一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M 沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.
【答案】(1)P点坐标为(x,3﹣x).
(2)S的最大值为,此时x=2.
(3)x=,或x=,或x=.
【解析】
试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求;
②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标.
(2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式.
(3)本题要分类讨论:
①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值;
②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值.
③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN 的长,联立CN的表达式即可求出x的值.
试题解析:(1)过点P作PQ⊥BC于点Q,
有题意可得:PQ∥AB,
∴△CQP∽△CBA,
∴
∴
解得:QP=x,
∴PM=3﹣x,
由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4﹣x,3),P点坐标为(x,3﹣x).
(2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4﹣x,NC边上的高为,其中,0≤x≤4.
∴S=(4﹣x)×x=(﹣x2+4x)
=﹣(x﹣2)2+.
∴S的最大值为,此时x=2.
(3)延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC.
①若NP=CP,
∵PQ⊥BC,
∴NQ=CQ=x.
∴3x=4,
∴x=.
②若CP=CN,则CN=4﹣x,PQ=x,CP=x,4﹣x=x,∴x=;
③若CN=NP,则CN=4﹣x.
∵PQ=x,NQ=4﹣2x,
∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2,
∴(4﹣x)2=(4﹣2x)2+(x)2,
∴x=.
综上所述,x=,或x=,或x=.
考点:二次函数综合题.
2.如图,四边形ABCD 中,∠BCD =∠D =90°,E 是边AB 的中点.已知AD =1,AB =2. (1)设BC =x ,CD =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当∠B =70°时,求∠AEC 的度数; (3)当△ACE 为直角三角形时,求边BC 的长.
【答案】(1)()223
03y x x x =-++<<;(2)∠AEC =105°;(3)边BC 的长为
2或
117
2
. 【解析】
试题分析:(1)过A 作AH ⊥BC 于H ,得到四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中,由勾股定理即可得出结论.
(2)取CD 中点T ,连接TE ,则TE 是梯形中位线,得ET ∥AD ,ET ⊥CD ,∠AET =∠B =70°.
又AD =AE =1,得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°.由ET 垂直平分CD ,得∠CET =∠DET =35°,即可得到结论.
(3)分两种情况讨论:①当∠AEC =90°时,易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ,得∠BCE =30°, 解△ABH 即可得到结论.
②当∠CAE =90°时,易知△CDA ∽△BCA ,由相似三角形对应边成比例即可得到结论. 试题解析:解:(1)过A 作AH ⊥BC 于H .由∠D =∠BCD =90°,得四边形ADCH 为矩形. 在△BAH 中,AB =2,∠BHA =90°,AH =y ,HB =1x -,∴2
2221y x =+-, 则()223
03y x x x =
-++<<
(2)取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线,得ET∥AD,ET⊥CD,
∴∠AET=∠B=70°.
又AD=AE=1,∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.由ET垂直平分CD,得∠CET=∠DET=35°,
∴∠AEC=70°+35°=105°.
(3)分两种情况讨论:①当∠AEC=90°时,易知△CBE≌△CAE≌△CAD,得∠BCE=30°,则在△ABH中,∠B=60°,∠AHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.
②当∠CAE=90°时,易知△CDA∽△BCA,又2224
AC BC AB x
=-=-,
则
2
2
4117
4
AD CA x
x
AC CB x
-±
=?=?=
-
(舍负)
易知∠ACE<90°,所以边BC的长为117
+
.
综上所述:边BC的长为2或117
2
+
.
点睛:本题是四边形综合题.考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.
3.已知Rt△ABD中,边AB=OB=1,∠ABO=90°
问题探究:
(1)以AB为边,在Rt△ABO的右边作正方形ABC,如图(1),则点O与点D的距离为.
(2)以AB为边,在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC,如图(2),求点O与点C的距离.
问题解决:
(3)若线段DE=1,线段DE的两个端点D,E分别在射线OA、OB上滑动,以DE为边向外作等边三角形DEF,如图(3),则点O与点F的距离有没有最大值,如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
【答案】(1)、5;(2)、62
2
+
;(3)、
321
2
++
.
