已知可得OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,

所以GK =3,故四边形GEFH 的面积S =GH +EF 2·GK =4+82

×3=18. 3.[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )

A .2π

B .π

C .2

D .1

3.A [解析] 由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r =1,高h =1,

则该圆柱的侧面积S =2πrh =2π,故选A.

10.[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的

近似公式V ≈136

L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275

L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258

C.15750

D.355113

10.B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ,底面积为S ,则L =2πr .由题意得136L 2h ≈13

Sh ,代入S =πr 2化简得π≈3.类比推理,若V ≈275L 2h 时,π≈258

.故选B. 7.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )

A .3 B.32 C .1 D.32

7.C [解析] 因为D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC ,故AD ⊥平面BCC 1B 1,且AD =3,

所以V 三棱锥A - B 1DC 1=13S △B 1DC 1×AD =13×12B 1C 1×BB 1×AD =13×12

×2×3×3=1. 20.、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥

底面ABCD ,AB =2,∠BAD =π3

,M 为BC 上一点, 且BM =12

. (1)证明:BC ⊥平面POM ;

(2)若MP ⊥AP ,求四棱锥

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图20.解:(1)证明:如图所示,因为四边形ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,连接OB ,

则AO ⊥OB .因为∠BAD =π3,所以OB =AB ·sin ∠OAB =2sin π6

=1. 又因为BM =12,且∠OBM =π3

,在△OBM 中,OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠OBM =12+????122-2×1×12×cos π3=34

,所以OB 2=OM 2+BM 2,故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ,所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM .

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(2)由(1)可得,OA =AB ·cos ∠OAB =2×cos 6= 3.

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