现代控制理论-2010-9-19

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第二章 控制系统的状态空间描述
2.1 基本概念 2.2 状态空间表达式的建立 2.3 传递函数(矩阵)
2.4 组合系统
2.5 (非奇异)线性变换 2.6 离散时间系统状态空间表达式
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控制系统的状态空间描述
系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能
是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对
象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图所示。图 中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环 境的作用为系统输出，二者分别用向量 u = [u1, u2, …, up]T 和 y = [y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的 变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
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① 在20世纪50年代形成
贝尔曼－动态规划法
庞特里亚金－极大值原理
卡尔曼滤波-能控能观概念 ② 上世纪60年代末至80年代迅速发展。 非线性系统 大系统 智能系统 －神经网络、模糊系统
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(2) 以MIMO线性、非线性、时变与非时变系 统为主要研究对象。 (3) 以线性代数和微分方程为工具，以状态
输出方程：表征系统内部变量x = [x1, x2, „, xn]T 及输入变量 u = [u1, u2, „, up]T和输出变量y=[y1, y2, „, yq]T 间转换关系的数学表达式，具 有代数方程的形式。
外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部 结构特性，是对系统的一种不完全描述。内部描述则是对系 统的一种完全描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。
可写为：
线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只 要有一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的系数是时间的函数，则系统是时变的。
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2.1 基本概念
2.1.1 定义 (1)状态： 系统过去、现在和将来的状况 (2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的 最小一组变量：
a. x t t t x(t0 )
空间法为基础。
1.1.3 上世纪80年代以来出现了新的控制思想
和控制理论
(1) 多变量频率域控制理论。
(2) 模糊控制理论。
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1.2 现代控制理论的主要内容
⑴ 线性系统理论 ⑵ 最优滤波理论 ⑶ 系统辨识
⑷ 最优控制
⑸ 自适应控制
⑹ 非线性系统理论
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或
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) xn (t )
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T
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X3
2.1.2、状态空间描述
X0 X(t)
X2
X1
u1
u2 u3
x1
x2
y1
系统
x3
xn
量测元件
y2 y3
ur
ym
控制变量 状态变量 输出变量
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u1 , u 2 ,, u r
x1 , x2 ,, xn y1 , y2 ,, ym
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2．系统描述中常用的基本概念
无论是系统的外部描述还是内部描述，下列的一些概念 是常用的，现给出其定义。
输入和输出：由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部
量测到的来自系统的信息称为输出。
松弛性：若系统的输出 y[t0, ) 由输入 u[t0, ) 惟一确定，则称系统 在 t0 时刻是松弛的。
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2）另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述 是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学 方程组成。
状态方程：反映系统内部变量 x = [x1, x2, „, xn]T 和输入变量 u = [u1, u2, „, up]T 间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方 程的形式。
(4)
状态空间：以 n 个状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程
空间。
(5)
组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
第七章 最 优 控 制
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
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第一章 绪 论
1.1 控制理论的发展历程简介 1.2 现代控制理论的主要内容
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1.1 控制理论的发展历程简介
1.1.1 经典控制理论 ⑴ 形成和发展
① 在20世纪30-40年代，初步形成。
张嗣瀛、高立群编著，现代控制理论，清华大学出版 社 胡寿松，自动控制理论（第四/五版），科学出版社
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第一章 绪 论 第二章 控制系统的状态空间描述 第三章 状态方程的解
第四章 线性系统的能控性与能观性
第五章 李亚普诺夫稳定性分析 第六章 状态反馈和状态观测器
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对于一个松弛系统，其输入输出描述为： y=Hu 式中 H 为某一算子，例如传递函数就是一种算子。 因果性：若系统在 t 时刻的输出仅取决于在 t 时刻和 t 之前 的输入，而与 t 时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或 因果关系。
本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因果系统。
i 1, 2,, n
j 1, 2,, m
引入向量、向量函数及矩阵
x1 (t ) x (t ) x(t ) 2 xn (t )
状态向量
u1 (t ) u (t ) u (t ) 2 ur (t )
从能量的观点看，系统在 t0 时刻是松弛的意味着系统在 t0 时刻不存贮能量。例如一个 RLC 网络，若所有电容两端的 电压和流过电感的电流在 t0 时刻均为零 (即初始条件为零)， 则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出 不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
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通常并不要求必须是可测量的
可以直接测量的，又称为量测变量
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系统的动力学特性一般可用一组一阶微分方程来描述
动态特性 输出特性
xi (t ) fi ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,ur ; t )
y j (t ) g j ( x1 , x2 ,, xn ; u1 , u2 ,ur ; t )
0
表示系统 t 0 时刻的状态 b. 当 t t0 时的输入 u t 给定，且上述初始 状态确定时，状态变量能完全确定系统 在 t t 0 时的行为
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(3) 状态向量：把描述系统状态的n个状态变量 x1(t), x2(t),„, xn(t) 看
作向量 x(t) 的分量，即： x(t)=[x1(t), x2(t), „, xn(t)]T 则向量 x(t)称 n 维状态向量。给定 t=t0时的初始状态向量 x(t0) 及 t≥t0 的 输入向量 u(t)，则 t≥t0 的状态由状态向量 x(t)惟一确定。
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(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关 系的数学表达式： y(t ) Cx(t ) Du(t ) (7)状态空间表达式： (5)+ (6).
状态变量的特点：
(1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷 多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换. (4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.
⑴ 现代控制理论的形成和发展
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经典线性系统理论对于单输入单输出线性定常系统的 分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输 入输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也 难以有效处理多输入多输出系统。 在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后 开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个 重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理 论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的 基础上发展起来的。
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系统的数学描述通常有两种基本类型：
1）一种是系统的外部描述，即输入输出描述。 这种描述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即 输入输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量。如第 一章至第六章所研究的单输入单输出线性定常连续系统，其外部数学描 述就是一个n阶微分表示方程及对应的传递函数。
② 在20世纪40年代形成体系。
频率理论
根轨迹法
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⑵ 以SISO线性定常系统为研究对象。
⑶ 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在
频率域中分析与设计。
⑷ 经典控制理论的局限性
① 难以有效地应用于时变系统、多变量系统