【解析】
【分析】
试题分析:(1)、如图1中,连接OD,在Rt△ODC中,根据OD=22
OC CD
+计算即可.(2)、如图2中,作CE⊥OB于E,CF⊥AB于F,连接OC.在Rt△OCE中,根据
OC=22
OE CE
+计算即可.(3)、如图3中,当OF⊥DE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM.分别求出MH、OM、FH即可解决问题.
【详解】
试题解析:(1)、如图1中,连接OD,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=1,∠C=90°在Rt△ODC中,∵∠C=90°,OC=2,CD=1,
∴OD=2222
215
OC CD
+=+=
(2)、如图2中,作CE⊥OB于E,CF⊥AB于F,连接OC.
∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°,∴四边形BECF是矩形,∴BF=CF=1
2,
3
在Rt△OCE中,
22
22
31
1
22
OE CE
????
+=++
? ?
???
??
62
+
(3)、如图3中,当OF⊥DE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM.
∵FD=FE=DE=1,OF ⊥DE , ∴DH=HE ,OD=OE ,∠DOH=
1
2
∠DOE=22.5°, ∵OM=DM , ∴∠MOD=∠MDO=22.5°, ∴∠DMH=∠MDH=45°, ∴DH=HM=12, ∴DM=OM=22
, ∵FH=223DF DH -=, ∴OF=OM+MH+FH=2132++
=321++. ∴OF 的最大值为
321
++. 考点:四边形综合题.
4.如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE ⊥AG 于E ,BF ∥DE ,交AG 于F .
求证:AF=BF+EF .
【答案】详见解析. 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 为正方形,可得出∠BAD 为90°,AB=AD ,进而得到∠BAG 与∠EAD 互余,又DE 垂直于AG ,得到∠EAD 与∠ADE 互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF ,利用AAS 可得出△ABF ≌△DAE ;利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE ,由AF-AE=EF ,等量代换可得证. 【详解】 ∵ABCD 是正方形, ∴AD=AB ,∠BAD=90° ∵DE ⊥AG , ∴∠DEG=∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF . ∵BF ∥DE ,
∴∠AFB=∠DEG=∠AED . 在△ABF 与△DAE 中,
AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△ABF ≌△DAE (AAS ). ∴BF=AE . ∵AF=AE+EF , ∴AF=BF+EF .
点睛:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE 交x 轴于点E (30,0),交y 轴于点D (0,
40),直线AB :y =
1
3
x +5交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交直线DE 于点P ,过点E 作EF ⊥x 轴交直线AB 于点F ,以EF 为一边向右作正方形EFGH . (1)求边EF 的长;
(2)将正方形EFGH 沿射线FB 的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E 1F 1G 1H 1,在平移过程中边F 1G 1始终与y 轴垂直,设平移的时间为t 秒(t >0). ①当点F 1移动到点B 时,求t 的值;
②当G 1,H 1两点中有一点移动到直线DE 上时,请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1与△APE 重叠部分的面积.
【答案】(1)EF =15;(2)①10;②120; 【解析】 【分析】
(1)根据已知点E (30,0),点D (0,40),求出直线DE 的直线解析式y=-4
3
x+40,可求出P 点坐标,进而求出F 点坐标即可;
(2)①易求B (0,5),当点F 1移动到点B 时,1010=10;
②F点移动到F'的距离是10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE
上时,在Rt△F'NF
中,
NF
NF'
=
1
3
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
t=4,S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
PK
F K'
=
1
3
,
PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
1539
t
t
-
-+
=
4
3
,t=7,S=15×(15-7)=120.
【详解】
(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),
∴
300
40
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
4
3
40
k
b
?
=-
?
?
?=
?
,
∴y=﹣4
3
x+40,
直线AB与直线DE的交点P(21,12),
由题意知F(30,15),
∴EF=15;
(2)①易求B(0,5),
∴BF=1010,
∴当点F1移动到点B时,t=101010
÷=10;
②当点H运动到直线DE上时,
F点移动到F'10,
在Rt△F'NF中,NF
NF'
=
1
3
,
∴FN=t,F'N=3t,
∵MH'=FN=t,
EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,
在Rt △DMH'中,
4
3MH EM '=, ∴
4
1533t t =-, ∴t =4,
∴EM =3,MH'=4,
∴S =
1451023(12)11248?+?=; 当点G 运动到直线DE 上时,
F 点移动到F'10, ∵PF =10 ∴PF'10t ﹣10, 在Rt △F'PK 中,
1
3
PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=4
3
, ∴t =7,
∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】
本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.
6.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点,点F 在边BC 的延长线上,且CF AE =,连接DE ,DF ,EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
(1)求证:DE DF ⊥; (2)求证:DH DF =:
(3)过点H 作HM EF ⊥于点M ,用等式表示线段AB ,HM 与EF 之间的数量关系,并
证明.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)22EF AB HM =-,证明详见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据正方形性质, CF AE =得到DE DF ⊥.
(2)由AED CFD △△≌,得DE DF =.由90ABC ∠=?,BD 平分ABC ∠, 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠,所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.
(3)过点H 作HN BC ⊥于点N ,由正方形ABCD 性质,得
222BD AB AD AB =
+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?,
,所以22sin 45HN
BH HN HM ===?
.
由22cos 45DF
EF DF DH =
==?
,得22EF AB HM =-.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD CD =,90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?. ∴90EAD FCD ∠=∠=?. ∵CF AE =。 ∴AED CFD △△≌. ∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?. ∴DE DF ⊥.
(2)证明:∵AED CFD △△≌, ∴DE DF =. ∵90EDF ∠=?, ∴45DEF DFE ∠=∠=?.
∵90ABC ∠=?,BD 平分ABC ∠, ∴45DBF ∠=?. ∵FH 平分EFB ∠, ∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, ∴DHF DFH ∠=∠. ∴DH DF =.
(3)22EF AB HM =-.
证明:过点H 作HN BC ⊥于点N ,如图,
∵正方形ABCD 中,AB AD =,90BAD ∠=?, ∴222BD AB AD AB =
+=.
∵FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,
∴HM HN =.
∵4590HBN HNB ∠=?∠=?,
, ∴22sin 45HN
BH HN HM =
==?
.
∴22DH BD BH AB HM =-=.
∵22cos 45DF
EF DF DH =
==?
,
∴22EF AB HM =-. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数,题目难度较大,解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
7.如图1,在正方形ABCD中,AD=6,点P是对角线BD上任意一点,连接PA,PC过点P 作PE⊥PC交直线AB于E.
(1)求证:PC=PE;
(2)延长AP交直线CD于点F.
①如图2,若点F是CD的中点,求△APE的面积;
②若ΔAPE的面积是216
25
,则DF的长为
(3)如图3,点E在边AB上,连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q,连接
PQ,MQ,过点P作PN∥CD交EC于点N,连接QN,若PQ=5,MN=72
,则△MNQ的
面积是
【答案】(1)略;(2)①8,②4或9;(3)5 6
【解析】
【分析】
(1)利用正方形每个角都是90°,对角线平分对角的性质,三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和,等角对等边等性质容易得证;
(2)作出△ADP和△DFP的高,由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高,并求出面积.第2小问思路一样,通过面积法列出方程求解即可;
(3)根据已经条件证出△MNQ是直角三角形,计算直角边乘积的一半可得其面积.
【详解】
(1) 证明:∵点P在对角线BD上,
∴△ADP≌△CDP,
∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,
∵PE⊥PC,∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,
∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,
∵∠PAE=90°-∠DAP=90°-∠DCP,
∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,
∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,
∴∠PEA=∠PAE,
∴PC=PE;
(2)①如图2,过点P 分别作PH ⊥AD,PG ⊥CD,垂足分别为H 、G.延长GP 交AB 于点
M.
∵四边形ABCD 是正方形,P 在对角线上, ∴四边形HPGD 是正方形, ∴PH=PG,PM ⊥AB, 设PH=PG=a,
∵F 是CD 中点,AD =6,则FD=3,ADF
S =9,
∵ADF
S =ADP
DFP
S
S
+=
11
22
AD PH DF PG ?+?, ∴
11
63922
a a ?+?=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4, 又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,
∵APE S =11
44822
EA MP ?=??=,
②设HP =b,由①可得AE=2b,MP=6-b,
∴APE S
=
()121626225
b b ??-=, 解得b=2.4 3.6或, ∵ADF
S =ADP
DFP
S
S
+=
11
22
AD PH DF PG ?+?, ∴
111
66222
b DF b DF ??+?=?, ∴当b=2.4时,DF=4;当b =3.6时,DF =9, 即DF 的长为4或9; (3)如图,
∵E 、Q 关于BP 对称,PN ∥CD, ∴∠1=∠2,∠2+∠3=∠BDC=45°, ∴∠1+∠4=45°, ∴∠3=∠4,
易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC, ∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC, ∴∠6+∠7=90°, ∴△MNQ 是直角三角形, 设EM=a,NC=b 列方程组
222252372 3a b a b ?+=?
?
?
??+= ?
???
, 可得12ab=56
, ∴MNQ
5
6
S
=
, 【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.
8.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. 性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC 中,CD 是AB 边上的中线,那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”,并且S △ACD =S △BCD .
应用:如图②,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=6,点E 在AD 上,点F 在BC 上,AE=BF ,AF 与BE 交于点O .
(1)求证:△AOB 和△AOE 是“友好三角形”;
(2)连接OD ,若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”,求四边形CDOF 的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面
积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】
试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、
△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE,
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴A D=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC=,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
考点:四边形综合题.
9.如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,点B(,a)在抛物线上,点C是抛物线对称轴上的一点,连接AB、BC,以AB、BC为邻边作□ABCD,记点C纵坐标为n,(1)求a的值及点A的坐标;
(2)当点D恰好落在抛物线上时,求n的值;
(3)记CD与抛物线的交点为E,连接AE,BE,当△AEB的面积为7时,
n=___________.(直接写出答案)
【答案】(1), A(3,0);(2)
【解析】
试题解析:(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出a的值,令y=0即可求出点A的坐标.
(2)求出点D的坐标即可求解;
(3)运用△AEB的面积为7,列式计算即可得解.
试题解析:(1)当时,
由,得(舍去),(1分)
∴A(3,0)
(2)过D作DG⊥轴于G,BH⊥轴于H.
∵CD∥AB,CD=AB
∴,
∴,
∴
(3)
10.如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ,连接BE ,过点O 作BE 的平行线,交⊙O 于点F ,交切线于点C ,连接AC (1)求证:AC 是⊙O 的切线;
(2)连接EF ,当∠D= °时,四边形FOBE 是菱形.
【答案】(1)见解析;(2)30. 【解析】 【分析】
(1)由等角的转换证明出OCA OCE ??≌,根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. (2)根据四边形FOBE 是菱形,得到OF=OB=BF=EF ,得证OBE ?为等边三角形,而得出
60BOE ∠=?,根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】
(1)证明:∵CD 与⊙O 相切于点E , ∴OE CD ⊥, ∴90CEO ∠=?,
又∵OC BE ,
∴COE OEB ∠=∠,∠OBE=∠COA ∵OE=OB ,
∴OEB OBE ∠=∠, ∴COE COA ∠=∠, 又∵OC=OC ,OA=OE , ∴OCA OCE SAS ??≌(), ∴90CAO CEO ∠=∠=?, 又∵AB 为⊙O 的直径, ∴AC 为⊙O 的切线;
(2)解:∵四边形FOBE 是菱形, ∴OF=OB=BF=EF ,
∴OE=OB=BE ,
∴OBE ?为等边三角形, ∴60BOE ∠=?, 而OE CD ⊥, ∴30D ∠=?. 故答案为30. 【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
六安数学三角形填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6. 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可. 【详解】 如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t . ∵△APE 的面积等于6,∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键. 2.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形.
【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形, 故答案为:10. 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏. 3.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____. 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出 △ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 解:
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12 MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??= A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线,①正确; ∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°,②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确 在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a 在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确 故选:D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( ) A .4 B .3 C .6 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果. 【详解】 解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F , ∴DF=DE , 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6 B .8 C 5 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A =x , 则∠B =2x ,∠C =3x , 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°, 解得x =30°,
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 四年级数学三角形考题分析与易错题分析 以盘龙区小学2016学年下学期期末四年级数学试题进行分析:三角形这一单元知识占11%,所考知识点主要有:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,等腰三角形等边三角形的定义,三角形三边的关系,高的做法,会求三角形和多边形的内角和。如: 近三年考题分析 4、请你想办法求出下面这个多边形的内角和。 考查目的:三角形内角和和钝角三角形的特征。 15.画出下面三角形指定边上的高。 考查目的:三角形高的含义,会正确画不同三角形指定底边上的高。 掌握高的方法。 16、等腰三角形的一个内角是60°,其他两个内角各是多少度?这是()三角形。考查目的:综合三角形内角和、等腰三角形的特点及等边三角形的特点解决问题。 三角形单元检测卷 一、填空(40分) 个钝角三角形,()个等腰三角形。 7、在一个三角形的三个角中,一个是50度,一个是80度,这个三角形既是()三角形,又是()三角形。 二、选择(18分) 1.下面第()组中的三根小棒不能拼成一个三角形。 2.一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm,则此三角形的第三边的长可能是()。 A.3 cm B.4 cm C.7 cm 3.下面各组角中,第()组中的三个角能组成三角形。 A.60°,70°,90° B.50°,50°,50° C.80°,95°,5° 4.钝角三角形的两个锐角之和()90°。 A.大于 B.小于 C.等于 5、一个等腰三角形中,其中一底角是75度,顶角是()。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 6、下面长度的小棒中(单位:cm),能围成三角形的是()。 A. 3.5、7.5、4 B . 5、2.8、6 C. 10、4.2、5.6 三、判断(8分) 1、一个内角是80度的等腰三角形,一定是一个钝角三角形。() 2、等腰三角形一定是等边三角形。() 3、等腰三角形一定是锐角三角形。() 第五单元平行四边形和梯形试卷 一、填空 1、在()的两条直线叫做平行线。 2、两组对边()的四边形叫做平行四边形。 3、常见的四边形有()。 4、只有一组对边平行的四边形叫做()。 5、两条直线相交成()角时,这两条直线互相垂直。 6、()的梯形叫等腰梯形。 7、两条平行线之间的距离是6厘米,在这两条平行线之间作一条垂线,这条垂线的长是()厘米。 11、平行四边形具有()的特点。 12、长方形相邻的两条边互相()。相对的两条边互相()。 13、以平行四边形的一条边为底,能作出()条高,这些高的长度都()。 15、()和()都是特殊的平行四边形。 16、等腰梯形()一组对边平行。 18、任意四边形的内角和都是()度。 三、小法官,判一判。(每空1分) 1、平行四边形一定能分成两个完全一样的梯形。() 2、梯形的底和高一定是垂直的。() 3、三角形具有稳定性的特点,而平行四边形却有容易变形的特点。() 4、钝角三角形和直角三角形都只能画出一条高。() 5、梯形是只有一组对边平行的四边形。() 6、两个梯形可以拼成一个平行四边形。() 四、“实践操作”显身手。(每空2分,第2题每空1分) 1、过直线外一点作已知直线的垂线和平行线。 . . 2、画出下面平行四边形的高 4、按要求在下面图形中画一条线段: (1)、分成两个梯形。(2)、分成一个平行四边形和一个梯形五、解决问题。(每题5分) 1、一个直角梯形的一个内角是65。 (如图),这个直角梯形另一个内角是多少度? 2、一个平行四边形的一条边长为8厘米,另一条边比这条边短3厘米,这个平行四边形的周长是多少厘米? 3、一个梯形的上底是下底的3倍,如果将下底延长6厘米,就变成了一个平行四边形,这个梯形的上底是多少厘米,下底是多少厘米? 4、把两个边长分别为5厘米、6厘米、7厘米的三角形拼成一个平行四边形,周长最小是多少? 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 9、有理数中,绝对值最小的数是( ) A 、-1 B 、1 C 、0 D 、不存在 10、2 1的倒数的相反数是( ) A 、-2 B 、2 C 、-2 1 D 、2 1 11、若|x|=x ,则-x 一定是( ) A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 12、两个有理数的和除以这两个有理数的积,其商为0,则这两个有理数为( ) A 、互为相反数 B 、互为倒数 C 、互为相反数且不为0 D 、有一个为0 13、长方形的周长为x ,宽为2,则这个长方形的面积为( ) A 、2x B 、2(x-2) C 、x-4 D 、2·(x-2)/2 14、“比x 的相反数大3的数”可表示为( ) A 、-x-3 B 、-(x+3) C 、3-x D 、x+3 15、如果0 初中数学三角形易错题汇编及答案 一、选择题 1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于() A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据点A,B的坐标求出OA,OB的长度,再根据勾股定理求出AB的长,即可得出OC 的长,再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间. 【详解】 ∵点A,B的坐标分别为(﹣2,0),(0,3), ∴OA=2,OB=3, 在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB22 = 2+313 ∴AC=AB13, ∴OC132, ∴点C132,0), <<, ∵3134 <<, ∴11322 即点C的横坐标介于1和2之间, 故选:B. 【点睛】 本题考查了弧与x轴的交点问题,掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键. 2.等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm,则这个三角形的周长为() A.16cm B.21cm 或 27cm C.21cm D.27cm 【答案】D 【解析】 【分析】 分两种情况讨论:当5是腰时或当11是腰时,利用三角形的三边关系进行分析求解即可. 【详解】 解:当5是腰时,则5+5<11,不能组成三角形,应舍去; 当11是腰时,5+11>11,能组成三角形,则三角形的周长是5+11×2=27cm. 故选D. 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系,掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键. 3.下列命题是假命题的是() A.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 B.如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16 C.将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限 D.若关于x的一元一次不等式组 213 x m x -≤ ? ? +> ? 无解,则m的取值范围是1 m£ 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】 A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,正确,是真命题; B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16或17,错误,是假命题; C. 将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限,正确,是真命题; D. 若关于x的一元一次不等式组 213 x m x -≤ ? ? +> ? 无解,则m的取值范围是1 m£,正确,是真 命题; 故答案为:B 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组. 4.如图,在ABC ?中,AB的垂直平分线交BC于D,AC的中垂线交BC于E, 20 DAE ∠=o,则BAC ∠的度数为( ) 平行四边形和梯形练习题 一、“认真细致”填一填 1、在()的两条直线叫做平行线。 2、两组对边()的四边形叫做平行四边形。 3、常见的四边形有()。 4、只有一组对边平行的四边形叫做()。 5、两条直线相交成()角时,这两条直线互相垂直。 6、()的梯形叫等腰梯形。 7、两条平行线之间的距离是6厘米,在这两条平行线之间作一条垂线,这条垂线 的长是()厘米。 8、右图中有()个平行四边形,()个梯形。 二、“对号入座”选一选 1、下面错误的是() A、正方形相邻的两条边互相垂直。 B、两条直线互相平行,这两条直线相等。 C、长方形是特殊的平行四边形。 D、任意一个四边形的四个内角的和都是3600 。 2、把一个长方形框架拉成一个平行四边形,这个平行四边形的周长比原长方形的 周长()。 A、大 B、小 C、一样大 D、无法比较 3、从直线外一点到这条直线的距离,是指这一点到这条直线的()的长。 A、线段 B、射线 C、直线 D、垂直线段 4、下面四边形中()不是轴对称图形。 A 5、在一个等腰梯形中画一条线段,可以将它分割成两个完全一样的()。 A、梯形 B、平行四边形 C、三角形 三、小法官,判一判 1、平行四边形一定能分成两个完全一样的梯形。 ( ) 2、梯形的底和高一定是垂直的。 ( ) 3、三角形具有稳定性的特点,而平行四边形却有容易变形的特点。 ( ) 4、钝角三角形和直角三角形都只能画出一条高。 ( ) 5、梯形是只有一组对边平行的四边形。 ( ) 四、“实践操作”显身手 1、过直线外一点作已知直线的垂线和平行线。 2、画出下面平行四边形的高、并测量底和高的长度。 底( )厘米;高( )厘米 3、画一个长4厘米、宽3厘米的长方形。 4 、按要求在下面图形中画一条线段: (1)、 分成两个梯形。 (2)、分成一个平行四边形和一个梯形 5、如图,要从东村挖一条水渠与小河相通,要使水渠最短,应该怎样挖?请在图上 画出来。(word完整版)四年级《三角形试题分析及易错题分析》
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